وسيط الدخل المعادل: هل تعد صفوف الأسر أم جميع أفرادها؟

وسيط ثلاثة صفوف أسرية ليس بالضرورة وسيط أفرادها. نعطي الأسر أحجامًا واحدًا واثنين وأربعة، وقيمًا معادلة ثلاثمئة ومئتين ومئة على الترتيب. بإسناد قيمة الأسرة إلى كل فرد، تصبح قائمة الأشخاص سبع قيم: أربع مئات، ومئتان مرتين، وثلاثمئة مرة. الوسيط الرابع في الترتيب يساوي مئة، بينما وسيط صفوف الأسر يساوي مئتين. [1]

• الأسرة الكبيرة تظهر في قائمة الأشخاص بعدد أفرادها، لا مرة واحدة لأنها تملك صفًا واحدًا في قائمة الأسر.
• تكرار القيمة لأفراد مختلفين ليس تكرار ملف للشخص نفسه. العدد هنا سكان كاملون مفترضون، وليس مجموعة سجلات مكررة أو عينة تحتاج وزنًا.
• متوسط الأشخاص 1100 مقسومة على سبعة، نحو 157.14 ، يختلف عن وسيطهم المئة وعن متوسط قيم الأسر المئتين.
• في قائمة من أربعة أشخاص بقيمتين مئة وقيمتين ثلاثمئة، نحسب وسيط المثال بمتوسط الوسطين، فيكون مئتين ولو لم يحمل أي شخص هذه القيمة.
• إذا ثبتت قيم صفوف الأسر وتغيرت أحجامها، قد يتغير وسيط الأشخاص دون تغير وسيط الصفوف.
• لا تعطي القيم الأسرية وحدها وسيط الأشخاص إذا غابت أعداد الأفراد. وإسناد القيمة لا يعني أن كل فرد قبضها أو أن مجموع النسخ هو نقد جديد للأسرة.

نسمي الأسر ألف وباء وجيم. ألف فيها شخص واحد وقيمتها المعادلة المعطاة ثلاثمئة. باء فيها شخصان وقيمتها مئتان. جيم فيها أربعة أشخاص وقيمتها مئة. الوحدات النقدية مجردة، والقيم مدخلات جاهزة لفرعنا. لا نحاول استخراجها من أجور أو أعمار أو مصادر دخل، ولا نستعمل ثلاثمئة بوصفها مجموع دخل ألف الفعلي. هذا الفصل يسمح بالتركيز على ما يحدث بعد الحصول على القيم، حين يتغير سؤال العد من الأسرة إلى الفرد.

في قائمة الأسر ثلاثة صفوف. إذا رتبنا القيم تصاعديًا، نحصل على مئة، ثم مئتين، ثم ثلاثمئة. القيمة الثانية في وسط ثلاثة هي مئتان. هنا تعطي كل أسرة عنصرًا واحدًا مهما بلغ عدد أفرادها. لا يحتاج هذا الحساب إلى معرفة الأحجام لأن السؤال المحدد عن وسيط الصفوف الأسرية نفسها. لذلك يستطيع شخص امتلاك القيم الثلاث وحدها والإجابة عن هذا السؤال داخل نموذجنا، لكنه لم يجب بعد عن وسيط جميع الأشخاص.

لبناء قائمة الأشخاص، نسند المئة إلى أفراد جيم الأربعة، والمئتين إلى فردي باء، والثلاثمئة إلى فرد ألف. نحصل على سبع قيم مرتبة: مئة، مئة، مئة، مئة، مئتان، مئتان، ثلاثمئة. قبل العنصر الرابع ثلاث قيم وبعده ثلاث، فيكون هو الوسط، وقيمته مئة. عدد الأسر بقي ثلاثة، لكن عدد الوحدات في الحساب الجديد سبعة، ولهذا لا نبحث عن العنصر الثاني كما فعلنا في قائمة الصفوف.

