نشرح تعدد معدل العائد الداخلي بمثال مؤلف له جذران، ثم نختبرهما بالتعويض ونقرأ قيمة التدفقات عند معدل خصم معطى. لا تمثل الأرقام مشروعًا أو عائدًا متحققًا.
الخلاصة السريعة
في مثالنا، يحل معدلان مختلفان المعادلة نفسها؛ لذلك نعرض الجذرين ونفحص الحساب عند المعدل المطلوب المعطى.
- معدل العائد الداخلي يجعل صافي القيمة الحالية صفرًا، وقد تتعدد جذوره. [1]
- المثال المؤلف هو ناقص 160 عند البداية، وموجب 440 بعد فترة، وناقص 300 بعد فترتين متساويتين. نحافظ على الإشارات والترتيب والوحدة النقدية.
- ضمن المجال r > −1، يعطي التحليل الجبري جذرين: 25% و50% لكل فترة. نتحقق من كليهما بالتعويض، ولا نفترض أن الفترات سنوات.
- عند معدل معطى 10%، الصافي نحو ناقص 7.934؛ أما متوسط الجذرين 37.5% فيعطي نحو موجب 1.322، ولا يمثل جذرًا ثالثًا.
- الصافي موجب بين الجذرين وسالب خارجهما في هذا المثال. إثباتنا للمعادلة المحددة لا يعني أن كل تدفقات تتغير إشارتها مرتين لها جذران مقبولان.
- مضاعفة التدفقات كلها تضاعف الصافي وتبقي الجذرين. حذف الدفعة الأخيرة يغير النموذج إلى تدفقين لهما هنا جذر 175%؛ هذه ليست نتيجة للمثال الأصلي.
- راجع المصدر الزمني لكل مبلغ ووحدة الفترة، وحدد المعدل المطلوب مستقلًا عن الحل. لا تختَر أحد الجذرين أو متوسطهما لتبرير نتيجة سابقة، ولا تحول المثال إلى توقع ربح.
ما الذي نبحث عنه عندما نقول إن للمعادلة جذرين؟
يعرّف عرض داموداران معدل العائد الداخلي بأنه معدل الخصم الذي يجعل صافي القيمة الحالية صفرًا، ويعرض حالة لها معدلان. نستعمل هاتين الفكرتين فقط؛ المثال والأرقام والتحليل الآتي مؤلفة بصورة مستقلة. [1]
لنبدأ بسؤال محدود: هل يمكن أن نجمع القيم المخصومة لتدفقات معينة، فنجد أن المجموع يساوي صفرًا عند نسبتين مختلفتين؟ سنجيب عن السؤال بالتعويض المباشر، بدل الاكتفاء بإعلان أن برنامجًا أعاد نسبة معينة. كلمة الجذر هنا تعني قيمة للمتغير تحقق المعادلة. فإذا أعطتنا قيمتان مختلفتان صفرًا عند إدخالهما، ولدينا المجال نفسه والبيانات نفسها، فقد وجدنا حلين للمسألة المحددة. لا نحتاج إلى إسناد أحد الحلين إلى مشروع آخر حتى نفسر وجودهما.
تخيل ورقة حساب لا تحتوي سوى ثلاثة مبالغ وأوقاتها. يستطيع قارئان استعمال الورقة نفسها، فيختبر الأول نسبة معينة ويختبر الثاني نسبة أخرى. إذا صح الحسابان، فلن يحسم الخلاف اختيار الرقم الأكبر أو أخذ متوسط النسبتين. المطلوب هو تسجيل أن المعادلة تقبل الحلين، ثم فصل هذه النتيجة عن السؤال الذي نريد الإجابة عنه بالمعدل المطلوب. سنرى أن هذه الخطوة تمنع استنتاجًا متسرعًا حتى عندما تكون النسبتان موجبتين وتبدوان مرتفعتين.
