طريقة نيوتن رافسون لحل المعادلات بمثال محلول

تعطي طريقة نيوتن تقريبًا لجذر المعادلة بتكرار خطوة تستخدم قيمة الدالة ومشتقتها. سنحسب الجذر التكعيبي للعدد سبعة، ثم نفحص النتيجة ونرى كيف تتوقف الطريقة عند مشتقة صفرية. الأمثلة والحسابات التالية أُعدت لهذا الشرح.

الخلاصة السريعة

ابدأ بمعادلة مكتوبة على صورة دالة تساوي صفرًا، واحسب التكرارات، ثم تحقق من الناتج قبل عرضه.

في المثال الأساسي نستخدم الدالة f(x)=x³−7 ومشتقتها 3x²، مع بداية عند العدد اثنين.
تصل ثلاثة تحديثات إلى نحو 1.9129311828؛ احتفظ بالأرقام الداخلية بدل إعادة إدخال القيم المقربة من الجدول.
باقي المعادلة يختلف عن خطأ الجذر. للناتج المعروض بست منازل حد خطأ أقل من 0.000000186 وفق البرهان الخاص بالمثال.
الدالة x³−3x+3 تنتقل من الصفر إلى الواحد، ثم تصبح مشتقتها صفرًا؛ هذه حالة توقف وليست جذرًا.
البداية والمشتقة مؤثرتان في نجاح الطريقة؛ لا يُفترض التقارب من أي نقطة، ولا يُقبل نفاد التكرارات باعتباره نجاحًا.
اختبر فهمك بحل المعادلة x²+x−8=0، ثم افحص النتيجة داخل الفترة المحددة بدل الاكتفاء بتشابه الأرقام.

من المعادلة إلى خطوة نيوتن

تسمى هذه الخوارزمية أيضًا طريقة نيوتن رافسون. إذا كان التقريب الحالي هو xₙ، فالتحديث هو xₙ₊₁=xₙ−f(xₙ)/f′(xₙ) عندما تكون المشتقة في المقام غير صفرية. هندسيًا، ينتج التقريب الجديد من تقاطع مماس المنحنى عند التقريب الحالي مع المحور الأفقي. لا يعني هذا الوصف أن كل مماس يقود إلى الجذر المطلوب، ولذلك يحتاج الحساب إلى فحص بدايته ونتيجته. [1]

لنطبق الفكرة على مسألة محددة: نريد عددًا موجبًا مكعبه سبعة. نكتب الدالة على صورة سالب سبعة مضافًا إلى مكعب المتغير، فتكون مساواتها بالصفر مكافئة للمطلوب. مشتقتها ثلاثة أمثال مربع المتغير. اخترنا البداية عند اثنين لأن مكعبه ثمانية، بينما مكعب الواحد هو واحد. بهذا نعرف المجال الذي نبحث فيه، ولا نخلط بين العدد المطلوب وقيمة الدالة عنده.

في أول سطر من ورقة الحل اكتب أربعة أشياء منفصلة: المعادلة، والدالة، والمشتقة، والتقريب الابتدائي. هذه الخطوة تمنع خطأ ممكنًا هنا، وهو اشتقاق العدد سبعة كما لو أنه يتغير مع المتغير، أو وضع مكعب المتغير في مقام التحديث بدل مشتقته. بعد الاشتقاق تستطيع اختبار نفسك عند اثنين: قيمة الدالة واحدة، وقيمة المشتقة اثنا عشر؛ وهما عددان يؤدي كل منهما وظيفة مختلفة.

يمكن تبسيط التحديث الخاص بمسألتنا إلى ثلث مجموع ضعفي التقريب الحالي وسبعة مقسومة على مربعه. الصيغتان متساويتان جبريًا حين يكون التقريب غير صفري. استخدم إحداهما في الحساب، واحتفظ بالأخرى لفحص سطر مشكوك فيه. مثلًا، إذا حصلت من إحداهما على قيمة أكبر من اثنين في الخطوة الأولى، فراجع ترتيب الطرح والأقواس؛ لأن التصحيح في هذا السطر موجب ويُطرح من البداية.

