نشرح حساب معدل الفائدة الآجل من معدلين فوريين بمثال سنوي مؤلف بعملة واحدة. نشتق عامل السنة الثانية، ثم نختبره بمبلغ النهاية بدل الاكتفاء بطرح النسبتين.
الخلاصة السريعة
حوّل المعدلين إلى عاملي تراكم للفترتين، ثم اقسم عامل السنتين على عامل السنة الأولى لتجد عامل السنة الثانية.
- يصف بنك إنجلترا المعدلات الآجلة بأنها معدلات لفترات مستقبلية متضمنة في المعدلات الفورية الحالية. نستعمل المبدأ، لا بيانات البنك أو حالته السوقية. [1]
- نفترض معدلين سنويين فعالين: 5% لسنة و 10% لسنتين، بلا دفعات وسيطة أو رسوم أو ضرائب أو تعثر. مبلغ 20,000 يصبح 21,000 بعد سنة في المسار القصير، و24,200 بعد سنتين في المسار المباشر؛ عائد السنتين الكلي 21%.
- عامل الفترة من نهاية السنة الأولى إلى نهاية الثانية هو 1.21/1.05 = 121/105. معدلها 16/105، أي نحو 15.2381%، وليس فرق المعدلين البالغ خمس نقاط مئوية.
- اختصار 2 × 10% − 5% = 15% ليس الحل الدقيق: 21,000 × 1.15 = 24,150، أقل من الهدف بخمسين وحدة.
- في فرع معاكس، 10% لسنة و 5% سنويًا لسنتين يعطيان معدلًا للسنة الثانية 1/440، نحو 0.2273%؛ لا نعكس النتيجة الأولى بتغيير الإشارة.
- في فرع آخر، 6% لسنة و 2% سنويًا لسنتين يعطيان عامل السنة الثانية 2601/2650 ومعدلًا −49/2650، نحو −1.8491%. هذه مدخلات مؤلفة وليست عرض سوق.
- الحل لا يحدد معدل إعادة استثمار سيتاح فعلًا: إذا أعطينا السنة اللاحقة 0% أو 20% في سيناريوهين مستقلين، تصبح 21,000 مقدار 21,000 أو25,200. احفظ تواريخ الفترة وطريقة التركيب وعوامل التراكم الموجبة، ولا تحول الحساب إلى توقع أو توصية.
حدد الفترة الآجلة قبل البحث عن معدلها
يعرّف بنك إنجلترا المعدلات الآجلة بأنها معدلات لفترات مستقبلية متضمنة في المعدلات الفورية الحالية لآجال مختلفة. نأخذ هذا المبدأ، ونبني مثالًا سنويًا مستقلًا بأرقام مؤلفة. [1]
نسمي اليوم نقطة الصفر، ونهاية السنة الأولى النقطة واحدًا، ونهاية السنة الثانية النقطة اثنين. سؤالنا هو المعدل الذي يخص الفترة بين النقطتين واحد واثنين، لا المعدل الذي يخص المدة كلها من اليوم حتى نهاية السنتين. هذا التحديد ضروري؛ عبارة «معدل عند سنتين» قد تخفي اختلافًا بين أجل ينتهي هناك وفترة تبدأ أو تنتهي هناك. اكتب طرفي الفترة المطلوبة قبل إدخال الأرقام، حتى تعرف أي عامل تجمعه أو تقسم عليه وأي سنة تريد تفسيرها.
نستعمل عملة افتراضية واحدة، ونفترض تركيبًا سنويًا فعالًا دون دفعات وسيطة أو رسوم أو ضرائب أو تعثر. ونقصر النموذج على عوامل تراكم موجبة حتى تكون القسمة التي سنجريها معرفة ضمن شروطه. لا نحسب سعر صرف بين عملتين، ولا نقرأ معدلًا معروضًا فعليًا من منحنى سوق. اختيار هذه الحدود يجعل المسألة حسابًا واضحًا لعامل فترة، ويمنع استعمال نتيجة المثال كأنها عرض تمويل أو سعر منتج متاح يمكن تنفيذه في حساب حقيقي.
