geomspace: هل تختار متتابعة حقيقية متناوبة؟

أي طلب نختبر

geomspace تأخذ الطرفين قيمًا وتولد تباعدًا لوغاريتميًا؛ مع النوع المركب تتبع مسارًا حلزونيًا لوغاريتميًا. [1]

سؤالنا عن استدعاء محدد حين تختلف إشارتا الطرفين. نفصل قائمة حقيقية نبنيها بالضرب المتكرر عن القيم التي يرجعها البرنامج؛ لا نحول وجود حل رياضي إلى سجل تنفيذ لم نحصل عليه.

الأعداد مؤلفة بلا وحدة وليست قياسات. نختار عدد القيم ونوع الخرج صراحة ونحفظهما مع الطرفين قبل المقارنة.

حقيقية متناوبة وخرج آخر

شغّلنا np.geomspace(-5,40,num=4,dtype=np.float64) في NumPy 2.3.5 على CPython 3.12.14. سجلنا [−5,NaN,NaN,40] بنوع float64 وشكل (4,).

التقطنا تحذيرًا من فئة RuntimeWarning ونصه invalid value encountered in log10. لا نعده استثناءً أوقف الاستدعاء؛ حصلنا على مصفوفة فيها الطرفان وقيمتا NaN داخليتان.

في حساب مستقل نبدأ عند −5 ونضرب في −2 ثلاث مرات: نحصل على 10، ثم −20، ثم 40. إذن [−5,10,−20,40] متتابعة حقيقية متناوبة، والطرف الأخير −5×(−2)³=40.

بين أربع قيم ثلاثة انتقالات. النسبة السالبة هنا تنقل الإشارة في كل انتقال، وتصل إلى الطرف الآخر. لكن هاتين القيمتين الداخليتين لم تكونا خرج استدعاء float64؛ NaN المسجلة لا تثبت استحالة المتتابعة التي بنيناها.

هذه مقارنة لطلب مكتبة وقاعدة ضرب محددة. لا نعيد تصنيف عدد جميع الحلول الحقيقية، ولا نزعم أن كل متتابعة بين طرفين تولدها الدالة بالطريقة نفسها.

المركب وتحكمان

أعدنا الطلب نفسه مع dtype=np.complex128. سجلنا الجزأين الحقيقي والتخيلي للأربعة على الترتيب: (−5,0)، و(−5,8.660254037844384)، و(9.999999999999995,17.32050807568877)، و(40,0).

نوع الناتج complex128 وشكله (4,). في الرسم والخلاصة نقرب الجزأين للتوضيح؛ العدد الحقيقي الداخلي الثالث المسجل ليس 10 حرفيًا في الكتابة العائمة الكاملة. لا نطالب بتطابق البتات مع المرجع الرياضي.

نختار مرجعًا مستقلًا q=1−i√3، حيث i²=−1. بالتوزيع نحصل على q²=−2−2i√3 وq³=−8. ضرب −5 في 1,q,q²,q³ يعطي −5، ثم −5+5i√3، ثم 10+10i√3، ثم 40؛ هذه صيغة حسابية نراجع بها الجزأين.

المرجع المركب والمتتابعة المتناوبة يصلان إلى الطرفين نفسيهما لكن حدودهما الداخلية مختلفة. لا نسقط الأجزاء التخيلية ثم نسمي الناتج المتتابعة الحقيقية التي اخترناها؛ ولم ننفذ هذا الإسقاط ضمن التجربة.

شغّلنا تحكمًا من −5 إلى −40 بنوع float64 وأربع قيم، فسجلنا [−5,−10,−20.000000000000004,−40]. وللطرفين 5 و40 بالشروط نفسها سجلنا [5,10,20.000000000000004,40]. الشكل (4,) والنوع float64 لكليهما.

التحكمان يبينان القيم المسجلة للطرفين المتفقي الإشارة في هذه الأمثلة. ليس كل بدء سالب سببًا كافيًا لظهور القيم الداخلية NaN؛ ولا نوسع الملاحظة إلى كل أطراف ونوع وعدد.

المراجع والفحص

sqrt في Decimal تحسب الجذر، وprec تضبط دقة الحساب في السياق. [2]

استعملنا localcontext بدقة 100 وحسبنا جذر 3 عدديًا. المرجع محدود الدقة، وليس كتابة عشرية منتهية تساوي العدد غير النسبي تمامًا. حوّلنا كل جزء مرجعي إلى float ثم طبقنا السماح 1e−13+1e−13×|المرجع| لكل جزء.

اخترنا a من 1 إلى 8 وb من 2 إلى 5؛ لدينا 8×4=32 حالة. الطرفان −a وa×b³، والعدد أربع قيم، مع float64 ثم complex128 في استدعاءين منفصلين.

في المرجع الحقيقي نكرر الضرب في −b. وفي المرجع المركب نكتب الأجزاء الحقيقية [−a,−ab/2,ab²/2,ab³] والتخيلية [0,ab√3/2,ab²√3/2,0]. لا يستدعي المرجع geomspace أو لوغاريتمًا أو قوى مركبة أو مثلثات NumPy.

لكل حالة خمسة فحوص: التحقق من الطرفين وقيمتي NaN الداخليتين والنوع والشكل والتحذير في الخرج الحقيقي؛ واتفاق جزأي الخرج المركب مع المرجع؛ ونوع المركب وشكله؛ ومكعب النسبة المركبة بالمكونات؛ والمتتابعة المتناوبة ونسبتها وطرفيها.

حسبنا مكعب b/2−ib√3/2 بالمكونات في Decimal100، وقارنّا الجزء الحقيقي بـ−b³ والتخيلي بصفر، ضمن 1e−90. هذا فحص مرجع عددي، لا كشف لخوارزمية الدالة أو ادعاء جذر دقيق.

أضفنا خمسة تحكمات للمثال: خرج float64؛ والخرج المركب مقارنة بالمرجع؛ والمتتابعة المتناوبة؛ والتحكم السالب؛ والتحكم الموجب. الإجمالي 32×5+5=165، وجميع الفحوص مرت.

استبعدنا الأطراف الصفرية وNaN واللانهاية والأنواع والأعداد الأخرى وaxis واستبعاد النهاية، وبتات الصفر والذاكرة والأداء. لم نحصر جميع المسارات الحلزونية أو قواعد اختيار اتجاهها؛ النتائج تخص الطلبات المعلنة ونطاق الفحص.