لم تتغير أي قيمة معادلة في الانتقال بين القائمتين. لم نخفض المئتين إلى مئة، ولم نضف أسرة رابعة، ولم نقدم دخلًا جديدًا للأفراد. الذي تغير هو عدد العناصر التي تمثل كل قيمة لأننا انتقلنا إلى سؤال الأشخاص. هذا سبب إمكانية وجود وسيطين مختلفين للبيانات نفسها عند اختلاف الوحدة. ولا يعني ذلك أن المئتين خطأ دائمًا؛ هما صحيحتان لسؤال الأسر الذي حسبناه صراحة، بينما المئة صحيحة لسؤال الأشخاص في هذا الفرع.

القيم الأربع ذات المئة في قائمة الأشخاص تعود إلى أربعة أفراد مختلفين من جيم. لم ننسخ فردًا واحدًا أربع مرات. هذا فرق أساسي: التعدد ينشأ من تعداد السكان المعطى في الأسرة، لا من عدد الملفات التي حفظت لها. إذا كانت الأسرة نفسها ظاهرة في نسختين من ملف البيانات، فلا تصبح بذلك ثمانية أفراد. سنحتاج حينها إلى معرفة أن الصفين يعودان إلى الأسرة نفسها، بدل استعمال عدد الأوراق دليلًا على عدد سكانها.

في نموذج مستقل، نكرر صف جيم في القائمة الأسرية بالخطأ مع إبقاء أسرنا الثلاث وسكانها السبعة على حالهم. يصبح لدينا أربعة صفوف مكتوبة بقيم مئة ومئة ومئتين وثلاثمئة، لكن هذا ليس مجتمعًا من أربع أسر حقيقية. حساب الوسطين لمجرد هذه الصفوف يعطي مئة وخمسين، وهو ملخص للملف المتكرر لا وسيط أسر المجتمع الذي حددناه. لا يعوض الحساب المنضبط خطأ تعريف العناصر التي أدخلت فيه من البداية.

على العكس، إذا كانت جيم فعلًا أسرتين مختلفتين بكل منهما أربعة أفراد والقيمة المئة، فنكون قد غيرنا المجتمع نفسه. عدد الأسر أربع وعدد الأشخاص أحد عشر، وتوجد ثماني قيم مئة في قائمة الأشخاص. هذا فرع جديد بمعلومات مختلفة، لا إصلاح شكلي لقائمة المجتمع الأول. يستطيع عدد الصفوف أن يزيد لسببين متباينين، نسخة إضافية أو أسرة إضافية، ويحتاج تفسير الناتج إلى معرفة أيهما أعطتنا المسألة، لا إلى النظر في القيمة المكررة وحدها.

تشابه المئة بين عدة أشخاص كذلك لا يعني أنهم شخص واحد. قد تكون القيمة مسندة لأفراد الأسرة نفسها وفق الطريقة المختارة، وقد تتساوى قيم أسر أخرى مصادفة في فرع آخر. في الحالتين يحتاج عد الأشخاص إلى هويات منفصلة أو أحجام معطاة تمنع تكرار الفرد. لا نحذف العناصر المتساوية من قائمة الأشخاص بحجة أنها أرقام مكررة، لأن ذلك سيحول التوزيع إلى قائمة قيم فريدة ويغير السؤال الذي نحسب وسيطه.

ولو حذفنا التكرار العددي في المثال الأول، تبقى مئة ومئتان وثلاثمئة، ويعود الوسيط مئتين. هذه قائمة أنواع القيم الموجودة لا قائمة الأشخاص السبعة. لذلك لا نستعملها بديلًا لتوزيع الأفراد. يبين المثال الفرق بين إزالة نسخة غير صحيحة من سجل وبين إزالة مساواة صحيحة في القيمة بين وحدات مختلفة. تحتاج العملية الأولى إلى معرفة التكرار الحقيقي، بينما الثانية تفقد وزن التعدد الذي يدخل في سؤال الأشخاص أصلًا.

