منحنى لورنز وتوزيع الدخل: ماذا يخفي الرقم الواحد؟

ابدأ من القائمة كاملة وترتيبها، ثم افصل الحصص عن المبالغ؛ الرقم الملخص لا يصف كل نقطة في الرسم.

• حالتنا ثمانية بالغين منفردين بأوزان متساوية؛ مبالغ سنوية غير سالبة بالوحدة نفسها: 0 و 10 و 10 و 20 و 20 و 30 و 40 و 70. الجميع معلومون؛ المجموع 200 والمتوسط 25. ليست عينة نقدر منها بلدًا.
• في وصف البنك الدولي وشرح ماس، الأفقي حصة الأشخاص بالتراكم من الأقل، والرأسي حصة دخلهم. [1][2] في حالتنا النصف الأول يجمع 40، أي 20 بالمئة؛ والأخير وحده 70، أي 35 بالمئة. نقاطنا موصولة بخطوط مستقيمة.
• مساحة المضلع تحت الرسم 0.28125؛ الفجوة إلى خط التساوي 0.21875، ونسبتها إلى مثلث 0.5 تعطي 0.4375، أو مؤشرًا 43.75 على مقياس مئة. [1][2] لا تعني النتيجة أن هذا نصيب الأغنى.
• مضاعفة كل مبلغ تعطي مجموعًا 400 مع الحصص نفسها والجواب نفسه؛ وتنصيفها يعطي 100 كذلك. لكن إضافة عشر للجميع تعطي 280، ومساحة 0.34375، وجوابًا 0.3125 أو 31.25؛ كل مبلغ ارتفع، لكن العمليات مختلفة.
• قائمتان مستقلتان من أربعة: 0 و 10 و 20 و 30، مقابل 0 و 12 و 16 و 32. مجموع كل منهما 60؛ الجواب ⁦5÷12⁩، أي نحو 41.67 على مقياس مئة. حصة الأولين تختلف، وكذلك حصة الثلاثة؛ الرقم المتساوي لا يجعل الرسمين متطابقين. [1][2]
• في الأصل، متوسطا نصفي القائمة 10 و 40؛ استبدال السجلات بهما مكررَين يعطي جوابًا 0.30. ومعاملا النصفين 0.375 و 0.25؛ متوسطهما 0.3125 وليس 0.4375 للقائمة كلها. وكل الأصفار معًا تجعل قسمة الحصص على الإجمالي غير معرفة هنا.
• تعريف OECD للدخل المتاح الأسري يشمل العوائد والتحويلات النقدية العامة بعد طرح ضرائب الدخل والاشتراكات الاجتماعية. [3] لا نعيد إنتاجه بسجلاتنا التعليمية. وينبه البنك الدولي إلى اختلاف مفاهيم الدخل والاستهلاك وطرق المسوح. [1] سنة بداية الجمع ومفهوم المبلغ ووحدة الأشخاص لازمة قبل مقارنة خبرين.

نختار ثمانية بالغين، كل منهم يعيش منفردًا، وكل سجل له الوزن نفسه. سنعاملهم كمجتمع المثال الكامل، لا ثمانية مستجيبين لمسح عن آلاف الأشخاص. المبالغ دخل تعليمي معرف على أساس واحد للسنة نفسها، ولا ندخل معها قيمة بيت أو رصيد ادخار. اسم الوحدة ج، والأسعار والفترة ثابتة داخل المقارنات؛ الأرقام ليست قياسًا لقدرة الشراء في بلد.

تبدأ القائمة بصفر ثم عشرة وعشرة وعشرين وعشرين وثلاثين وأربعين وسبعين. الصفر معلوم في القصة، وليس خانة غابت عن الملف. مجموعها مئتان، وبقسمته على ثمانية نحصل على خمسة وعشرين. نحتاج كل مبلغ لبناء الرسم الآتي؛ المتوسط وحده لا يعيد إلينا الأسماء ولا توزيع المئتين بينها.

ولتوضيح ذلك نكتب ملفًا آخر يعطي كل بالغ خمسة وعشرين. مجموع الملف الثاني مئتان أيضًا، لكن أصحابه متساوون في المبلغ الذي قدمناه. لا نضعه بدل الأول لمجرد اتفاق الإجمالي والمتوسط. أي تقرير عن الحالة يجب أن يحدد القائمة التي يستند إليها؛ لم تختفِ السبعون والصفر من الأولى بسبب سهولة عرض رقم خمسة وعشرين.

لورنز يبدأ من الأقل دخلًا. [1][2] نجمع الأول ثم الأولين، ثم نواصل إلى الجميع. إذا بدأنا بالسبعين، ظهرت قصة أخرى؛ وصفها بأنها تراكمية لا يجعلها الرسم الاقتصادي الذي نريد تفسيره. نحفظ السجلات الأصلية وننشئ منها قائمة مرتبة، بدل تغيير المبالغ لكي تبدو الأسطر منتظمة.