نسجل المعدلين في تاريخ البداية نفسه، مع أجل سنة لأحدهما وأجل سنتين للآخر. لا نضع معدلًا رصدناه بعد سنة إلى جوار معدل رصدناه اليوم ثم نسميهما مدخلي المسألة نفسها. جميع السيناريوهات اللاحقة التي سنضيفها ستكون فروعًا معلنة وليست مشاهدات فعلية. هذه طريقة لتنظيم السؤال، لا افتراض بأن المستقبل معلوم. كل ما نريد إيجاده أولًا هو العامل الذي يجعل المبالغ عند النهاية المشتركة متساوية حسابيًا إذا طبقنا الفروض التي كتبناها.
حوّل النسبتين إلى مبالغ عند تاريخين واضحين
نعطي المعدل الفوري لسنة قيمة خمسة بالمئة سنويًا، ولأجل سنتين عشرة بالمئة سنويًا فعّالًا. نبدأ بمبلغ عشرين ألف وحدة نقدية. في المسار القصير، يصبح المبلغ عند نهاية سنة 20,000 × 1.05 = 21,000. أما في المسار المباشر إلى نهاية سنتين، فيصبح 20,000 × 1.10² = 24,200. كتبنا مربع عامل العشرة بالمئة لأن هذه القيمة سنوية وتخص أجلًا من سنتين وفق طريقة التركيب التي اخترناها، لا لأنها زيادة كلية مقدارها عشرة بالمئة على الفترة كلها.
عامل السنتين هنا 1.10² = 1.21، ولذلك تكون الزيادة الكلية على المبلغ الأول واحدًا وعشرين بالمئة. لا نعوض عنها بعشرين بالمئة من جمع عشرة وعشرة؛ ذلك يلغي أثر التركيب الذي صرحنا به. وللمراجعة، الفرق بين أربعة وعشرين ألفًا ومئتين وعشرين ألفًا هو أربعة آلاف ومئتان، ونسبته إلى مبلغ البداية هي الواحد والعشرون بالمئة نفسها. هذه مبالغ نموذجنا، وليست أرباحًا سجلناها أو عوائد سوقية ننسبها إلى فترة حالية.
لاحظ أيضًا أن المسار المباشر لا يعطينا دفعة عند نهاية السنة الأولى في بيانات السؤال. لم نقل إن هناك ألفين وصلتا نقدًا آنذاك أو إن قيمة بيع الاستثمار في ذلك الوقت محددة. ما أعطيناه هو مبلغ بداية ومبلغ نهاية تحت قاعدة تراكم معلومة. أما الواحد والعشرون ألفًا فتخص المسار القصير المستقل الذي استعملنا له معدل الخمسة بالمئة. إبقاء المسارين منفصلين يمنع نقل مبلغ من أحدهما إلى الآخر لمجرد أن كليهما بدأ من عشرين ألفًا.
نحتاج الآن إلى عامل يربط واحدًا وعشرين ألفًا عند النقطة واحد بأربعة وعشرين ألفًا ومئتين عند النقطة اثنين. من المفيد كتابة هذين المبلغين قبل استعمال رمز للمعدل؛ فهما يوضحان ما يجب أن تحققه الإجابة. إذا أعطانا معدل مرشح مبلغ نهاية مختلفًا، فسنرفضه لهذا السؤال أو نسميه تقريبًا مع فرق معلوم. لا نكتفي بأنه يقع بين نسبتين أو أنه يشبه عملية طرح سهلة، لأن المطلوب هو ربط مبالغ في تواريخ محددة وفق الفرض.
استخرج عامل السنة الثانية ثم اطرح الواحد
نرمز إلى معدل السنة الثانية بالحرف f، فيكون عاملها واحدًا زائد هذا المعدل. نكتب شرط النهاية المشتركة 1.05 × (1+f) = 1.21. بقسمة الطرفين على عامل السنة الأولى نحصل على 1+f = 1.21/1.05 = 121/105. ثم نطرح الواحد، فنجد f = 16/105. هذا كسر يمثل معدلًا عشريًا، وعند ضربه في مئة نحصل على نسبة مئوية، وعرضها المقرب بأربع منازل هو 15.2381%.