هناك أيضًا فرق داخل مثالنا بين شرط الحساب وحكم الاستثمار. عبارة «هذه النسبة تجعل المجموع صفرًا» تصف معادلة محددة، بينما عبارة «هذا مشروع مناسب» تحتاج إلى معلومات لم نعطها أصلًا، مثل تحقق التدفقات وافتراضات صاحب القرار. لذلك سنبقي العملات والأنشطة وأسباب المدفوعات افتراضية. لا نضع اسم منتج مالي أو تكلفة تمويل فعلية حول المثال، ولا نسمي أحد الجذرين ربحًا مضمونًا. غرض الورقة أن توضح أين يدخل كل مبلغ وكيف نختبر جوابًا عدديًا يمكن التحقق منه.
ثبت التدفقات وأوقاتها قبل تجربة أي نسبة
نعطي النموذج دفعة خارجة مقدارها 160 وحدة نقدية عند البداية، ودفعة داخلة مقدارها 440 عند نهاية الفترة الأولى، ثم دفعة خارجة مقدارها 300 عند نهاية الفترة الثانية. نكتبها بالإشارات −160, +440, −300 وفق هذا الترتيب. جميع المبالغ من الوحدة النقدية الافتراضية نفسها، وطول الفترة الأولى يساوي طول الثانية. لا نفترض أن الدفعة الأخيرة اختيارية، ولا أن جزءًا منها مغطى من مصدر آخر؛ هي مبلغ كامل من بيانات السؤال.
تعني البداية الموضع الزمني صفرًا، ولذلك يبقى مبلغها كما هو في المعادلة. أما الدفعة التالية فسنقسمها على عامل واحد نسميه واحدًا زائد المعدل، ونقسم الأخيرة على مربع العامل نفسه لأنها تأتي بعد فترتين. نختار هذا التوقيت صراحة حتى لا نخفي اختلافًا وراء ترتيب الأرقام. لو وضعت الدفعة الداخلة في البداية والخارجة الأولى بعد فترة، فلن تكون قد رتبت الورقة بصورة أجمل فقط؛ ستكون قد كتبت قصة زمنية مختلفة لها معادلة أخرى.
نرمز إلى المعدل العشري بالحرف r، فتأخذ المعادلة الصيغة NPV(r) = −160 + 440/(1+r) − 300/(1+r)². الحرف المختصر في أولها مجرد اسم للصافي المحسوب من هذه الحدود. عند إدخال ربع مثلًا نعني نسبة خمسة وعشرين بالمئة، وليس العدد خمسة وعشرين كاملًا. وعند إدخال نصف نعني خمسين بالمئة. كتابة المعدل بوصفه كسرًا منذ البداية تمنع الالتباس الذي يجعل المقام ستة وعشرين بدل واحد وربع.
نقيد فحصنا بالمجال الذي يزيد فيه المعدل على ناقص واحد. بهذا يكون العامل واحدًا زائد المعدل موجبًا، ولا يصبح المقام صفرًا. هذا شرط النموذج الذي سنحلله، وليس إعلانًا عن معدل متاح في السوق. كذلك نسمي الوحدة الزمنية «فترة» طوال الشرح؛ لم نعط تاريخين يثبتان أنها سنة أو شهر. إذا احتجت إلى تطبيق مختلف، فعليك تحديد طول الفترة وأوقات المبالغ أولًا، بدل وضع كلمة سنوي بجوار النتيجة لمجرد أن النسبة مألوفة في نشرات مالية.
كيف يظهر الجذران من التحليل الجبري؟
للوصول إلى الصفر نضع مجموع الحدود مساويًا له. ثم نستخدم رمزًا مساعدًا هو x = 1+r، بحيث يكون موجبًا في المجال المختار. تصبح المعادلة −160 + 440/x − 300/x² = 0. نضرب الطرفين في مربع الرمز المساعد. هذا المربع ليس صفرًا ضمن مجالنا، ولذلك لا نضيف بهذه الخطوة حلًا عند مقام ممنوع. ينتج كثير الحدود −160x² + 440x − 300 = 0، وهو أسهل في التحليل من الكسور المتفرقة.