للعشرتين موقعان متجاوران، وللعشرين كذلك. تبادل صاحبي المبلغ المتساوي لا يغير الأعداد التراكمية في حالتنا. أما نقل السبعين إلى البداية فيغير ما نضيفه أولًا؛ لا يصح تجاهله بحجة أن الإجمالي ما زال مئتين. الأمر ليس اختبارًا لأهمية اسم الشخص، وإنما تحديد لمن دخل في كل نقطة من القصة.

ويمكن أن نعطي السجلات حروفًا بدل الأسماء، مع حفظ الربط بينها وبين قيمها. الحرف لا يجعل صاحبه فقيرًا أو غنيًا وفق حد رسمي؛ لم نضع حدًا من هذا النوع. نستخدم موقع المبلغ في قائمتنا فقط، ولا نستنتج المهنة أو أسباب اختلاف الأموال أو استحقاق مساعدة من رتبة السطر.

يفصل شرح ماس بين التراكم السكاني والتراكم المالي على المحورين. [2] عدد أربعة من ثمانية يساوي نصفًا. لكن الأربعة الأوائل يجمعون أربعين من مئتين، أي خمسًا. النقطة التي نكتبها إذن 50 بالمئة أفقيًا و 20 بالمئة رأسيًا. اختلاف النسبتين هو المعلومة التي نريد إظهارها، وليس خللًا في جمع الجدول.

نضيف السادس، فيصير المجموع التراكمي تسعين؛ ثم السابع فيصبح 130، ثم الثامن فيكتمل إلى 200. السابع وما قبله يمثلون 87.5 بالمئة من الأشخاص و 65 بالمئة من المبلغ. المتبقي شخص واحد وسبعون؛ ولذلك لا نقرأ 65 باعتبارها حصة السابع وحده. جدولنا يجمع من البداية إلى موقعه، ولا يعطي مبلغ آخر سطر وحده.

أما حصة الأخير وحده فهي 35 بالمئة، في حين حصة أول اثنين خمسة بالمئة. الأولى جاءت من قسمة سبعين على مئتين، والثانية من عشرة على مئتين. لا نكتب عدد الأشخاص في مقام قسمة المبالغ، ولا نضع مئتين في مقام قسمة أربعة أشخاص. إبقاء عنوان العمود واضحًا يمنع مزج العدد بالأموال.

جيني نسبة مساحة الفجوة إلى المثلث تحت خط التساوي في شرح ماس. [2] وعلى محاور من صفر إلى واحد، مساحة هذا المثلث نصف. نصل نقاط حالتنا بخطوط مستقيمة؛ لذا يكون كل شريط بين نقطتين شبه منحرف عرضه ثمن. هذا اختيار تمثيل معلن للقائمة الكاملة، وليس ملاءمة منحنى لمسح مجمع أو تخمين دخل أشخاص غائبين.

الارتفاعات المتتالية هي 0 ثم 0 ثم 0.05 ثم 0.10 ثم 0.20 ثم 0.30 ثم 0.45 ثم 0.65 ثم 1. مساحة الشريط تساوي متوسط ارتفاعيه مضروبًا في 0.125. مثلًا، الشريط الأخير يعطي 0.103125، من متوسط 0.65 و 1. لا نستعمل ارتفاع النهاية وحده لكل العرض؛ ذلك سيستبدل الخط المائل بمستطيل لم نرسمه.

نجمع الأشرطة الثمانية فنجد 0.28125. نطرحه من نصف فنحصل على 0.21875، ثم نقسم على نصف: 0.4375. كل خطوة تستعمل المحاور ذاتها؛ لو قرأناها كنسب من صفر إلى مئة، تغيرت وحدة المساحة، لكن النسبة النهائية لا تتغير بعد استخدام المثلث بوحدته المناسبة. لا نجمع مساحة محسوبة على المحور الأول مع مساحة من رسم آخر.

المؤشر بمقياس صفر إلى مئة؛ والصفر للتساوي. [1] معاملنا 0.4375 يتحول إلى 43.75 على هذا المقياس بضربه في مئة. أما حصة صاحب السبعين فكانت 35 بالمئة. تشابه شكل كتابة عدد عشري أو علامة النسبة لا يجعل الرقمين يصفان المقدار نفسه.

في الملف البديل الذي يعطي الجميع خمسة وعشرين، تزداد القيم التراكمية بنسب الأشخاص نفسها. النقاط على خط التساوي، ومساحة ما تحته نصف، والفجوة صفر، فيكون الجواب صفرًا. هذا تطبيق على ثمانية مبالغ موجبة معلومة. لا نفهمه على أنه إثبات أن كل احتياجات أصحابها متساوية أو أن حياتهم متماثلة.

