خطأ فرز الأوراق النقدية: على أي عدد تُحسب نسبة ⁦5%⁩؟

مقام حد ⁦5%⁩ المذكور هو عدد الأوراق غير الصالحة، وبسطه ما صُنّف منها صالحًا. [1] احفظ النسبة الدقيقة والعددين؛ نسبة إلى الدفعة كلها تجيب سؤالًا آخر، ولا تكفي وحدها لإثبات نتيجة اختبار فعلي.

• النطاق آلي ولأوراق اليورو؛ يذكر اختبار الصلاحية أوراقًا أصلية بعيوب شبيهة بالتداول، وإدخالها في جميع الاتجاهات التي تدعمها الآلة، وحدًا لا يزيد على ⁦5%⁩ من غير الصالح المصنف في الفئة 4a. [2] لا ننقل الحد إلى فحص أصالة أو عملة أخرى.
• في سجلنا الكامل، 200 غير صالحة منها 10 صُنفت صالحة: النسبة ⁦5%⁩. مجموع الدفعة 800، فتكون نسبة العشر إليه ⁦1.25%⁩؛ فرع 11 من 200 يعطي ⁦5.5%⁩، ولو كان 11 من 800 فقط ⁦1.375%⁩.
• مع 600 صالحة منها 12 صُنفت غير صالحة، تكتمل الخانات: خرج 598 صالحًا و 202 غير صالح. الأخطاء 22، والصحيح 778 من 800 أي ⁦97.25%⁩. العشر من سلة الصالح 10/598، نحو ⁦1.672%⁩؛ ليست مقام الشرط السابق.
• في فرع ذي 37 غير صالحة، ⁦5%⁩ منها 1.85؛ العدد الصحيح الذي لا يتجاوز الحد واحد. اثنتان تعطيان نحو ⁦5.405%⁩. وفي فرع 40، اثنتان تساويان ⁦5%⁩ بالضبط، وثلاث تتجاوزانها؛ لا نقرب حصة ورقة إلى السماح بورقتين.
• في فرع 199، عشر تعطي نحو ⁦5.025%⁩، وقد تظهر ⁦5.0%⁩ عند منزلة واحدة. العرض المقرب لا يعيد المقارنة الدقيقة. عشر من 200 تساوي الحد، وعشر من 199 تزيد عليه؛ احتفظ بالعددين قبل المقارنة.
• مجموعتان مؤلفتان، 8 من 80 و 4 من 320، تعطيان ⁦10%⁩ و ⁦1.25%⁩. الجمع الصحيح 12 من 400 أي ⁦3%⁩، لا المتوسط البسيط ⁦5.625%⁩. الإجمالي يخفي فرق التوزيع؛ لم نعط قاعدة رسمية للحكم على كل اتجاه بمفرده.
• إضافة ألف بطاقة صالحة مع إبقاء فرع 11 من 200 لا تغير ⁦5.5%⁩؛ تصير نسبتُها إلى مجموع 1800 نحو ⁦0.611%⁩. ولثلاث أخطاء ثابتة، يلزم مقام 60 على الأقل حتى لا تتجاوز النسبة ⁦5%⁩ حسابيًا؛ ليس إذنًا لتغيير عينة اختبار.
• عشر بطاقات من فئة 5 قيمتها المدونة 50، وعشر من فئة 50 قيمتها 500. إن بقي المقام العددي 200، بقيت ⁦5%⁩. هذا فصل بين العدد والقيمة؛ المبلغ المدون ليس خسارة أو تعويضًا ثبت في التمرين.
• سلة الآلة غير الصالحة ليست التصنيف المرجعي الذي نحتاجه للمقام. مع مرجع مجهول لا نستعيد النسبة من المخرجات وحدها؛ ومع صفر غير صالح تكون القسمة على صفر غير معرفة. لا نحوّل نتيجة سجلنا إلى توقع لأداء آلة مستقبلًا.

تحدد صفحة المعايير الدنيا معنى السماح المذكور: أقصى خمسة بالمئة من أوراق اليورو غير المستوفية لمعايير الصلاحية قد تصنفها الآلة صالحة. [1] نأخذ هذا التعريف المحدد، ولا نسمّي النسبة حدًا لكل الأخطاء التي قد تقع في التعامل بالنقد.

وتصف صفحة الإجراءات اختبار الصلاحية بأوراق أصلية ذات عيوب شبيهة بالاستخدام اليومي، في جميع اتجاهات الإدخال المدعومة. [2] الأصالة هنا وصف لمدخلات هذا الاختبار، لا نتيجة استخرجناها من شكل جدول. نحتفظ باسم الفحص قبل استعمال حدّه في تمريننا.