يمكن كتابة الطرف الأيسر على صورة حاصل الضرب −20(4x−5)(2x−3). لنتحقق من التحليل بدل حفظه: ضرب العاملين الأخيرين يعطي ثمانية أمثال مربع الرمز، ثم ناقص اثنين وعشرين مثل الرمز، ثم موجب خمسة عشر. وعند ضرب هذه الحدود في ناقص عشرين نستعيد ناقص مئة وستين للمربع، وموجب أربعمئة وأربعين للحد الأوسط، وناقص ثلاثمئة للثابت. بهذه المراجعة نعرف أن الصيغة الجديدة تخص الأرقام المعطاة، وليست معادلة قريبة نقلنا جذورها بالخطأ.
لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يكفي أن يساوي أحد العاملين المتغيرين صفرًا؛ الثابت ناقص عشرين لا يتغير. العامل الأول يعطي x = 5/4، والعامل الثاني يعطي x = 3/2. لكنهما قيمتان للرمز المساعد، فلا نقدمهما مباشرة على أنهما نسبتا العائد. نطرح واحدًا من كل قيمة لنعود إلى المعدل الأصلي، فنحصل على الربع والنصف. ومن هنا تأتي النسبتان خمسة وعشرون بالمئة وخمسون بالمئة لكل فترة كما عرّفناها.
كلتا القيمتين تحقق شرط المجال، لأن إضافة واحد إلى كل منهما تعطي عاملًا موجبًا. كما أن التحليل الكامل لهذا المقدار التربيعي يوضح أن عاملًا ثالثًا متغيرًا لم يبق لنبحث عن صفره. نقول إذن إن لهذا المثال الجذرين المذكورين ضمن المجال المحدد، بناء على التحليل الفعلي. لا نستبدل هذا الإثبات بملاحظة وجود إشارتين متغيرتين في القائمة؛ الإشارات لفتت انتباهنا، أما الجذور فقد أثبتناها من حدود المعادلة نفسها وبالتحقق من عدم إلغاء مقام أو إدخال قيمة ممنوعة.
اختبر كل جذر بالتعويض ولا تختَر المتوسط
عند المعدل الأول يكون العامل 1.25. قسمة الدفعة الداخلة 440 عليه تعطينا 352 ، وقسمة الدفعة الأخيرة 300 على مربعه تعطينا 192. تصبح العملية −160 + 352 − 192 = 0. لم نغير مبلغًا أو توقيتًا حتى يصل المجموع إلى الصفر؛ استعملنا الحدود الأصلية مع المعدل المرشح فقط. هذا هو اختبار الجذر الأول، ويستطيع القارئ إجراؤه منفصلًا عن أي رسم أو اختيار آلي للمعدل داخل أداة حساب.
عند المعدل الثاني يكون العامل 1.5. نحصل على كسرين هما 880/3 للدفعة الداخلة و400/3 للدفعة الأخيرة. الفرق بينهما يساوي 160 تمامًا، فيلغي مبلغ البداية الخارج. من الأفضل هنا إبقاء الكسور إلى نهاية العملية؛ تقريب كل حد مبكرًا قد يظهر فرقًا صغيرًا في الشاشة رغم أن الجذر الدقيق يعطي صفرًا. وجود فرق ناتج عن تقريب عشري لا يبرر حذف الدفعة الأخيرة أو تعديل إشارتها حتى يختفي.
قد يقترح شخص أن نتصالح بين النتيجتين باختيار المتوسط، وهو سبعة وثلاثون ونصف بالمئة. لكن المتوسط ليس اختيارًا محايدًا لحل هذه المعادلة. عند إدخاله يصبح الصافي 160/121، أي نحو موجب 1.322 وحدة، بدل الصفر. هكذا نستطيع رفض دعوى أنه جذر ثالث بعملية محددة، دون وصفه بأنه قريب بما يكفي أو مختلف شكليًا فقط. ليس كل رقم يقع بين حلين حلًا أيضًا، حتى لو بدا منطقيًا عند حساب متوسط النسب.