يمكن إجراء القسمة بالمبالغ بدل العوامل؛ النتيجة نفسها من 24,200 / 21,000 = 121/105. بذلك نتحقق من أن إلغاء مبلغ البداية المشترك لم يغير المسألة. لكن يجب التمييز بين العامل والمعدل: العدد 121/105 يربط مقدار البداية بالنهاية في السنة الثانية، بينما المعدل هو الزائد على الواحد. إذا قدمت العامل كله بوصفه معدل الفائدة، فستضيف واحدًا مرة أخرى عند التطبيق وتضاعف أثرًا لم يقصده الحساب.
الاختبار الحاسم هو إعادة التركيب. نضرب مبلغ السنة الأولى في العامل الدقيق، فنحصل على 21,000 × 121/105 = 24,200. والزيادة خلال هذه السنة وحدها تساوي ثلاثة آلاف ومئتين، وهي نسبة 16/105 من الواحد والعشرين ألفًا، لا من مبلغ البداية الأصلي عشرين ألفًا. يفسر تغير قاعدة المبلغ لماذا لا نستطيع استبدال هذه النسبة بباقي بسيط من نسبتين مكتوبتين إلى جانب أجلين مختلفين.
احتفظ بالكسر الدقيق في ورقة المراجعة واستعمل النسبة المقربة للعرض إذا احتجت إليها. تقريب المعدل قبل ضربه قد يترك فرقًا صغيرًا في مبلغ النهاية، لكنه لا يغير القيمة الدقيقة التي تحقق المعادلة. وفي المقابل، لا نعدل مبلغ النهاية المعطى حتى يتفق مع رقم مقرب نفضله. نكتب إن كانت النسبة المعروضة تقريبية، ونحتفظ بالعلاقة الأصلية التي يمكن لقارئ آخر إعادة فحصها. بهذه الطريقة يبقى الفرق بين حل المسألة وتنسيق عرضها واضحًا.
اختبر الطرح والاختصار بالمبلغ الذي يعيدانه
طرح خمسة بالمئة من عشرة بالمئة يعطينا فرقًا مقداره خمس نقاط مئوية. هذا فرق عددي صحيح بين المدخلين، لكنه ليس معدل السنة الثانية الذي حل المعادلة السابقة. إذا وضعت خمسة بالمئة للسنة الثانية، فأنت تختار عاملًا مختلفًا عن 121/105، ولن تصل إلى مبلغ النهاية المحدد. لا يكفي أن يكون ناتج الطرح موجبًا أو أن يحمل وحدة نسبة مئوية؛ يجب أن يحقق العلاقة التي تربط عاملي الفترتين اللتين عرفناهما.
قد يجرب قارئ اختصارًا آخر، فيأخذ ضعفي معدل السنتين السنوي ثم يطرح معدل السنة الأولى. تعطيه العملية 2 × 10% − 5% = 15%. هذا الرقم أقرب إلى الحل من خمس بالمئة، لكنه ليس مساويًا له في بياناتنا. الاختبار لا يحتاج إلى حكم عام على جودة الاختصار في كل ظروف ممكنة؛ نطبق الخمسة عشر بالمئة على المبلغ الصحيح عند نهاية السنة الأولى، ثم نقارن الناتج بما طلبته المسألة.
تكون النتيجة 21,000 × 1.15 = 24,150، بينما الهدف أربعة وعشرون ألفًا ومئتان. الفرق خمسون وحدة نقدية. يوضح هذا الفحص أن الخلاف ليس مجرد اختلاف في كتابة الكسر أو عرض المنازل العشرية؛ الاختصار أعاد مبلغًا آخر بالفعل. لا نقول إن الخمسين رسم يجب دفعه أو خسارة حدثت في صفقة؛ إنها مقدار الفرق بين ناتج قاعدة مختصرة وناتج المعادلة الدقيقة في نموذج واحد معلن المدخلات.