احسب التكرارات دون تقريب مبكر

عند البداية اثنين يكون مقدار التصحيح واحدًا مقسومًا على اثني عشر. إذن الناتج الجديد هو ثلاثة وعشرون على اثني عشر، أي نحو واحد فاصلة تسعة واحد ستة ستة تتكرر. لا تستبدل هذا الكسر بالعدد واحد فاصلة تسعة اثنين داخل الحساب التالي. يمكنك عرض تقريب قصير للقارئ، لكن احتفظ بالكسر أو بأرقام كافية في الآلة حتى لا يصبح تقريب العرض مدخلًا جديدًا دون قصد.

في الخطوة الثانية عوض بالتقريب الجديد في الدالة والمشتقة معًا. من الأخطاء أن يحدّث الطالب البسط، بينما يترك المقام اثني عشر لأنه يتذكره من السطر الأول. المقام هنا ثلاثة أمثال مربع ثلاثة وعشرين على اثني عشر، ويساوي خمسمئة وتسعة وعشرين على ثمانية وأربعين. أما الباقي فيساوي واحدًا وسبعين على ألف وسبعمئة وثمانية وعشرين. بقسمة الباقي على المشتقة نحصل على التصحيح التالي.

ينتج عن الطرح الكسر 18215/9522، وقيمته التقريبية 1.912938458307. بعد تحديث ثالث نحصل على نحو 1.912931182800. يعرض الجدول القيم لتتبع الحركة، وقد حُسبت التحديثات داخليًا بكسور دقيقة. لاحظ أن الصف صفر هو البداية، وليس خطوة حسابية مكتملة؛ ولذلك يعني الوصول إلى الصف الثالث تنفيذ ثلاثة تحديثات، لا أربعة، رغم وجود أربعة صفوف في السجل.

تقريبات المثال؛ البواقي محسوبة من القيم الداخلية
التحديث	التقريب	باقي المعادلة تقريبًا
صفر	2	1
الأول	1.916666666667	0.041087963
الثاني	1.912938458307	0.00007987052
الثالث	1.912931182800	0.0000000003037723

لفحص الحساب دون إعادة المسار كله، كعّب كل تقريب ثم اطرح سبعة. في هذه التكرارات بقي الناتج موجبًا وصغر كثيرًا، أي إن التقريبات المعروضة ظلت أعلى من الجذر. لا نحول هذه الملاحظة الخاصة إلى قاعدة لجميع الدوال والبدايات. وظيفتها هنا اكتشاف أخطاء النقل: إذا كتبت تقريبًا أصغر من واحد فاصلة تسعة في أحد هذه الصفوف، فلا يتفق ذلك مع الأرقام التي حسبناها.

كيف تربط باقي المعادلة بخطأ الجذر؟

سمّ الجذر الحقيقي في مثالنا بالحرف r، والتقريب الذي ستعرضه بالحرف q. الباقي هو مكعب التقريب ناقص سبعة، بينما خطأ الجذر هو المسافة بين التقريب والجذر الحقيقي. الأول يصف مقدار عدم تحقق المعادلة، والثاني يصف موضع العدد. نستطيع ربطهما هنا باستعمال فرق المكعبين، لأن مكعب الجذر الحقيقي يساوي سبعة بالضبط، دون الحاجة إلى معرفة كل أرقامه العشرية.

ينتج عن التحليل العلاقة q³−7=(q−r)(q²+qr+r²). وبما أن مكعب واحد فاصلة تسعة هو ستة فاصلة ثمانية خمسة تسعة، ومكعب اثنين هو ثمانية، فالجذر الموجب يقع بين هذين العددين. إذا كان تقريبنا أيضًا في هذه الفترة، فإن كل حد من الحدود الثلاثة داخل القوس لا يقل عن ثلاثة فاصلة ستة واحد. مجموعها إذن لا يقل عن عشرة فاصلة ثمانية ثلاثة.

لذلك لا يتجاوز خطأ التقريب المطلق مقدار الباقي المطلق مقسومًا على 10.83. هذه نتيجة مثبتة للمسألة والفترة المحددتين؛ لا تنقل المقام نفسه إلى معادلة أخرى. لنفحص العدد الذي سيظهر للقارئ بعد التقريب إلى ست منازل: 1.912931. باقيه يساوي نحو −0.00000200645995، فيكون حد الخطأ أقل من مئة وستة وثمانين جزءًا من مليار.