ونحافظ في عرض الحالة على المنازل العشرية التي أنتجتها القسمة. لو قربنا مبكرًا كل ارتفاع، تغير جمع الأشرطة قليلًا؛ لذلك يمكن للقارئ إعادة الحساب من الكسور الأصلية. لا نضيف تصحيحًا لحجم عينة، ولا نزعم إعادة بناء طريقة منصة إحصائية وطنية. الملف مجتمع تعليمي كامل، وصيغته معلنة إلى جانب جوابه.

نبدأ فرعًا مستقلًا بمضاعفة كل سجل. تصبح القائمة صفرًا وعشرين وعشرين وأربعين وأربعين وستين وثمانين ومئة وأربعين، بمجموع أربعمئة. الأربعة الأوائل يجمعون ثمانين، وثمانون من أربعمئة تعيد عشرين بالمئة. لم نضاعف رقم الأشخاص؛ ما زالوا ثمانية، وتبقى حصتهم التراكمية كما كانت.

كل بسط مالي تضاعف، وكذلك المقام الذي نقسم عليه، فتعود جميع النقاط نفسها. بقيت المساحة والجواب 0.4375. هذه نتيجة لأرقام اخترناها وعملية طبقناها على الجميع، لا خبر عن أثر نمو اقتصاد فعلي. لا يعني بقاء الرسم أن الأموال بقيت مئتين؛ الإجمالي الجديد ظاهر في رأس الجدول.

وفي فرع آخر ننصف الأصل بدل مضاعفته، فيصير الإجمالي مئة والمتوسط 12.5. تعود الحصص كذلك، مع هبوط كل مبلغ موجب. لذلك لا يكفي الرقم الملخص وحده لمعرفة هل كانت الأموال في هذه الفروع أكبر أو أصغر. إذا عرضنا الجواب دون إجمالي القائمة، أخفينا فرقًا عدديًا معلومًا بين الحالات التي ألفناها.

نعود إلى الأصل ونضيف عشر وحدات لكل واحد من الثمانية. تصبح القيم 10 و 20 و 20 و 30 و 30 و 40 و 50 و 80؛ أضفنا ثمانين إلى المئتين، فالمجموع 280 والمتوسط 35. هنا صاحب الصفر صار عند عشرة، وصاحب السبعين عند ثمانين. الزيادة النقدية واحدة، لكن نسبتها إلى المبلغ السابق ليست واحدة؛ ولا نقسم عشرًا على صفر لنعطي نسبة تغير صالحة.

الأربعة الأوائل يجمعون ثمانين الآن، أي ⁦2÷7⁩ من الإجمالي، نحو 28.57 بالمئة. ليس ذلك عشرين بالمئة كما في فرع المضاعفة، مع أن ثمانين ظهرت في كليهما. المقام هنا 280 وهناك 400؛ قراءة البسط وحده كانت ستخفي الفارق. وصاحب الثمانين الأخير له نحو 28.57 بالمئة أيضًا، بدل حصة السبعين الأصلية 35.

نعيد حساب المقاطع بالطريقة المعلنة، فتكون المساحة 0.34375 والجواب 0.3125، أو 31.25 على مقياس مئة. انخفض الأخير 12.5 نقطة عن 43.75، بينما ارتفعت كل المبالغ. الفروع ليست برامج منح أو توقعات سلوك؛ افترضنا وصول العشر كاملة بلا تغيير بقية السجلات، ثم قرأنا أثر العملية المختارة على القائمة.

تحذر مراجع البنك الدولي وماس من إمكان اتفاق المؤشر مع اختلاف المنحنيين. [1][2] نؤلف مثالًا مستقلًا من أربعة أشخاص: صفر وعشرة وعشرون وثلاثون. ولأربعة آخرين نكتب صفرًا واثني عشر وستة عشر واثنين وثلاثين. مجموع كل قائمة ستون ومتوسطها خمسة عشر؛ لم نقتبس توزيع بلد أو نرتب قائمة وطنية.

عند نصف الأشخاص، يجمع الأولون عشرة في القائمة الأولى واثني عشر في الثانية: الحصتان سدس وخمس. وعند ثلاثة أرباعهم، نجد ثلاثين في الأولى وثمانية وعشرين في الثانية: نصف مقابل ⁦7÷15⁩. الثانية أعلى عند نقطة النصف لكنها أدنى عند النقطة التالية. إذن لا تكون إحداهما فوق الأخرى طوال الرسم الذي وصلنا نقاطه.