لذلك من المفيد أن تعرض إلى جوار أي تقريب مبلغ النهاية الذي ينتجه. قد يستعمل شخص قاعدة تقريبية لغرض معين، لكن تسميتها تقريبًا تحفظ ما أسقطته مقارنة بالحساب الكامل. أما في هذا السؤال، حيث نعرف العوامل والأجل ويمكننا القسمة مباشرة، فلدينا اختبار دقيق لا يحتاج إلى تخمين. استخدم ترتيب المراجعة نفسه لأي معدل مرشح: ضعه عاملًا للسنة الثانية، واضرب مبلغ بدايتها، ثم افحص هل استعدت مبلغ النهاية وفق طريقة التركيب التي صرحت بها.
تبديل المعدلين لا يعكس النتيجة بتغيير إشارتها
ننشئ فرعًا مستقلًا نضع فيه المعدل السنوي لسنة عند عشرة بالمئة، والمعدل السنوي الفعال لسنتين عند خمسة بالمئة. لا نغير معنى الآجال أو التركيب. يصبح عامل السنة الأولى 1.10، وعامل السنتين 1.05² = 1.1025. عامل السنة الثانية إذن 1.1025/1.10 = 441/440، ومعدلها 1/440، أي نحو 0.2273%. بقي المعدل الضمني موجبًا صغيرًا رغم أن المعدل السنوي للأجل الأطول أقل من القصير.
لنفحص ذلك بالمبلغ نفسه، عشرين ألفًا. يعطي المسار السنوي القصير اثنين وعشرين ألفًا عند نهاية السنة الأولى، ويعطي المسار المباشر لأجل سنتين اثنين وعشرين ألفًا وخمسين عند نهايته. يلزم إذن أن يزداد مبلغ السنة الثانية خمسين وحدة فقط ليصل إلى الهدف. والخمسون مقسومة على الاثنين والعشرين ألفًا تعيد 1/440. هذه مراجعة مستقلة من المبالغ توضح سبب صغر النتيجة، دون نقل معدل من الفرع الأول أو عكس إشارته ذهنيًا.
يعتمد الحل على مربع عامل الأجل الثاني وعلى قسمة ذلك العامل على عامل الأجل الأول، فلا يؤدي تبديل القيمتين إلى سالب النتيجة السابقة. هذا أمر يمكن التحقق منه من الأرقام نفسها، وليس حكمًا على صورة منحنى في السوق. كما لا نستخرج من كون الأجل الطويل أقل موعدًا لركود أو قرار فائدة رسمي. لم نعط مؤشرات اقتصادية أصلًا؛ أنشأنا مدخلين افتراضيين وسألنا عن العامل اللازم لإعادة مبلغ النهاية وفقهما في عملة وفترة وتركيب محددين.
احفظ الفرع المعاكس في صف منفصل بعنوانه، لأن تغيير المدخلين يغير السؤال. لا تضع عامل السنة الأولى من الفرع الجديد إلى جوار مبلغ السنتين من الفرع الأصلي ثم تستغرب خروج نتيجة ثالثة. لكل صف مدخلاته ومبالغ نهايته وحله، وإعادة التركيب هي ما يثبت اتساقه. الفصل بين الفروع يمنع أخطاء النسخ التي تبدو أحيانًا خلافًا في مفهوم المعدل الآجل، بينما سببها استعمال بسط من حالة ومقام من أخرى لم نعرّف الجمع بينهما.
معدلان فوريان موجبان قد يعطيان معدلًا ضمنيًا سالبًا
في فرع ثالث نختار ستة بالمئة لسنة، واثنين بالمئة سنويًا فعّالًا لسنتين. يصبح عامل السنتين 1.02² = 1.0404، وعامل السنة الأولى 1.06. القسمة تعطي عامل السنة الثانية 2601/2650، وهو أقل من الواحد وموجب. وعند طرح الواحد يصبح المعدل −49/2650، أي نحو ناقص 1.8491%. تحقق المدخلان الفوريان الموجبان دون أن يفرض ذلك إشارة موجبة للحل الضمني في هذا الفرع.