تعطي هالة بطاقات مرقمة لا صور عملات. لكل بطاقة حالة مرجعية معطاة، وحالة خرجت في نتيجة فرز اخترناها. نفترض اكتمال الحالتين وعدم تكرار البطاقة، وفي نسخة واحدة من السجل؛ هذه شروط حسابنا، لا إجراءات تشغيل آلة أو تعليمات لإعداد عينة رسمية.

إذا وصل تقرير آخر بكلمة «ناجح» فقط، تسجل هالة السؤال الذي تريد التحقق منه: ما الاختبار، وما العددان، وما النطاق الذي تعنيه النتيجة؟ لا نستنتج اعتماد جهاز من حسابنا، ولا ننقل حدًا يخص اليورو إلى أوراق نقدية أخرى دون مرجعها الخاص.

نختار دفعة من 800 بطاقة، منها 200 معطاة غير صالحة، و 600 صالحة في المرجع. نفترض أن عشرًا من المجموعة الأولى خرجت صالحة. يتبقى فيها 190 خرجت غير صالحة؛ لم تختف بطاقات، ولم تدخل بطاقة من المجموعة الأخرى في طرحنا هذا.

النسبة التي تحافظ على المقام المسمى هي 10 مقسومة على 200 ثم مضروبة في مئة: خمسة بالمئة. أما تقسيم العشر على 800 فيعطي 1.25 بالمئة. الحسابان صحيحان عدديًا، لكن الأول يبدأ من المجموعة غير الصالحة، والثاني من جميع البطاقات التي وضعناها.

نفتح بديلًا مستقلًا، خرجت فيه إحدى عشرة من المئتين صالحة، وبقيت بقية المدخلات كما هي. نحصل على 5.5 بالمئة للمجموعة و 1.375 للدفعة. وجود الرقم الثاني تحت خمسة لا يجعل الأول تحتها؛ لا يصلح أصغر الناتجين جوابًا تلقائيًا لكل مقارنة.

تكتب هالة العدد المرجعي والعدد الذي خرج على النحو المقصود قبل النسبة. لو أرسل لها شخص «إحدى عشرة ورقة» دون المئتين، لم يستعد المقام. وقد يتفق عدد الأخطاء في دفعتين مع اختلاف نسبته؛ المعلومة المطلوبة ليست عدد الخطأ وحده ولا إجمالي الدفعة وحده.

نعود إلى النسخة ذات العشر، ونفصل الست مئة الصالحة في المرجع أيضًا. اخترنا أن تخرج 588 منها صالحة، واثنتا عشرة غير صالحة. اكتمل وصف بطاقات الدفعة: كل بطاقة لها مرجع ونتيجة واحدة، فلا نستخدم خانة «غير معلوم» كأنها حكم نهائي.

خرج إلى سلة الصالح 588 من المجموعة الثانية وعشر من الأولى، فيكون مجموعها 598. وإلى السلة الأخرى 190 واثنتا عشرة، أي 202. جمع السلتين يعيد 800، وجمع كل مجموعة مرجعية يعيد عددها؛ هذا تحقق من اتساق السجل الذي اخترناه، لا قياس لأداء منتج.

مجموع الأخطاء المفترضة اثنان وعشرون. الصحيح 190 و 588، أي 778 من 800، نحو 97.25 بالمئة. لا نستخرج من هذا العرض حكمًا عن كل نوع من الخطأ: الاثنتا عشرة جاءت من مجموعة أخرى، بينما نسبة العشر الأساسية بقيت خمسة وفق معطيات فرعنا.

يمكن أن تسأل هالة عن حصة العشر داخل سلة الصالح: تقسمها على 598، فتحصل على نحو 1.672 بالمئة. هنا بدأت من المخرجات، لا من المئتين المرجعيتين. لا نحتاج تغيير أي بطاقة لظهور نسبة مختلفة؛ يكفي أن نغير المجموعة التي سألنا عن حصتها.

نؤلف فرعًا مختلفًا يحتوي 37 بطاقة غير صالحة في المرجع. خمسة بالمئة منها 1.85 بطاقة حسابيًا. لكن العدد الذي سنسجله عدد صحيح؛ لا توجد في هذا الفرع بطاقة جزئية تصنف بمقدار 0.85، ولا نقسم البطاقة الواحدة بين نتيجتين كي يكتمل الحد.

إذا خرجت واحدة صالحة، فالنسبة واحد من 37، نحو 2.703 بالمئة. وإذا خرجت اثنتان، فهي نحو 5.405 بالمئة. لذلك واحد هو أكبر عدد صحيح لا يزيد على خمسة بالمئة في هذه المعطيات. تقريب 1.85 إلى اثنتين يغير شرط المقارنة، ولا يعيد تعريف العدد الصحيح المسموح.