نجمع القيم المسندة للأشخاص في الفرع الأصلي: أربعة في مئة تعطينا أربعمئة، واثنان في مئتين يعطينا أربعمئة أخرى، وواحد في ثلاثمئة يعطي ثلاثمئة. المجموع ألف ومئة، وعدد الأشخاص سبعة. المتوسط هو ألف ومئة على سبعة، نحو 157.14 وحدة. لا يساوي المئة التي وجدناها وسيطًا، لأن المتوسط يستعمل جمع القيم وقسمتها، بينما الوسيط في هذا العدد الفردي يختار القيمة الوسطى بعد الترتيب.

متوسط الصفوف الأسرية هو مجموع مئة ومئتين وثلاثمئة مقسومًا على ثلاثة، أي مئتان. يطابق وسيط الصفوف هنا، لكن التطابق ليس تعريفًا لهما. اخترنا ثلاث قيم متناظرة حول المئتين، ولذلك التقى الحسابان في هذا الفرع. يمكن تغيير الثلاثمئة إلى ستمئة وحدها، فتبقى قيمة الوسط للأسَر مئتين، بينما يصبح متوسطها ثلاثمئة. لا نحتاج إلى تغير عدد الأسر حتى يفترق المتوسط عن الوسيط بوضوح.

في فرع الستمئة، مع بقاء الأحجام واحدًا واثنين وأربعة، تبقى قيمة الشخص الرابع مئة. أما مجموع القيم المسندة فيرتفع من ألف ومئة إلى ألف وأربعمئة، فيصير المتوسط مئتين. أعلى قيمة زادت ثلاثمئة، ولم تغير الوسيط لأن مواقع العناصر الوسطى ظلت كما هي. هذا وصف لسلوك المثال، وليس ادعاء بأن الوسيط لا يتغير أبدًا مع تغير دخل؛ يمكن أن يتغير إذا تغيرت القيم أو الأعداد التي تحدد موضعه.

ويجب الحذر من وصف ألف ومئة بأنها مجموع النقد المتاح للأسر. جمعنا نسخ القيم المعادلة المسندة للأفراد لأغراض المتوسط، لا مبالغ قبض فعلية مستقلة. المصدر الذي استخدمناه يوضح الإسناد المتساوي للأفراد، وليس دفع القيمة لكل واحد. [1] لو أردنا إجمالي الدخل النقدي للأسر، لاحتجنا إلى مدخلات أخرى لم نعطها في هذه المسألة. التشابه في الوحدة النقدية لا يحول كل مجموع إلى مفهوم مالي واحد.

لذلك يمكن عرض المتوسط والوسيط معًا إذا أردنا، بشرط تسمية قائمة كل منهما. «متوسط الأشخاص نحو 157.14 ، ووسيط الأشخاص مئة» جملة متسقة في الفرع الأصلي. أما الجمع بين متوسط الأسر مئتين ووسيط الأشخاص مئة دون توضيح الوحدتين، فقد يوحي بأن المؤشرين يستعملان القائمة نفسها. ترتيب المقارنة يبدأ باختيار الوحدة ثم العملية، لا باختيار الرقم الذي يبدو أقرب إلى توقع القارئ عن الحالة المعيشية للأسر.

نثبت القيم الثلاث نفسها، ونعكس أحجام ألف وجيم في فرع جديد. تصبح ألف ذات الثلاثمئة أربعة أشخاص، وباء ذات المئتين شخصين، وجيم ذات المئة شخصًا واحدًا. ما زال مجموع السكان سبعة، وما زالت قائمة الصفوف مئة ومئتين وثلاثمئة ووسيطها مئتين. لكن قائمة الأشخاص الآن مئة، مئتان، مئتان، ثلاثمئة، ثلاثمئة، ثلاثمئة، ثلاثمئة. الوسط الرابع ثلاثمئة بدل المئة في الفرع الأصلي.

لم نغير القيم الأسرية أو عدد الأسر أو عدد السكان المجمع، ومع ذلك تغير وسيط الأشخاص. الذي تغير هو توزيع عدد السكان على القيم المعطاة. هذا يوضح لماذا لا تكفي ثلاثة أرقام أسرية مع إجمالي السكان سبعة لإعادة بناء وسيط الأفراد؛ نحتاج إلى معرفة أي عدد ينتمي إلى أي صف. الإجمالي وحده يعطي طول القائمة لكنه لا يحدد كم مرة تتكرر كل قيمة داخل ذلك الطول، وهي معلومة حاسمة لترتيب الوسط.