المبالغ تفسر الإشارة أيضًا: عشرون ألفًا مع ستة بالمئة لسنة تصبح واحدًا وعشرين ألفًا ومئتين. أما مع اثنين بالمئة سنويًا لمدة سنتين فتبلغ عند النهاية عشرين ألفًا وثمانمئة وثماني وحدات. لذلك يلزم عامل أقل من الواحد كي يحول مبلغ السنة الأولى في المسار المتتابع إلى نهاية المسار المباشر المعطاة. الفرق ناقص ثلاثمئة واثنتين وتسعين، وقسمته على مبلغ السنة الأولى تعيد المعدل السالب الذي حسبناه من العوامل.
لا نقدم هذه القيم بوصفها أسعارًا يمكن الاقتراض أو الإيداع بها الآن، ولا نستنتج منها وجود فرصة تنفيذ أو مراجحة. لقد أعطينا الأرقام لأجل اختبار العلاقة وحدود تفسير الإشارات. كما أن وجود عامل موجب أقل من الواحد لا يعني أن لدينا مبلغًا نهائيًا سالبًا؛ إنه يخفض المبلغ الموجب بين نقطتي الفترة في النموذج. التمييز بين إشارة المعدل وإشارة العامل وإشارة المبلغ يمنع استنتاجًا غير صحيح من علامة ناقص ظهرت في سطر واحد.
عندما تعرض هذا الفرع، أرفق المدخلين وأجليهما بدل الاكتفاء بعبارة أن الفائدة أصبحت سالبة. النتيجة تخص سنة تبدأ عند نهاية الأولى وتنتهي عند نهاية الثانية، وفق الفروض التي حافظنا عليها. ولا يعني ذلك أن النموذج الأول تغير أو أن معدل كل سنة في الفرع الثالث يساوي هذا المعدل. العامل خاص بالفترة التي طلبناها، ويمكن مراجعته بإعادة ضربه في عامل السنة الأولى لاستعادة عامل السنتين، كما نفعل مع الفرعين الموجبين السابقين.
الحل الضمني لا يختار معدل إعادة استثمار سيقع فعلًا
نرجع إلى بيانات النموذج الأساسي، حيث يصل مبلغ المسار القصير بعد سنة إلى واحد وعشرين ألفًا. لم نعط في المسألة معدلًا سيتاح فعلًا عند ذلك التاريخ لإعادة استثمار هذا المبلغ. الحل السابق يخبرنا بأي عامل نحتاج إلى الضرب حتى نساوي مبلغ السنتين المعطى، لكنه لا يضيف من تلقاء نفسه صفًا من رصد مستقبلي. لذلك نفصل بين المعدل الذي حل علاقة التساوي وبين معدل لاحق قد نضعه ضمن سيناريو جديد لأجل المقارنة فقط.
في سيناريو لاحق مؤلف نعطي المعدل للسنة الثانية صفرًا، فيبقى الواحد والعشرون ألفًا كما هو عند النهاية. وفي سيناريو مستقل نعطيه عشرين بالمئة، فيصبح 21,000 × 1.20 = 25,200. كلاهما ناتج عن مدخل أضفناه صراحة لذلك السيناريو. لا نختار أحدهما من قيمة الخمسة بالمئة والعشرة بالمئة وحدهما، ولا نزعم أن أيهما تنبؤ أو سعر منتج. المقارنة تكشف المعلومة التي لم تتضمنها المدخلات الأصلية بدل اختراع جواب لها.
مقارنة بالهدف الأساسي أربعة وعشرين ألفًا ومئتين، يقع السيناريو الصفري دونه، بينما يقع سيناريو العشرين بالمئة فوقه. أما العامل الدقيق 121/105 فيعيد الهدف نفسه. هكذا يمكننا وصف موقع التعادل الحسابي دون تحويله إلى وعد بإتاحة هذا العامل في المستقبل أو بإمكان تثبيته في عقد. لم نعط عقدًا أو شروط تنفيذ أو أهلية تمويل؛ كل ذلك بيانات أخرى لا يجوز استنتاجها من تساوي مسارين داخل ورقة حساب تعليمية.
