مقام الانحراف دون العائد المستهدف يغير النتيجة حتى عندما تبقى العوائد والهدف ثابتين. سنحسب سجلًا مؤلفًا بطريقتين معلنتين، ونفصل الفروق عن الهدف عن تشتت العوائد حول متوسطها، دون تقييم استثمار فعلي.
الخلاصة السريعة
سمِّ المقام قبل مقارنة الانحرافين؛ القسمة على كل الفترات تختلف عن القسمة على الفترات التي تقل عوائدها عن الهدف.
- يوثق دليل PerformanceAnalytics خيارَي full لكل السلسلة وsubset لما دون الهدف، مع جعل الهدف بدورية العوائد نفسها. الاختيار الافتراضي الموثق هو الأول. [1]
- عوائدنا الشهرية المؤلفة: ناقص 3٪، و1٪، و2٪، و8٪، و4٪؛ الهدف 2٪ شهريًا. فروق العجز المحتفظ بها ناقص خمس وناقص نقطة مئوية واحدة، والباقي أصفار. مجموع المربعات 26 بوحدة النقطة المئوية المربعة.
- القسمة على الفترات الخمس ثم الجذر تعطي نحو 2.28035 نقطة مئوية. القسمة على الفترتين دون الهدف ثم الجذر تعطي نحو 3.60555. الفترة المساوية للهدف تدخل الخمس ولا تدخل الاثنتين.
- العائدان دون الهدف ناقص 3٪ و1٪؛ متوسطهما ناقص 1٪، وانحرافهما حول هذا المتوسط بقسمة المربعات على اثنين يساوي نقطتين مئويتين. هذه عملية مختلفة عن القياس حول هدف 2٪.
- في فرع هدفه صفر، يصبح مجموع المربعات 9 لا 26. وفي فرع مستقل يضيف خمس فترات بعائد 3٪ مع بقاء هدف 2٪، ينخفض انحراف المقام الكامل إلى نحو 1.61245، ويبقى مقام الجزء دون الهدف كما كان؛ تغير نطاق البيانات وليس دليلًا على تحسن استثمار.
- إذا لم توجد فترات دون الهدف في سجل كامل غير فارغ، تعطي الصيغة الكاملة صفرًا، بينما تكون قسمة الجزء الخالي صفرًا على صفر وغير معرّفة. احفظ الهدف والمقام والوحدات والمفقود، ولا تحول النتيجة إلى ضمان أمان أو توقع.
ما الذي يحدده المقام في التعريف؟
يوثق دليل PerformanceAnalytics لدالة الانحراف دون الهدف خيارين للمقام: طول السلسلة الكاملة أو عدد مشاهداتها دون الحد الأدنى للعائد المقبول. ويطلب توحيد دورية الهدف والعوائد، مع افتراض الخيار الكامل افتراضيًا. [1]
نستخدم هذه المعلومة لقراءة تعريف حسابي، ولا نقدم درسًا في تثبيت برنامج أو تشغيل حساب استثمار. في الطريقة الأولى نوزع مجموع مربعات العجز على كل فترات السجل المحدد، وفي الثانية نوزعه على الفترات التي وقع فيها العجز فقط. البسط قد يكون نفسه، لكن السؤال الذي يسأله المقام مختلف. لا نعلن أن كل استعمال للطريقة الثانية خطأ؛ الخطأ أن نخلط التعريفين عند المقارنة، أو نقرأ رقمًا دون معرفة عدد الفترات الذي قسم عليه صاحبه.
والهدف معطى مستقل نكتبه قبل الحساب. لا يلزم في مثالنا أن يساوي متوسط العوائد، ولا أن يساوي صفرًا. نعطيه دورية شهرية لأن كل مشاهدة في السجل عائد شهر، ولا نضع نسبة سنوية مكانه دون تعريف تحويلها إلى الدورية نفسها. كذلك نفترض سجلًا كاملًا من عوائد رقمية، دون تحويل عملة أو رسوم إضافية أو اختيار آلي لفترة. حدود المثال مهمة لأن حذف شهر أو تغيير الهدف سيعيد تعريف المدخلات، لا مجرد طريقة عرض الناتج.
استخرج العجز عن الهدف قبل التربيع
لدينا خمس مشاهدات شهرية مؤلفة، مرتبة كما يلي: ناقص ثلاثة بالمئة، ثم واحد بالمئة، ثم اثنان بالمئة، ثم ثمانية بالمئة، ثم أربعة بالمئة. الهدف في كل شهر اثنان بالمئة. نطرح الهدف من العائد فينتج ناقص خمس نقاط مئوية، وناقص نقطة، وصفر، وست نقاط، ونقطتان. نحتفظ بالفارق السالب إذا كان العائد دون الهدف، ونجعل الفروق غير السالبة أصفارًا في عمود العجز الذي سنربعه. لا نطرح الفروق الموجبة من السالبة لتعويضها.