وفي فرع آخر نختار أربعين غير صالحة. اثنتان من أربعين تساويان خمسة بالمئة بالضبط، بينما ثلاث تساوي 7.5. الحد الذي قرأناه لا يزيد على خمسة، فيدخل التساوي في المقارنة العددية. لا نستبدل «لا يزيد» بكلمة «أقل» ثم نرفض التساوي الذي تحقق في المسألة.

هذه حدود حسابية لفروعنا المختارة، وليست أعدادًا نوصي بجعلها عينات اختبار. نحتفظ بحجم كل فرع مع نتيجته، كي لا يصبح عدد واحد نقل من الأربعين جوابًا عن السبع والثلاثين. وتظل إجراءات الاختبار الفعلي منفصلة عن عملية استخراج أكبر عدد صحيح في هذا السجل.

نعطي نسخة فيها 199 غير صالحة، خرجت عشر منها صالحة. النسبة الدقيقة مئة في عشرة على 199، ونحو 5.025126 بالمئة. إذا عرضنا منزلة عشرية واحدة، ظهر 5.0. لم تصبح المئتان هي المقام؛ اختفى فرق صغير في طريقة عرض النتيجة.

للمقارنة دون الاعتماد على العرض العشري، نحفظ العددين: خمسة بالمئة من 199 تساوي 9.95، والعشر أعلى منها. أو نضرب العشر في مئة فنحصل على ألف، ونقارنها بحاصل 199 في خمسة وهو 995. المدخلان موجبان، فالمقارنة تحافظ على اتجاهها.

وفي نسخة المئتين، الحاصلان ألف وألف، أي تساوٍ. قد يظهر الفرعان بالعدد المعروض نفسه 5.0، بينما يختلف جواب المقارنة الدقيقة. لا نزيد المنازل لإظهار دقة قياس لم نعطها؛ نرجع إلى الأعداد الصحيحة المعروفة التي ألفناها قبل حساب النسبة.

إذا كانت هالة تملك صورة خانة مقربة فقط، تسجل طريقة العرض وتطلب عدد المجموعة وعدد الحالات المقصودة. لا تستخرجهما يقينًا من 5.0، لأن كسورًا متعددة يمكن أن تنتهي إلى هذا العرض. وظيفة الصورة نقل ما كتب فيها، وليست إعادة بيانات أصلية حذفت عند التقريب.

نؤلف مجموعتين منفصلتين، ونسميهما أ وب، دون الزعم بأننا نفذنا اتجاهي إدخال في آلة. في أ ثمانون غير صالحة، منها ثمان خرجت صالحة؛ وفي ب ثلاث مئة وعشرون، منها أربع. نفترض عدم التداخل، واكتمال التصنيف المرجعي والنتيجة لكل بطاقة في المجموعتين.

في أ النسبة عشرة بالمئة، وفي ب 1.25 بالمئة. عند جمع البيانات نعطي الاثنتي عشرة مقام أربعمئة، فتكون ثلاثة بالمئة. أما أخذ نصف مجموع النسبتين فيعطي 5.625؛ ساوى حجمين مختلفين في الوزن، فلا يعيد نسبة البطاقات المجمعة التي عرفناها.

تساعد بيانات كل مجموعة على فهم ما أخفاه الإجمالي: أ خُمس غير الصالح المجموع، لكنها تحمل ثلثي الحالات الاثنتي عشرة. لا نوزع الاثنتي عشرة على المجموعتين بالتساوي لمجرد عرض النسبة العامة. إذا احتفظنا بالإجمالي وحده، فقدنا القدرة على استعادة ذلك التوزيع من رقم ثلاثة.

تذكر صفحة الإجراءات اتجاهات الإدخال المدعومة. [2] لكن تمرين المجموعتين لا يضيف إليها قاعدة قبول مستقلة لكل اتجاه أو طريقة تجميع رسمية لم ننقلها. نعرض نتائجنا الثلاث بوضوح، ونترك حكم الاختبار الفعلي لبياناته وطريقته؛ الفرق بين كشف توزيع وحسم قبول جهاز فرق في السؤال نفسه.

نعود إلى البديل ذي إحدى عشرة من مئتين، ونعطي ألف بطاقة صالحة إضافية، كلها خرجت صالحة في هذا الفرع. يصبح مجموع الدفعة 1800، لكن المجموعة المرجعية غير الصالحة بقيت مئتين، وعددها الذي خرج صالحًا بقي إحدى عشرة؛ سمينا ما أضفناه صراحة.