في فرع ثالث بأحجام اثنين وثلاثة واثنين لألف وباء وجيم، نحصل على سبعة أشخاص أيضًا. ترتيب قيمهم مئة، مئة، مئتان، مئتان، مئتان، ثلاثمئة، ثلاثمئة. الرابع مئتان، فيطابق وسيط الأسر هذه المرة. لدينا إذن ثلاثة فروع بالقيم الأسرية نفسها وإجمالي السكان نفسه، لكن وسيط الأشخاص مئة أو مئتان أو ثلاثمئة. هذا ليس مجالًا نختار منه أي جواب؛ كل نتيجة مشروطة بتوزيع الأحجام الذي حددنا له.

إذا لم تعطنا المسألة سوى الأحجام الثلاثة واحد واثنين وأربعة دون وصلها بالأسر، يمكننا بيان أن التوزيع غير مكتمل. لا نضع الأربعة تلقائيًا في صف المئة لأن ذلك يجعل مثالًا تعليميًا مألوفًا، ولا نربط الحجم الأكبر بالقيمة الأعلى بتوقع شخصي. كل وصل يخلق فرعًا ممكنًا مختلفًا. إظهار النقص هنا يحافظ على معنى النتيجة بدل تحويل الترتيب الذي اختاره الكاتب إلى حقيقة عن المجتمع المفترض من دون تصريح.

ولا نستخدم تغير الأحجام في الفروع لتعليل توزيع الدخل الحقيقي في بلد. قد تبدو المقارنة قريبة من أسئلة عن الأسر الكبيرة، لكنها مبنية بالكامل على أعداد مختلقة وقيم معطاة. دورها بيان الحاجة إلى وزن كل صف بعدد أفراده عند بناء قائمة الأشخاص في هذا المجتمع الكامل، لا إثبات أن أحجام الأسر تفسر فرقًا منشورًا أو أن قيمة معينة هي الأنسب لقياس رفاهها في كل حالة.

نضع مجتمعًا جديدًا من أسرتين، في الأولى شخصان بقيمة معادلة مئة، وفي الثانية شخصان بقيمة ثلاثمئة. قائمة الأشخاص أربعة عناصر: مئة، مئة، ثلاثمئة، ثلاثمئة. نختار في هذا المثال تعريف الوسيط لمجموع زوجي بأخذ متوسط العنصرين الأوسطين. وهما الثاني مئة والثالث ثلاثمئة، فيكون الوسيط مئتين. لا يوجد ضمن الأشخاص الأربعة فرد أسندت إليه المئتان، ومع ذلك الحساب صحيح وفق التعريف الذي صرحنا به للفرع.

لا ينبغي تعديل قائمة الأشخاص لإضافة فرد بقيمة مئتين حتى تصبح النتيجة «موجودة». الوسيط هنا ملخص للقائمة، لا شرط أن يطابق عنصرًا منها في كل طول. وإذا أضفنا شخصًا خامسًا بالقيمة المئتين، نكون قد غيرنا المجتمع، لا أوضحنا المجتمع القديم فحسب. كذلك لا ننتقي العنصر الثاني وحده ونقول إنه الجواب الذي اتبعناه؛ فقد أعطينا مسبقًا قاعدة متوسط الوسطين للعدد الزوجي في هذا النموذج المحدد.

متوسط هذا المجتمع يساوي مئتين أيضًا لأن مجموع القيم ثمانمئة وعددها أربعة. التطابق يأتي من أرقام الفرع، وليس من كون العدد زوجيًا. لو استبدلنا الثلاثمئة الثانية فقط بخمسمئة في مجتمع أفراد مستقل، صار الترتيب مئة ومئة وثلاثمئة وخمسمئة. وسيط متوسط الوسطين ما زال مئتين، أما المتوسط فمئتان وخمسون. يثبت المثال مرة أخرى أن العملية التي تختار موضعين تختلف عن العملية التي تستعمل مجموع جميع العناصر.