لاحظ أن العائد الموجب واحد بالمئة يقع دون الهدف الموجب اثنين بالمئة، لذلك يدخل بفارق عجز سالب نقطة. ليس السؤال هل العائد أقل من الصفر، بل هل هو أقل من الحد الذي أعطيناه. أما العائد المساوي للهدف ففارقُه صفر، ولا يعد مشاهدة دون الهدف في تعريفنا الذي يستخدم المقارنة الصارمة «أقل من». سجلي هذا الحد في الملاحظة الحسابية، لأن تغيير علامة المقارنة قد يغير عدد المشاهدات في مقام الجزء رغم أن مربع الفارق الصفري لا يضيف شيئًا إلى البسط.
مربعات عمود العجز هي خمس وعشرون، وواحد، وصفر، وصفر، وصفر. مجموعها ست وعشرون بوحدة النقطة المئوية المربعة. لم نجمع الخمس والنقطة ثم نربع المجموع؛ فذلك يعطي ستًا وثلاثين ويضيف أثرًا آخر لا يخص تعريف مجموع المربعات. كما لم نجعل الفارق الموجب ست نقاط يساهم بست وثلاثين في هذا البسط. اتركي عمود العائد والهدف والفارق والعجز والمربع واضحًا، حتى يمكن معرفة أين نشأ أي اختلاف في الأرقام.
قسمة واحدة مختلفة تعطي انحرافين
في المقام الكامل، عدد المشاهدات خمس. نقسم ستًا وعشرين على خمس فنحصل على خمس فاصلة اثنتين، ثم نأخذ الجذر التربيعي، فيكون الناتج نحو 2.28035 نقطة مئوية. في مقام الجزء دون الهدف، عدد المشاهدات اثنتان فقط. نقسم ستًا وعشرين على اثنين فنحصل على ثلاث عشرة، وجذرها نحو 3.60555 نقطة مئوية. الفرق ليس خطأ تقريب في الجذر؛ لقد استعملنا مقامين مختلفين للبسط نفسه وفق التعريفين المعلنين.
والأصفار في عمود العجز لا تختفي من عدد الفترات عندما نستخدم المقام الكامل. الشهر المساوي للهدف والشهران اللذان تجاوزاه تبقى مشاهدات ضمن الخمس، مع أنها لا تزيد مجموع المربعات. أما في مقام الجزء، فلا تدخل هذه الأشهر الثلاثة في العدد. إذا حذفت صفوفها من ورقة ثم قسمت على طول ما بقي تلقائيًا، فقد انتقلت إلى تعريف الجزء دون أن تسجل القرار. لذلك احفظي عدد السلسلة وعدد المشاهدات دون الهدف في خانتين مختلفتين.
ومن المفيد فحص الوحدة العددية كذلك. إذا كتبت العوائد كسورًا عشرية، تصبح ناقص 0.03 و0.01 و0.02 و0.08 و0.04، والهدف 0.02. يكون مجموع المربعات 0.0026، والقسمة الكاملة تعطي 0.00052 قبل الجذر. الجذر نحو 0.0228035، وهو متسق مع 2.28035 نقطة مئوية بعد التحويل بين المقياسين. لا تخلطي مربعات الفروق العشرية بمربعات مكتوبة بالنقاط ثم تضيفي علامة بالمئة لتصحيح الشكل؛ فالمقام عدد مشاهدات، لا نسبة مئوية.
لماذا لا نكتفي بانحراف العائدين حول متوسطهما؟
العائدان اللذان يقلان عن الهدف هما ناقص ثلاثة بالمئة وواحد بالمئة. متوسطهما ناقص واحد بالمئة، وليس الهدف الذي اخترناه وهو اثنان بالمئة. إذا قسنا الفروق عن متوسط هذين العائدين، حصلنا على ناقص نقطتين وموجب نقطتين. مربعا الفارقين أربعة وأربعة، ومجموعهما ثمانية؛ القسمة على اثنين ثم الجذر تعطي نقطتين مئويتين. هذه نتيجة حساب حول متوسط الجزء، وتختلف عن الجذر نحو 3.60555 الذي حسب العجز حول هدف اثنين بالمئة.
لم يتغير العائدان بين العمليتين، لكن تغير مركز قياس الفروق. في حساب العجز نستعمل الهدف المعطى، وفي حساب التشتت السابق استعملنا متوسط العائدين نفسيهما. لذلك فإن عبارة «احسبي الانحراف المعياري للصفوف السالبة» قد تخفي تغييرين معًا: اختيار صفوف بحسب الصفر بدل الهدف، ثم نقل مركز الفروق إلى المتوسط. اكتبي اسم المركز في ورقة الحساب، ولا تتركي اسمًا مختصرًا للمقياس يقوم مقام تعريفه التفصيلي عندما تختلف طريقة المصدر الذي تقارنينه.