كما لا يثبت العثور على جواب واحد أن جوابًا آخر غير موجود. في هذه الورقة لدينا اختباران ناجحان للمبالغ نفسها، والتحليل الجبري يربطهما بمعادلة واحدة. لذلك يتضمن السجل الصحيح القيمتين ومجالهما وطريقة إثباتهما. إذا نقلت إلى تقريرك النتيجة الأولى وحدها، فسوف يفقد القارئ معلومة أساسية عن النموذج. وإذا اخترت الثانية لأنها أكبر، فلن تكون قد شرحت لماذا يصبح الجذر الآخر غير صالح؛ لم يتغير شيء في التعويض الذي أثبت صحته. عرض الحلين يسبق تفسير القرار الذي نريد استخلاصه.
ماذا تقول قيمة الصافي عند معدل معطى؟
لنفترض الآن أن السؤال يحدد معدل خصم مقداره عشرة بالمئة لكل فترة. لا نستخرجه من الجذرين ولا نزعم أنه تكلفة رأسمال مقاسة؛ إنه إدخال آخر في المثال. نعوض به في المعادلة الأصلية فنحصل على −960/121، أي نحو ناقص 7.934 وحدة نقدية. النتيجة سالبة رغم أن كلي الجذرين أكبر من عشرة بالمئة. لذلك فإن مقارنة المعدل المعطى بأحد الجذرين وحدها لا تنقل إشارة الصافي الصحيح لهذا الترتيب من التدفقات.
يمكننا فهم الإشارات من التحليل السابق. مربع المقام موجب، ولذلك تتحدد إشارة الصافي بإشارة البسط. قبل الجذر الأول يكون العاملان المتغيران سالبين، فيكون حاصل ضربهما موجبًا، ثم يجعله الثابت السالب سالبًا. بين الجذرين يصبح أحد العاملين موجبًا والآخر سالبًا، فيصير حاصل الضرب بعد الثابت موجبًا. وبعد الجذر الثاني يصبح العاملان موجبين، فيعيد الثابت السالب الإشارة إلى السالب. هذا وصف مستنتج للمعادلة المحددة، وليس قاعدة ننقلها إلى أي رسم مالي آخر.
يعرض الرسم جزءًا من المجال، من معدل صفر إلى خمسة وسبعين بالمئة. عند الصفر يكون المجموع ناقص عشرين، وعند الجذرين يلامس خط الصفر بالعبور من جهة إلى أخرى. بينهما توجد قيم موجبة، ومنها قيمة المتوسط التي حسبناها. وعند خمسة وسبعين بالمئة تكون النتيجة −320/49، أي نحو ناقص 6.531. نقاط الفحص هذه ليست مشاهدات سوقية؛ هي نتائج حساب للمعادلة نفسها، وضعت على محور حتى يظهر اختلاف الإشارات بصورة يسهل مقارنتها.
لا يعني هذا أن الرسم يسير بخط مستقيم بين النقاط، ولا أن كل قيمة موجبة بين الجذرين متساوية. نميز مواضع تقاطع الصفر عن ارتفاع المنحنى بينهما، ونقرأ مقياس المحور الرأسي بالوحدة النقدية لا بالمئة. إذا ظهرت القمة صغيرة في الرسم فهذا يتفق مع قيمة موجبة تقارب وحدة واحدة في نقطة المتوسط، مقابل عشرين وحدة سالبة عند الصفر. اختلاف الوحدتين مهم: المحور الأفقي يغير المعدل، بينما المحور الرأسي يعرض مقدارًا نقديًا محسوبًا عند كل معدل.
مضاعفة المبالغ تختلف عن حذف الدفعة الأخيرة
لننشئ فرعًا جديدًا نضاعف فيه المبالغ الثلاثة كلها، فتصبح ناقص 320 ، وموجب 880 ، وناقص 600 ، مع الأوقات نفسها. عند كل معدل مسموح سيكون صافي الفرع ضعف صافي المثال الأصلي، لأننا ضربنا كل حد في العامل نفسه. وعند الجذرين يكون ضعف الصفر صفرًا أيضًا، فتظل نسبتا خمسة وعشرين وخمسين بالمئة حلين. تغيرت المقادير النقدية، لكننا لم نغير شكل المعادلة سوى بضربها كلها في اثنين. لذلك لا نبحث عن جذور جديدة لمجرد أن الأرقام أصبحت أكبر.
