قد تبدو شبكة الأعداد صحيحة عندما تنجح إضافة واحدة. لكن ماذا عن بقية الصفوف والأعمدة والقطرين؟ سنبني مربعًا من خمس وعشرين خانة، ونتتبع موضع كل عدد بدل تخمينه، ثم نصنع خطأ يحافظ على مجاميع الصفوف ويكشف حدود ذلك الفحص وحده.
الخلاصة السريعة
- نستخدم الأعداد من 1 إلى 25 مرة واحدة لكل عدد.
- المجموع المطلوب لكل صف وعمود وكل قطر رئيسي هو 65.
- نبدأ بالعدد 1 في منتصف الصف الأعلى، ثم نتحرك قطريًا مع الالتفاف عند الحدود.
- إذا كانت الوجهة مشغولة، نضع العدد التالي تحت آخر عدد وضعناه.
- تبديل 17 و 24 في الصف الأول يحفظ صفوفنا، لكنه يفسد عمودين وأحد القطرين.
- تساوي المجاميع وحده لا يثبت استعمال الأعداد المطلوبة دون تكرار.
اعرف ما الذي نريد تحقيقه
يصف NRICH المربع السحري بتساوي مجموع الأعداد في كل صف وعمود وقطر. [1] نضيف في تمريننا شرط استعمال الأعداد من 1 إلى 25 مرة واحدة.
كلمة «خماسي» هنا تعني خمسة صفوف وخمسة أعمدة، لا خمس خانات فقط. سنفحص القطر الواصل من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين، والقطر الآخر من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار. لا يشمل طلبنا كل خط مائل قصير يمكن رسمه داخل الشبكة.
يمكن حساب هدفنا قبل وضع الأعداد. نجمع 1 مع 25، و 2 مع 24، إلى أن نصل إلى 12 مع 14؛ لدينا اثنا عشر زوجًا مجموع كل منها 26، ويبقى 13. المجموع الكلي 12 × 26 + 13 = 325. إذا تساوت الصفوف الخمسة، فمجموع كل منها 325 ÷ 5 = 65.
هذا يحدد العدد الذي سنبحث عنه في المجاميع، لكنه لا يخبرنا أين نضع كل بطاقة. ولو ملأنا الصف الأول بالأعداد 1 إلى 5، فسيكون مجموعه 15، رغم أن اختيارنا استعمل أعدادًا صحيحة من القائمة. صحة الخانة منفردة لا تحقق ترتيب الشبكة.
قاعدة للبناء في شبكة ذات رتبة فردية
تشرح مادة Wichita طريقة للرتب الفردية: ضع 1 في وسط الصف الأعلى، ثم تحرك خانة إلى أعلى وخانة إلى اليمين، مع التفاف الحواف. وإذا انشغلت الوجهة فانزل خانة تحت آخر عدد. [2]
ثبّت اتجاه الورقة قبل البدء. اليمين في هذه القاعدة هو يمين الرسم، حتى لو كان النص المحيط عربيًا. نرقم الأعمدة من اليسار في الأشكال والجدول كي نستعمل إحداثيات واحدة. اكتب 1 في الصف 1 والعمود 3؛ لا تبدأ من الركن ولا من مركز المربع.
نحاول وضع 2 أعلى 1 وإلى يمينه. الخروج من أعلى الورقة يعيدنا إلى أسفلها في العمود المقصود، لذلك يأتي 2 في الصف 5 والعمود 4. ثم يصل 3 إلى الصف 4 والعمود 5. وعند 4 نخرج من جهة اليمين، فنعود إلى العمود 1 في الصف 3.
بعد ذلك نضع 5 في الصف 2 والعمود 2. المحاولة القطرية التالية تصل إلى الصف 1 والعمود 3، لكنها تحمل 1 بالفعل. لا نمسح ذلك العدد، ولا نواصل السير حتى نجد فراغًا؛ نرجع إلى موضع 5، ونضع 6 تحته في الصف 3 والعمود 2.
احتفظ بسجل قصير للحركات
| العدد | الصف | العمود |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 5 | 4 |
| 3 | 4 | 5 |
| 4 | 3 | 1 |
| 5 | 2 | 2 |
| 6 | 3 | 2 |
| 7 | 2 | 3 |
| 8 | 1 | 4 |
بعد وضع 6 نعود إلى المحاولة القطرية المعتادة، فنضع 7 في الصف 2 والعمود 3، ثم 8 في الصف 1 والعمود 4. الاستثناء يعالج حركة واحدة؛ لا يحوّل بقية البناء إلى سلسلة نزول عمودية. يمكنك تغطية الشبكة النهائية ومحاولة متابعة السجل قبل كشفها.
