log: لماذا يختلف لوغاريتم الحاصل بمقدار 2πi؟

ثبت الفرع والنوع

اصطلاح log المركب يختار الجزء التخيلي في (−π,π]. [1]

نقارن هنا لوغاريتمات طبيعية لقيم من complex128. الرمز i في الصيغ هو j في الشيفرة. نقيس الزوايا بالراديان، ونسمي لوغاريتم الحاصل L ومجموع اللوغاريتمين S. لا نأخذ جزءًا حقيقيًا فقط من أي قيمة.

قيمتان محدودتان لكن مختلفتان

لنضع x=−2+7i وy=−3+5i. الجزء الحقيقي للحاصل هو (−2)(−3)−7×5=−29، والتخيلي (−2)5+7(−3)=−31. إذن xy=−29−31i، ومربع مقداره 29²+31²=1802.

على NumPy 2.3.5 وCPython 3.12.14 نفذنا L=np.log(x*y) وS=np.log(x)+np.log(y). كلاهما محدود ومن complex128. أعاد L نحو 3.74832621908414−2.32287349431410i، وأعاد S نحو 3.74832621908414+3.96031181286549i.

هذه قيم عرض مقربة؛ السجل يحفظ الأجزاء الكاملة. الجزء الحقيقي المشترك يوافق نصف ln(1802) في مرجعنا، بينما الجزءان التخيليان مختلفان. المسألة ليست فقدان لوغاريتم حقيقي لعامل سالب: المدخلات هنا مركبة، والطلبات الثلاثة أعادت قيمًا محدودة.

أين ظهرت الدورة الكاملة؟

زاويتا x وy في مرجعنا نحو 1.8490959858 و2.1112158271. جمعهما يعطي 3.9603118129، أكبر من π وأصغر من 2π. طرح دورة كاملة 2π يعطي نحو −2.3228734943، وهي زاوية الحاصل التي وجدناها في L.

سجل التشغيل S−L=(0,6.283185307179586) بترميز الجزء الحقيقي ثم التخيلي؛ وافق 2πi ضمن atol=10⁻¹² وrtol=0. لذلك لا نفصل اللوغاريتم في هذا المثال ثم نتوقع القيمة الرئيسية نفسها دون تصحيح الزاوية.

أعادت exp(L) نحو −28.999999999999996−31i، وexp(S) نحو −29.000000000000004−30.999999999999996i؛ كلاهما وافق الحاصل الصحيح ضمن التسامح. توافق الأس لا يلغي فرق الناتجين الذي سجلناه؛ لا نستخدمه شاهدًا على تساوي L وS.

تحكم وحدود المرجع

غيرنا الجزأين الحقيقيين إلى موجبين: x=2+7i وy=3+5i، فيصبح الحاصل −29+31i. الزاويتان نحو 1.2924966678 و1.0303768265، ومجموعهما 2.3228734943 داخل الفترة الرئيسية. هنا وافق S وL بعضهما ضمن التسامح، ولم نحتج طرح 2π.

في الشبكة اخترنا p من {1,2,4}، وq من {1,3,5}، وr من {1,2,3}، وs من {1,2,4}. لكل مجموعة قارنا x=−p+qi وy=−r+si بتحكم x=p+qi وy=r+si. في المجموعة الأولى جمع زاويتَي الربع الثاني يتجاوز π؛ في التحكم جمع زاويتَي الربع الأول أقل منها.

عدد مجموعات الشبكة 81؛ الرئيسية p=2 وq=7 وr=3 وs=5 خارجها. إذن 82 مجموعة، ولكل منها حالتان، أي 164 حالة وثماني مجموعات تحقق لكل حالة: 1312 فحصًا.

صنعنا مرجع الضرب من أجزاء صحيحة. الجزء الحقيقي للوغاريتم من Decimal بدقة 80 رقمًا، بنصف لوغاريتم مجموع مربعي الجزأين؛ الزاوية من math.atan2. لم نستعمل log أو angle في NumPy لصنع المرجع. شمل الفحص القيم والصيغ والأس والأشكال والأنواع وثبات بايتات المدخلات.

جميع أجزاء المعلمات موجبة، والحواصل ذات جزء تخيلي غير صفري. لم نفحص طرفي القطع أو الصفر الموقّع أو الصفر أو غير المحدود أو المدخل الحقيقي أو الدفعات أو out أو where أو الأداء. تصحيح 2π المختبر يخص هذه العائلة، ولا نعممه على كل مدخل مركب.