عند المعدل المعطى عشرة بالمئة تصبح القيمة في الفرع المضاعف −1920/121، أي نحو ناقص 15.868 وحدة. يوضح ذلك فرقًا نستطيع قياسه مباشرة: ثبات الجذرين لا يعني ثبات قيمة الصافي بالمبلغ النقدي. من يكتب النسبتين وحدهما عن النسختين يخفي أن حجم الفرق النقدي قد تضاعف في هذه العملية الحسابية. نحن لا نقارن مشروعين واقعيين مختلفي المخاطر؛ نقارن نسختين مصطنعتين لهما كل مبلغ مضروب في معامل معلوم، حتى يكون الاستنتاج محصورًا في ما غيرناه بالفعل.
أما حذف مبلغ 300 الخارج في النهاية، فيترك المعادلة −160 + 440/(1+r) = 0. بحلها نحصل على عامل 2.75، ثم معدل 175% لكل فترة. هذا الجذر الكبير لا يصحح جذري المثال الأول ولا يرجح أحدهما؛ إنه يخص قائمة جديدة ناقصة الدفعة الأخيرة. لم نكتشف فجأة مردودًا أعلى للتدفقات الأصلية، بل غيرنا التدفقات التي نطلب للمعادلة أن تفسرها. لذلك يجب أن يظل هذا الفرع موسومًا بوضوح بأنه مثال آخر.
قد يكون إسقاط الدفعة مقصودًا عند تجربة حساسية، لكنه يظل تغييرًا في الفرض وليس تنظيفًا للحساب. احتفظ بالقائمة الأصلية إلى جوار الفرع، واكتب السطر الذي أزلته والوقت الذي كان يشغله. وإذا غيرت قيمة الدفعة فقط بدل حذفها، فلا تنقل جذري المعادلة السابقة من الذاكرة؛ أعد بناء الحدود ثم اختبرها. الفائدة من فصل الفروع أن يستطيع قارئ آخر أن يعيد النتيجة من المدخلات المكتوبة، ويعرف هل الاختلاف جاء من طريقة حل المعادلة أم من سؤال جديد لم يعد يتضمن المبلغ نفسه.
لا تبدل معنى الفترة أو إشارة المبلغ لتبسيط النتيجة
في الورقة الأصلية تجري الدفعة الأولى بعد فترة واحدة والأخيرة بعد فترتين. كلمة «متساويتين» جزء من تعريفنا، وليست وصفًا تجميليًا يمكن إسقاطه في التقرير. إذا كانت لديك تواريخ فعلية غير متباعدة بالتساوي، فلن يصفها هذان الأسّان كما كتبناهما تلقائيًا. يلزمك نموذج توقيت يعكس البيانات الجديدة، ثم حل ذلك النموذج. لا نعطي هنا تحويلًا للتواريخ أو نتيجة لأداة أخرى؛ نضع حدًا واضحًا لما تثبته عملية التعويض في الأسس التي اخترناها بالفعل.
وبالمثل، لا يصبح أحد الجذرين عائدًا سنويًا بمجرد إلحاق هذه الكلمة به. إذا عرّفت الفترة سنة في مسألة جديدة متطابقة من جميع النواحي، فسيتبع المعدل ذلك التعريف، وإذا لم تعرفها فلا يوجد في الأرقام وحدها ما يحدد طولها. لهذا تستعمل هذه الصفحة عبارة «لكل فترة» في النتائج والرسم. نحن لا نضاعف النسبة بعدد أشهر مفترض، ولا نضيف توقعًا عن تكرار المشروع. كل ذلك يحتاج إلى افتراضات أخرى لم ترد في قائمة التدفقات الثلاثية.
أما الإشارات، فتمثل في هذا المثال اتجاه الدفع من وجهة النظر التي حددناها. المقدار 300 خارج في النهاية، فلا يجوز تحويله إلى موجب عند نسخه في خانة «عائد» لمجرد أن الخانة تحمل هذا الاسم. وإذا عكست وجهة النظر الحسابية وعكست إشارات المبالغ كلها معًا، انعكست إشارة الصافي عند كل معدل وبقيت مواضع الصفر نفسها. هذه نتيجة ضرب كامل المعادلة في ناقص واحد، وتختلف عن قلب إشارة مبلغ واحد فقط ثم الادعاء أن المسألة لم تتغير.