حالة أخرى مفيدة تقع بعد 15 في الركن العلوي الأيمن. تتجاوز المحاولة أعلى الشبكة ويمينها معًا، فتشير بعد الالتفاف إلى الصف 5 والعمود 1. هناك 11، ولذلك ننزل تحت 15 ونضع 16 في الصف 2 والعمود 5. راجع الإشغال بعد حساب الوجهة الملتفة، لا قبل ذلك.
اجمع خطوطًا مختلفة من النتيجة
اقرأ الصف الأول من اليسار: 17 + 24 + 1 + 8 + 15 = 65. والعمود الأول من الأعلى هو 17 + 23 + 4 + 10 + 11 = 65. الاتفاق بينهما بداية جيدة، لكنه لا يغني عن مراجعة الأعمدة الأربعة الأخرى والصفوف الباقية.
القطر الأول يعطينا 17 + 5 + 13 + 21 + 9 = 65، والآخر 15 + 14 + 13 + 12 + 11 = 65. يشارك العدد 13 في القطرين، لكننا لا نجمع القطرين ثم نطالب الناتج بأن يكون 65؛ كل خط له فحص مستقل.
وعند مراجعة الأعداد نفسها، اشطب بطاقة من قائمة 1 إلى 25 كلما قرأت خانة. انتهاء الخانات مع بقاء بطاقة، أو محاولة شطب عدد مشطوب، يعني خللًا في شرط الاستعمال. وجود العدد المطلوب في الوسط ليس بديلًا عن هذا الجرد، ولا نطلب من لون الخلية أن يثبت قيمتها.
اصنع خطأ ينجح في اختبار ناقص
بدّل 17 و 24 داخل الصف الأول وحده. مجموع هذا الصف باقٍ 65، وبقية الصفوف لم تتغير. لكن العمود الأول زاد 7 فأصبح 72، والثاني نقص 7 فأصبح 58. بقيت الأعمدة الثلاثة الأخرى 65. هذه نتيجة محددة تساعدك على معرفة ما ينبغي أن يبلغ عنه الفاحص.
ارتفع القطر من أعلى اليسار أيضًا إلى 72، بينما ظل القطر المقابل 65. لذلك فإن رسالة «كل الصفوف صحيحة» تكون صادقة لكنها غير كافية لإعلان اكتمال الحل. إعادة التبديل نفسه تصلح تجربتنا المعطوبة؛ لا نستنتج أن أي شبكة خاطئة تحتاج تبديلًا واحدًا فقط.
جرّب اختبارًا مختلفًا: ضع 13 في كل خانة. تصبح مجاميع الصفوف والأعمدة والقطرين 65، ومع ذلك لم نستعمل 1 إلى 25 مرة واحدة؛ كررنا عددًا واحدًا خمسًا وعشرين مرة. فاحص تمريننا يرفضها من قائمة القيم، حتى قبل الحاجة إلى الاحتجاج بالمجاميع.
ما الذي تغيره إضافة عدد ثابت؟
أضف 2 إلى كل خانة من الشبكة الصحيحة. كل خط من خطوطنا يضم خمس خانات، فيزداد مجموعه 10 ويصبح 75. ستصبح القيم من 3 إلى 27 دون تكرار. ما زالت المجاميع متساوية، لكن النسخة الجديدة لا تحقق اتفاقنا الأصلي عن القائمة والهدف.
لهذا احتفظ بالشروط بجانب أي نسخة تتبادلها: الأبعاد، والقيم المسموحة، ومجموع الخط، والقطران المقصودان. لا تطبق طريقة الرتبة الفردية على شبكة أربعة في أربعة ثم تتوقع النتيجة نفسها؛ ذلك ليس مجال البناء المعروض. ولم نحاول هنا حصر جميع المربعات الممكنة من رتبة خمسة.
ولدنا الشبكة رقميًا، وقارنا مواضع الأعداد بحساب مستقل لا يعتمد على فحص الخانة المشغولة. ثم راجعنا المجاميع والقيم ومثالي التبديل والتكرار. توافق الحساب مع الرسم والجدول، لكنه لا يحوّل المسألة إلى اختبار لقدرات المتعلم أو قياس لسرعته؛ يمكنك إعادة التتبع بهدوء على ورقة.