ونثبت أيضًا أن القسمة في هذا المثال على اثنين كما أعلنا، ولا نستخدم تصحيح عينة بقسمة مختلفة ثم نقارن النتيجة بالتعريف السابق كأنهما الحساب نفسه. هدفنا هنا فصل مكان المركز عن عدد المشاهدات، لا اختيار مقدر إحصائي مناسب لبيانات سوق. لا تعطينا المشاهدتان وحدهما تقديرًا موثوقًا لمستقبل استثمار، ولا معنى سببيًا لوقوع العجز. كل ما أثبتناه أن نتائج عمليات محددة على الأرقام نفسها قد تختلف لأن السؤال الرياضي تغير.
ميّز أثر تغيير الهدف عن أثر توسيع السجل
في فرع مستقل نُبقي العوائد الخمسة نفسها ونجعل الهدف صفرًا. يصبح العائد الوحيد دونه ناقص ثلاثة بالمئة، ومجموع مربعات العجز تسعة بالنقاط المئوية المربعة. المقام الكامل خمس، فيكون الجذر نحو 1.34164 نقطة مئوية؛ ومقام الجزء واحدة، فيكون الناتج ثلاث نقاط مئوية. لم يتحسن سجل العوائد أو تختفِ خسارة؛ تغير الحد الذي نقيس العجز دونه. لذلك لا تنسبي انخفاض الناتج إلى أداء أفضل إذا كان تقرير المقارنة قد غيّر الهدف.
وفي فرع آخر نعود إلى هدف اثنين بالمئة، ونضيف خمس مشاهدات شهرية مؤلفة، عائد كل منها ثلاثة بالمئة. لا تضيف أي منها مربع عجز، فيظل البسط ستًا وعشرين، لكن عدد السجل يصير عشر مشاهدات بدل خمس. الجذر في المقام الكامل يصبح جذر اثنتين فاصلة ست، أي نحو 1.61245 نقطة مئوية. أما عدد المشاهدات دون الهدف فيبقى اثنتين، فيظل ناتج مقام الجزء نحو 3.60555 كما كان، دون إبدال البسط أو زيادة فترات عجز جديدة.
هذا يوضح ما تخفيه المقارنة المختصرة بين رقمين: قد يتغير تكرار العجز داخل نطاق السجل حتى عندما تبقى قيم مشاهدات العجز نفسها. لكننا لم نقدم تاريخًا جديدًا لصندوق أو تحولًا حقيقيًا في المخاطر؛ أضفنا فترات من تأليفنا لفحص التعريف. اكتبي بداية السجل ونهايته وعدد فتراته، ولا تعالجي انخفاض رقم بسبب توسيع النافذة باعتباره وحده دليلًا على جودة قرار. كذلك لا نضرب أي ناتج في عامل سنوي هنا؛ كل الأرقام تخص المشاهدات الشهرية والمعادلات التي وصفناها.
ماذا يحدث إذا لم تقع مشاهدة دون الهدف؟
نعطي سجلًا مستقلًا من ثلاثة عوائد: اثنان وثلاثة وأربعة بالمئة، والهدف اثنان بالمئة. لا يوجد عائد أقل من الهدف، ومجموع مربعات العجز صفر. في المقام الكامل نقسم الصفر على ثلاث ثم نأخذ الجذر، فنحصل على صفر. أما مقام الجزء فعدده صفر، فتكون القسمة صفرًا على صفر وغير معرفة رياضيًا. لا نسميها صفرًا أيضًا لمجرد أن البسط صفر، ولا نزعم كيف سيعرض برنامج بعينه هذه الحالة؛ لم نشغل الدالة أو نفحص معالجة الحالات الحدية في تطبيق.
وصفر الانحراف الكامل في هذا السجل يعني أن العوائد المعطاة لم تقع دون الهدف المعطى، ولا يعني أن الأصل آمن من كل خطر أو أنه لن يهبط لاحقًا. كما أن شهرًا مفقودًا لا يساوي شهرًا بعائد صفر: الصفر مع هدف موجب قد يدخل كعجز، بينما المفقود لا يعطي عائدًا أصلًا. إذا لم يكتمل السجل، سجلي قاعدة التعامل معه قبل القسمة، ولا تملئي الخانات بأرقام تخمنينها كي يتوفر مقام مريح.
قبل عرض النتيجة، أرفقي الهدف ودوريته، وعدد المشاهدات كلها وما دون الهدف، ووحدة العوائد وطريقة التقريب ومركز الفروق. ثم سمي الطريقة الكاملة أو طريقة الجزء، مع حدود البيانات التي حسبتِها. لم نحسب نسبة سورتينو كاملة أو عائدًا متوقعًا أو ترتيبًا للاستثمارات؛ عالجنا مقامًا وتعريفًا في أمثلة. بهذه البطاقة يستطيع قارئ آخر تفسير سبب اختلاف نتيجتين دون اعتبار إحداهما خطأ تلقائيًا، أو تحويل انحراف صغير إلى وعد لا تحمله الأرقام.
المصادر ومتابعة القراءة
- دليل PerformanceAnalytics، فقرة DownsideDeviation، صفحات PDF 101–102 . (يفتح في نافذة جديدة)stat.ethz.ch
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.