اكتب لذلك بجوار كل سطر ثلاثة أشياء: المقدار، واتجاهه، وموضعه الزمني. ولا تفترض من عبارة قصيرة مثل «تحصيل في النهاية» أن المبلغ موجب لصاحب النموذج إذا كانت الورقة أصلًا من جهة أخرى. في حالتنا لا نحتاج إلى تخمين، فقد حددنا الاتجاهات صراحة. هذه المراجعة تحافظ على هوية السؤال قبل الانشغال بطريقة الحل؛ كثير من النتائج المتباعدة يمكن فحص سببها من المدخلات مباشرة، بدل البحث أولًا عن نسبة تبدو أقرب إلى توقع مسبق حول ربح مشروع متخيل.
كيف تسجل النتيجة بحيث يستطيع غيرك مراجعتها؟
ابدأ بسطر يعرض البيانات الأصلية وأوقاتها ووحدتها، ثم اكتب المعادلة كما طبقتها. أضف المجال الذي سمحت فيه للمعدل أن يتحرك، ووضح أن النسب المعروضة تخص الفترة المعرفة. بعد ذلك سجل الجذرين مع ناتج التعويض عند كل منهما، لا النسب وحدها. يستطيع القارئ عندئذ أن يطابق 352 و 192 في الاختبار الأول، والكسور ذات المقام ثلاثة في الثاني، مع المبالغ الأصلية. وإذا ظهر اختلاف، فسيعرف موضعه بدل الاكتفاء بعبارة أن حسابين أعطيا جوابين مختلفين.
ضع المعدل المطلوب المعطى في سطر منفصل، وأظهر قيمة الصافي عنده بإشارتها. في سجل مثالنا نكتب أن عشرة بالمئة إدخال افتراضي، وأن نتيجته الكسر السالب المذكور، مع تقريب عشري للقراءة فقط. لا نختار هذا الإدخال بعد رؤية الجذرين ليقع في نطاق موجب، ولا نعيد تسميته بأنه جذر. تفصل هذه الكتابة بين ما أعطيناه للمعادلة وما وجدناه منها، وتمنع أن تختلط نتيجة حل الصفر بنتيجة حساب الصافي عند نسبة مستقلة ذات غرض آخر.
ثم أرفق الفروع التي اختبرتها بأسمائها المحددة. فرع المضاعفة يثبت ثبات الجذور عند ضرب جميع الحدود في اثنين، وفرع الحذف يخص قائمة أخرى ذات مبلغين. لا تخلط النسبة الجديدة من الفرع الثاني مع الأرقام الأصلية في رسم واحد بلا توضيح. كذلك لا تعرض قيمة المتوسط على أنها معدل معتمد؛ تستطيع كتابتها بوصفها نقطة فحص أعطت صافيًا موجبًا. بهذه الطريقة يبقى لكل عدد سؤال معلوم يجيب عنه، ولا تتحول الصفحة إلى مجموعة نسب يصعب معرفة مصدر كل منها.
النتيجة التي نحتفظ بها هنا دقيقة ومحدودة: لهذه التدفقات المؤلفة، في ترتيبها ومجالها وفتراتها المحددة، جذران أثبتناهما، وصاف سالب عند المعدل الافتراضي عشرة بالمئة. لا توجد في ذلك شهادة على مشروع قائم أو وعد بتحقق مبلغ مستقبلي، كما لا يوجد سبب لاختيار الجذر الأكبر لمجرد كبره. عندما تتغير المدخلات نعيد الحساب، وعندما تتسع المسألة إلى قرار حقيقي نطلب معلوماتها الفعلية. يظل المثال مفيدًا لأنه يكشف الفرق بين التحقق من حل رياضي وبين استعمال نسبة منفردة لتلخيص سؤال مالي أكثر تعقيدًا.
المصادر ومتابعة القراءة
- Aswath Damodaran، Measuring Returns، NYU Stern، الصفحات 28 و 34–36 (يفتح في نافذة جديدة)pages.stern.nyu.edu
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.