هذا الفحص يخص الرقم المعروض نفسه، وليس التقريب الداخلي الأطول في الصف الثالث. لو نسبت إلى العدد المختصر باقيًا محسوبًا من الكسر الداخلي لظهر تقريرك أدق مما يسمح به النص المنشور. ولرؤية الفرق من زاوية أخرى، اضرب المعادلة كاملة في ألف: الجذر لا يتحرك وخطوة نيوتن لا تتغير، لأن العامل يختصر من البسط والمقام، لكن الباقي يتضاعف ألف مرة. إذن حجم الباقي المجرد ليس وصفًا كاملًا لخطأ موضع الجذر.

ماذا تفعل عندما تصبح المشتقة صفرًا؟

سنغير المعادلة الآن لاختبار نقطة ضعف واضحة، ونستخدم الدالة g(x)=x³−3x+3. مشتقتها ثلاثة أمثال مربع المتغير ناقص ثلاثة. ابدأ من الصفر: قيمة الدالة ثلاثة وقيمة المشتقة سالب ثلاثة، فيكون التصحيح سالب واحد. طرحه من الصفر يعطينا الواحد. هذه الخطوة صحيحة حسابيًا، لكن نجاح خطوة واحدة لا يخبرنا أن الخطوة التالية ممكنة أو أن المسار سيصل إلى جذر.

عند الواحد تصبح قيمة الدالة واحدة، بينما تصبح المشتقة صفرًا. لو حاولت التعويض المعتاد فستقسم الواحد على الصفر؛ لا توجد هنا خطوة نيوتن معرفة بهذه الصيغة. لا تكتب أن الحل هو الواحد لأن الآلة توقفت عنده، فتعويضه في المعادلة يعطينا واحدة لا صفرًا. سجّل سبب التوقف صراحة، واحتفظ بالسطر الذي أدى إليه حتى تستطيع التمييز بين عطل في الإدخال وحالة رياضية فعلية.

للبحث عن بداية بديلة في هذا المثال، افحص الناحية السالبة. عند سالب ثلاثة تكون قيمة الدالة سالب خمسة عشر، وعند سالب اثنين تكون واحدة. وبما أنها كثيرة حدود مستمرة، يوجد جذر بين هذين العددين. إن بدأت من سالب اثنين، فالمشتقة تسعة، والتحديث الأول هو سالب تسعة عشر على تسعة. لم نحتج إلى إخفاء الفشل السابق؛ استعملنا معلومات جديدة عن موضع الجذر لتحديد محاولة مختلفة قابلة للفحص.

لا يعني هذا أن اختيار نقطة داخل فترة تحصر جذرًا يضمن وحده بقاء كل تحديث داخلها. في المحاولة الجديدة تابع قيمة الدالة والمشتقة كما فعلت في المسألة الأولى، وقارن كل قيمة بالمجال المقصود. لو خرجت قيمة من مجال تعريف مسألة أخرى، فلا تواصل التعويض كأن شيئًا لم يحدث. في سجل هذا المثال نكتب أن المحاولة من الصفر توقفت، وأن البداية السالبة محاولة مستقلة؛ فلا نعرض سلسلة واحدة تخفي تغيير البداية.

ضع معيار قبول للناتج قبل بدء الحساب

تشير ملاحظات كورنيل إلى أن نيوتن قد تتقارب بسرعة عند توافر الظروف المناسبة، لكنها تحتاج إلى مشتقة وبداية ملائمة؛ الحديث عن سرعة التقارب لا يمنح ضمانًا من أي نقطة. لهذا نفرق بين تنفيذ التكرار وبين إثبات أن الناتج يحقق الدقة المطلوبة. سنجعل معيار القبول التالي خاصًا بمثال الجذر التكعيبي الذي فحصناه، بدل تقديم عتبة واحدة تصلح لكل المعادلات. [2]

لنفترض أنك تريد خطأ مطلقًا أقل من جزء من مليون. في مسألة مكعب العدد المساوي لسبعة، يكفي لتقريرنا أن يبقى التقريب والجذر داخل الفترة التي برهناها، وأن يكون مقدار الباقي أقل من 0.00001083. هذا الرقم ينتج من ضرب حد الخطأ المطلوب في المقام الذي أثبتناه. الباقي بعد التحديث الثاني أكبر من هذه العتبة، بينما الباقي بعد الثالث أصغر منها؛ وهكذا صار للتوقف سبب قابل للمراجعة.