نسبة إحدى عشرة إلى المئتين لا تزال 5.5 بالمئة. وإلى مجموع 1800 تصير نحو 0.611 بالمئة بدل 1.375. لم نحسن النتيجة الأولى بهذا التغيير؛ ضخمنا مقام سؤال آخر. لا نستخدم سرعة معالجة بطاقات إضافية أو عددها لتعديل عنوان النسبة التي لم تتغير مدخلاتها.

ولفحص العلاقة عكسيًا، نثبت عدد الحالات في فرع آخر عند ثلاث. كي تكون ثلاثة من المقام لا تزيد على خمسة بالمئة، يجب أن يكون المقام ستين على الأقل. ثلاثة من 59 نحو 5.085، ومن 60 خمسة، ومن 61 نحو 4.918. هذه مقارنات حسابية مع مجموعة أعلنّا حجمها.

لا يعني ذلك أن نجعل عينة فعلية أكبر حتى تظهر النتيجة المرغوبة. ولم نقدم هنا طريقة اختيار بطاقات جديدة أو دليل تمثيلها. العكس يعين العدد الذي يحقق المتباينة في فرضنا فقط؛ لا ينشئ إجراء اختبار، ولا يثبت أن إكمال مقام ناقص ببطاقات اخترناها يسمح بالحكم على آلة.

نضع فرعًا نقديًا مستقلًا كاملًا: مئتا بطاقة غير صالحة، والعشر التي خرجت صالحة من فئة خمسة يورو في التمرين. مجموع ما كتب على العشر خمسون. الرقم خمسة بالمئة يأتي من عشر على مئتين، ولم نقسم الخمسين على عدد بطاقات لأن ذلك يخلط مبلغًا بعدد.

وفي بديل منفصل، نضع للعشر فئة خمسين بدل خمسة، فيصبح مبلغها المدون خمس مئة. عددها لم يتغير، ولا عدد المرجع، فتظل النسبة العددية خمسة. المبلغ تضاعف عشر مرات، لكن هذا التعديل لم يجعل عشر بطاقات مئة؛ نحفظ كل كمية في عمودها ووحدتها.

إذا أرادت هالة حصة المبلغ، تحتاج أيضًا مبلغ المجموعة الذي ستنسب إليه، وتوزيع فئاتها. لم نعط فئات بقية المئتين هنا، فلا نستخرج مقامًا نقديًا كاملًا. اختلاف أرقام مطبوعة لا يسمح بملء تلك الخانات بافتراض أن جميع البطاقات تحمل الفئة نفسها دون التصريح بذلك.

ولم تقل القصة إن نشاطًا تكبد خمسين أو خمس مئة، أو إن حامل الأوراق يستحق تعويضًا بهذا المقدار. عرّفنا قيمة مدونة للأمثلة فقط. يحتاج السؤال المالي واقعة التعامل ونتيجته ونطاقه؛ ولا يجعل عدد في بطاقة الفرز كل هذه الوقائع معروفة لمجرد أن له وحدة نقدية.

لو بقي أمام هالة سلتان مجموعهما 800، فيهما 598 و 202، دون الحالات المرجعية، فلن تستعيد بالطرح المئتين والعشر. يمكن لسجلات مرجعية مختلفة أن تنتج سلتين بهذا الحجم. عدد ما سمته الآلة غير صالح يصف مخرجًا، ولا يحدد وحده عدد غير الصالح الذي احتواه الإدخال.

وفي فرع لا يحتوي أي بطاقة غير صالحة في المرجع، يكون مقام نسبتنا صفرًا. قسمة صفر على صفر لا تعطي خمسة أو صفرًا معرفًا لهذه الصيغة. نكتب أن المقام غائب عن هذا الفرع، ولا نجعله برهانًا أن كل اختبارات الصلاحية نجحت؛ لم توجد هنا المجموعة التي نريد قياس تلك النسبة داخلها.

تحتفظ هالة باسم نسخة السجل وتاريخه، وبالمرجع والنتيجة وعدد البطاقات غير المكررة، وبالتفصيل الذي يخص السؤال. إذا لم يكتمل حكم بطاقة، تتركها معلومة ناقصة في النسخة الجديدة بدل نقلها إلى خانة صالحة. إعادة إرسال الصف نفسه لا تضيف تجربة أو بطاقة جديدة إلى المقام.

يمكن مراجعة حساباتنا لأننا أعطينا المدخلات وحدود كل فرع، لكننا لا نتوقع منها نسبة آلة في يوم مقبل أو نقارن منتجات في السوق. عند قراءة تقرير فعلي، احفظ تعريفه ومجموعة المقارنة ودقة العرض، ثم اطلب ما ينقصه. المقام الواضح يمنع تبديل السؤال؛ ويظل إثبات الأداء محتاجًا دليل الاختبار الذي لم نجمعه هنا.