هذا هو حد الفائدة من المقارنة: تجعل السؤال واضحًا عند مناقشة أي رقم مستقبلي. هل الرقم حل يربط عوامل معطاة اليوم، أم مدخل افتراضي لسيناريو لاحق، أم عرض فعلي له شروطه؟ ليست هذه أسماء بديلة للقيمة نفسها لمجرد أنها نسب مئوية. الاحتفاظ بمصدر كل رقم وتاريخه ودوره في الحساب يساعد القارئ على عدم خلط نتيجة جبرية بمعلومة رصدناها أو بإجراء يمكن تنفيذه. وفي أمثلتنا جميع النسب والمبالغ من تأليفنا، لا من حساب مصرفي أو صفقة قائمة.
ورقة مراجعة تمنع خلط الآجال والعوامل
اكتب تاريخ البداية والأجل لكل معدل، ثم اكتب طرفي الفترة الآجلة المطلوبة. سجل كذلك أن النسب سنوية فعالة وطريقة التركيب وعدد الفترات الداخلة في الأس، مع نطاق المبالغ والعملة. هذه الخانات أهم من حفظ صيغة مختصرة دون شروطها؛ إذا بدلت تعريف أحد المعدلين أو مدة الفترة، فقد لا تصف الصيغة المكتوبة السؤال الجديد. لا نأخذ رقمًا من عمود مختلف التعريف ثم نضعه في نموذجنا لمجرد أنه يعرض نسبة إلى جوار كلمة سنة.
افصل في السجل بين المعدل وعامل التراكم والمبلغ. في الأصل، خمسة بالمئة تعطي عاملًا 1.05 للسنة الأولى، وعشرة بالمئة سنويًا لأجل سنتين تعطي عاملًا كليًا 1.21. نقسم العاملين، ثم نطرح الواحد لاستخراج معدل الفترة المطلوبة. وإذا اختبرت النتيجة بالمبالغ، فاستعمل مبلغ بداية السنة الثانية الصحيح لا مبلغ اليوم بدلًا منه. كل خطوة تعطي نوعًا محددًا من القيم، وتسميته تحمي الخطوة التالية من استعماله في المكان الخطأ.
احتفظ بالقيمة الدقيقة أو بدقة كافية للمراجعة، وصرح بالتقريب حين تعرض عددًا أقل من المنازل. وعند مقارنة اختصار بالحساب الكامل، بين مبلغ النهاية الذي يعيده كل منهما بدل ترك القارئ مع فرق نسب مجرد. في المثال الأساسي لم يعد اختصار الخمسة عشر بالمئة مبلغ الهدف، وكان الفرق خمسين وحدة؛ هذه معلومة قابلة للتحقق أكثر من عبارة أنه قريب فقط. أما الفروع المعاكسة والسالبة فاحتفظ بمدخلاتها منفصلة حتى لا تستبدلها بالفرع الأساسي أثناء النقل.
توضح الأمثلة أن المعدل الفوري لأجل سنتين يخص الفترة من اليوم إلى نهايتها، بينما يخص المعدل الآجل هنا السنة الثانية وحدها. وفي المثال الأساسي لم يعط فرق المعدلين الحل؛ هذا لا يمنع اتفاق أرقام في حالة أخرى خاصة. كما أن التساوي الجبري لا يختار سيناريو مستقبلًا أو يضمن تنفيذًا. لم نحلل عرض سوق أو مخاطر جهة أو ضرائب أو تدفقات وسيطة؛ افترضنا غيابها في المسألة. إذا ظهرت في تطبيق آخر، فستحتاج إلى حساب يصف ذلك التطبيق فعلًا. تظل طريقة المراجعة مفيدة: حدد المقادير وآجالها، وابن عواملها، واستخرج العامل المطلوب، ثم تحقق من مبلغ النهاية قبل تفسير الناتج.
المصادر ومتابعة القراءة
- Bank of England: Yield curve terminology and concepts، قسم Nominal forward rates (يفتح في نافذة جديدة)bankofengland.co.uk
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.