إذا وضعت حدًا أقصى قدره تحديثان فقط، فسوف تنتهي المحاولة قبل تحقق هذه الشهادة. اكتب حينها «انتهى الحد المحدد دون تحقيق معيار القبول»، ولا تكتب «تم إيجاد الجذر بالدقة المطلوبة». قد يكون التقريب نافعًا لغرض أقل دقة، لكن ذلك قرار مختلف يحتاج إلى تصريح. كذلك، لا تجعل تساوي رقمين بعد اختصارهما على شاشة الآلة دليلًا مستقلًا؛ فقد تتساوى أرقام العرض بينما تبقى القيم الداخلية مختلفة.

في التقرير النهائي اذكر الدالة والبداية وعدد التحديثات والعدد الذي تعرضه وطريقة فحصه. في مثالنا تستطيع كتابة: استُخدمت البداية اثنان، ونُفذت ثلاثة تحديثات بكسور دقيقة، ثم عُرض العدد بست منازل عشرية وفُحص باقي هذا العدد المختصر. هذه العبارة تتيح لشخص آخر إعادة النتيجة، وتوضح لماذا تختلف قيمة الباقي في الجدول عن قيمة الباقي في شهادة الرقم النهائي، دون الادعاء بأن الحل العشري أصبح قيمة دقيقة تمامًا.

تدريب مستقل مع طريقة للتحقق من جوابك

جرّب الآن المعادلة h(x)=x²+x−8=0 من البداية اثنين. اكتب مشتقتها بنفسك قبل قراءة الحل التالي، ثم احسب البسط والمقام منفصلين. عند اثنين يكون الباقي سالب اثنين والمشتقة خمسة؛ لذلك يصبح التحديث الأول اثنين فاصلة أربعة. إن حصلت على واحد فاصلة ستة، فغالبًا أنك أضفت التصحيح السالب بدل طرحه. هذا الاختبار القصير يكشف خطأ الإشارة دون الحاجة إلى معرفة الجذر مسبقًا.

عند التقريب الأول يكون الباقي ستة عشر جزءًا من مئة والمشتقة خمسة فاصلة ثمانية. ينتج التحديث الثاني 344/145، أي نحو 2.372413793103. احتفظ بهذا الكسر، ثم عوض به في كثيرة الحدود الأصلية؛ ستجد باقيًا موجبًا يساوي ستة عشر على واحد وعشرين ألفًا وخمسة وعشرين. إذا وجدت صفرًا على شاشة محدودة المنازل، فاستخدم الكسر لفهم أن الناتج صغير لكنه غير صفري.

يمكن فحص موضع الجذر الموجب هنا دون تقليد المقام السابق. قيمة الدالة عند اثنين سالبة وعند اثنين ونصف موجبة، وهي متزايدة بينهما. إذا رمزنا إلى الجذر بالحرف نفسه الذي استعملناه سابقًا، ينتج من فرق قيمتي كثيرة الحدود العاملان (q−r)(q+r+1). ومع وقوع الجذر والتقريب بين اثنين واثنين ونصف، لا يقل العامل الثاني عن خمسة. لهذا نقسم الباقي المطلق على خمسة للحصول على حد لخطأ هذا التدريب.

للتحديث الثاني يكون حد الخطأ أقل من 0.000153. حاول تنفيذ تحديث ثالث ثم افحصه بالطريقة نفسها، وقارن بما حصلت عليه من حل المعادلة التربيعية إن كنت تعرفه. الهدف من التدريب أن تنتقل من التعويض الآلي إلى مراجعة المعنى: هل حدث تحديث صحيح؟ هل ظل المقام صالحًا؟ وأي عدد فحصت، الكسر الداخلي أم الرقم المعروض؟ عندما تجيب عن هذه الأسئلة يصبح التقريب نتيجة مفهومة يمكن تدقيقها، لا مجرد رقم من آلة.

المصادر ومتابعة القراءة

أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.