وعند تطبيق وصف أسري في هذا الفرع الأخير يجب الانتباه إلى إسناد قيمة متساوية داخل كل أسرة كما اخترناه. لا نستطيع تغيير قيمة فرد واحد داخل أسرة واحدة مع الإبقاء على قول إن أفرادها يشتركون في القيمة المعادلة المعطاة نفسها. لذلك وصفنا فرع الخمسمئة مجتمع أفراد مستقلًا لتوضيح الحساب المجرد، ولم نجعله تعديلًا صامتًا على إحدى الأسرتين. المحافظة على هذا الفصل تمنع المثال الحسابي من مناقضة شرط الإسناد الذي بنينا عليه الحالة الأسرية.

وفي العرض العشري، لو كانت قيمتا الوسط مئة ومئة وواحدًا، كان متوسطهما مئة ونصفًا. التقريب إلى عدد صحيح قد يخفي النصف، لكنه لا يغير قاعدة اختيار الوسطين. لا نجعل ظهور عدد صحيح على الشاشة سببًا للقول إن جميع الأفراد يحملون تلك القيمة، مثلما لم يثبت وسيط المئتين وجود شخص بها في مجتمع الأربع. درجة العرض شيء وبيانات القائمة ومعنى العملية شيء آخر يجب الحفاظ عليه في المقارنة.

اخترنا منذ البداية قيمًا معادلة جاهزة، ولذلك لا يبحث المقال كيف حسبت من دخل الأسرة أو أعمار الأفراد أو مقياس الاحتياجات. لا نستعمل الأعداد واحدًا واثنين وأربعة كعوامل قسمة على القيم المعطاة للحصول على قيم جديدة. وظيفتها هنا تحديد عدد نسخ القيمة في قائمة الأشخاص فقط. لو قسمنا المئة على أربعة في جيم، لغيّرنا المدخل الجاهز إلى خمسة وعشرين دون قاعدة ضمن مسألتنا تسمح بهذا التغيير.

كما لا يحدد الوسيط عدد من هم تحت عتبة فقر لم نعطها. نستطيع معرفة أن الوسط في الفرع الأصلي مئة، لكن نسبة أشخاص تقع تحت حد معين سؤال آخر يحتاج إلى ذلك الحد وإلى توضيح هل المساواة تدخل أم لا. لا ينشئ وصف المئة بأنها وسط تعريفًا للاستحقاق أو حدًا قانونيًا أو حكمًا على رفاه كل أسرة. المؤشر الذي حسبناه يلخص ترتيب القيم في مجتمعنا الكامل ولا يتضمن هذه القرارات الإضافية.

ولأن السكان هنا كاملون ومعطون، استعملنا عدد الأفراد نفسه عند بناء القائمة. لا ننقل ذلك إلى مسح فعلي ونعطي كل شخص وزنًا واحدًا دون قراءة منهجيته. أوزان العينة وتصحيحاتها ليست في نطاق الحالة التي كتبناها. هذا الحد لا ينقص الحساب؛ يجعل نتيجته مناسبة للبيانات التي لدينا. وجود وصف رسمي لإسناد قيمة الأسرة إلى أفرادها لا يعوض المعرفة اللازمة لبناء تقدير إحصائي من بيانات عينة حقيقية إذا كان ذلك هو السؤال الآخر.

عندما نعيد قراءة القيم الثلاث، يمكننا تحديد ما يكفي وما ينقص: القيم وحدها تكفي لوسيط ثلاثة صفوف، وإسناد الأحجام إلى الأسر يتيح بناء قائمة الأشخاص، واسم العملية يميز الوسيط عن المتوسط. أما إجمالي نقد الأسر أو طريقة المعادلة أو نتائج المسح أو حد الفقر فلا تظهر من هذه المدخلات وحدها. اختلاف الجوابين المئتين والمئة يصبح متوقعًا حين نثبت هذه الحدود، بدل اعتباره تناقضًا بين طريقتين تحسبان الشيء نفسه.