مساحة ما تحت كل مضلع ⁦7÷24⁩، والفجوة ⁦5÷24⁩، ونسبتها إلى نصف ⁦5÷12⁩. يظهر الجواب نحو 41.67 على مقياس مئة للقائمتين. لا يعيد هذا الاتفاق الستة عشر إلى عشرين أو الاثني عشر إلى عشرة؛ احتفظت كل قائمة بمبالغها. ننشر الجدول أو نقاطه المهمة مع الرقم، لأن الرقم منفردًا لا يتيح استرجاع السجلات.

نقسم الأصل الثماني إلى مجموعتين معلنتين، أول أربع سجلات وآخر أربع. للأولى مجموع أربعين ومتوسط عشرة، وللثانية مجموع 160 ومتوسط أربعين. إذا أعطينا كل شخص في الأولى عشرة وفي الثانية أربعين، بقي الإجمالي مئتين. لكننا أنشأنا قائمة جديدة، ولم نختصر الأصل اختصارًا يحفظ كل اختلاف داخله.

تعطي القائمة البديلة جوابًا 0.30، مقابل 0.4375 للأصل. اختفت فروق صفر وعشرين في النصف الأول وفروق عشرين وسبعين في الثاني. هذا يبين في بياناتنا لماذا نحتاج وصف ما احتفظ به الجدول المجمع، لا إجمالي الأموال وحده. المتوسطان يكفيان لإعادة إجمالي النصفين، لكنهما لا يقدمان جميع نقاط الحالة الأولى.

كما نطبق الحساب على كل نصف وحده، فنجد 0.375 و 0.25. متوسطهما 0.3125، وليس جواب الثمانية. معامل المجتمع ليس جمع معاملات مجموعاته. [1] نرى هنا الخلط حتى مع نصفين متساويين في العدد؛ إعلان الوزن العددي لا يعيد ما غاب عن العلاقة بين المجموعتين.

في حالتنا الأولى للصاحب الأول دخل صفر معلوم، بينما الإجمالي موجب. لذلك ظل مقام الحصص مئتين وكان إدخاله ممكنًا. أما لو اخترنا للجميع صفرًا، فالإجمالي صفر؛ القسمة المطلوبة لا تعرف حصة مالية. لا نضع جواب التساوي الصفري مكان عملية لم نتمكن من تعريفها، ولا نعالج الصفر بحذف أحد الأشخاص بعد النظر إلى النتيجة.

ولو غاب مبلغ السبعين عن ملف آخر، لم نعرف إجمالي ذلك الملف. لا تكتمل بقية النقاط باستخدام مئتين القديمة وكأن السطر ما زال معلومًا. نعلن المعلومة الغائبة وننتظر قيمتها أو نحدد افتراضًا جديدًا قبل الحساب. لا تمنحنا الأعداد السبعة الأخرى قيمة الثامن تلقائيًا؛ لم نقدم قاعدة تفرض عليه أن يكمل المجموع إلى مئتين.

ولا ننقل طريقة الرسم هنا إلى قائمة أرصدة سالبة أو ثروات من تلقاء أنفسنا. فرضنا مبالغ غير سالبة ومجموعًا موجبًا، وبنينا النتيجة على هذين الشرطين. نحتاج تعريفًا مناسبًا قبل دراسة ملف يخرج عنهما. حدود الحالة لا تمنع دراسة ملفات أخرى، لكنها تحدد بالضبط ما يستطيع القارئ التحقق منه في الأرقام المعروضة.

تعريف OECD للدخل المتاح الأسري يضم العوائد من العمل والعمل المستقل ورأس المال والتحويلات النقدية العامة، مطروحًا منها ضرائب الدخل والاشتراكات الاجتماعية. [3] نذكر مفهومًا مسمى؛ لا نطبقه بأثر رجعي على خانة تعليمية لم نعط بنودها. ولا يكفي اتفاق وحدة النقد لتقرير أن جدولين يقيسان المتغير نفسه.

اختلاف المسوح ومفهوم المبلغ يحد المقارنة. [1] سنة المؤشر سنة بداية الجمع. [1] لذلك ننقل سنة السجل الموصوف، لا سنة اليوم الذي قرأنا فيه الصفحة، ثم نسأل عن الأشخاص والأوزان والفترة التي يشملها العدد.

يمكن أن نخرج من خبرين بقرار قراءة بسيط: إذا اختلف تعريف المبلغ، نذكر الفرق قبل أن نعلن أن التوزيع تغير. وإذا اتفق الرقم، لا نزعم أن كل فئة بقيت عند موقعها القديم. وفي ملفنا نستطيع عرض كل سجل وكل فرع؛ أما رقم منشور وحده فلا يقدم جميع هذه المعلومات، ولا يبرر اختراعها لاستكمال قصة جذابة.