leggauss: هل يكفي نقل العقد إلى الفترة الجديدة؟

الفترة القياسية

تعيد leggauss عقدًا وأوزانًا للتكامل العادي على [-1,1]. [1]

القاعدة الرياضية لثلاث عقد تشمل كثيرات الحدود حتى الدرجة الخامسة؛ دالتنا من الدرجة الرابعة. [1]

المثال المؤلف

شغّلنا NumPy 2.3.5 على CPython 3.12.14؛ استخدمنا ثلاث عقد من float64، والدالة المؤلفة f(x)=x**4+2*x+3 على [1.75,5.75].

لكل حالة أنشأنا عقدًا وأوزانًا جديدة باستخدام leggauss(3). نقلنا العقد إلى الفترة المطلوبة، ثم قيّمنا الدالة نفسها عليها لمساري الجمع.

حفظنا بايتات العقد والأوزان قبل العمليات وبعدها، ومدخلي كل نداء dot قبل النداء وبعده؛ بقيت البايتات دون تغيير.

عقد صحيحة وأوزان ناقصة

بعد نقل العقد، أعطى dot بالأوزان الأصلية 647.9078125000001؛ وبالأوزان المضاعفة 1295.8156250000002. المرجع الكسري 414661/320=1295.815625.

في المثال m=3.75 وh=2. العقد المنقولة نحو 2.200806661517033 و3.75 و5.299193338482967؛ مواضعها متطابقة في مساري الجمع.

raw=np.dot(w,values) correct=np.dot(2*w,values)

المعامل 2 هنا مشتق من نصف عرض الفترة، وليس تعديلًا اختير بعد قراءة النتيجة. يعرض الرسم الأوزان مقربة إلى عشر منازل، والمجاميع بالقيم العائمة المسجلة.

عامل العرض والتحكم

ننقل العقد بـx=m+h*t ونضرب الأوزان في h=(b-a)/2، حيث m=(a+b)/2؛ لأن dx=h*dt. [1] [2]

تحكم مستقل على [1.625,3.625] له h=1؛ أعطى المساران 139.42392578125003، فلم يكشف هذا التحكم وحده إغفال عامل العرض.

المرجع مستقل: F(x)=x**5/5+x**2+3*x، ومشتقته دالتنا. أخذنا F(b)-F(a) بكسور Fraction؛ مرجع المجموع دون عامل النقل هو هذه القيمة مقسومة على h.

الشبكة a=i/4 حيث i من صفر إلى 8، وb=j/4 حيث j من i+1 إلى 12. عدد الأزواج 12+11+...+4=72؛ أضفنا المثال والتحكم خارج شبكة الأرباع، فأصبحت 74 حالة.

نفذنا 74 نداء leggauss و148 نداء dot: 222 نداءً مسمى. كل حالة أعادت ست قيم للعقد والأوزان وقيمتي جمع، أي 592 قيمة ناتجة. لم نعد العمليات المتجهية لنقل العقد وتقييم كثير الحدود ضمن هذا العد.

اجتازت المقارنات سماحية مطلقة 1e-10؛ أكبر فرق مرصود مع المرجع المحول إلى float هو 2.2737367544323206e-13. تساوى مسارا الجمع في ست حالات بعامل h=1، واختلفا في 68 حالة أخرى.

في التحكم، المرجع 1427701/10240=139.42392578125؛ اتفاق المسارين عند عامل واحد لا يثبت أن الأوزان الأصلية صالحة لكل فترة.

اقتصر الفحص على ثلاث عقد وهذه الدالة الرباعية وفترات محدودة موجبة العرض. لم نفحص رتبًا أو دوال أخرى أو تحويلًا غير خطي أو طرفين معكوسين أو عرضًا صفريًا أو محاور متعددة أو قيمًا غير منتهية أو أنواعًا وإصدارات أخرى أو الأداء. التطابق الرياضي للقاعدة لا يضمن مساواة عائمة تامة أو دقة عامة.