جاما الخيار: لماذا لا يبقى تحوط الدلتا ثابتًا؟

جاما تجيب عن تغير الحساسية، لا عن عدد العقود

تشرح OIC جاما بوصفها تغير دلتا المتوقع مع تغير سعر الأصل؛ وتوضح أن مركز الأصل الخطي لا يحمل جاما لأن دلتا وحدته لا تتغير بهذه الحركة. نستخدم هذا التمييز العام، ثم نبني دالة وأعدادًا مستقلة للشرح، دون نسخ مثال المصدر أو افتراض أن جميع المخاطر تختصر في الحساسية للسعر. [1]

سؤال الدلتا في تمريننا هو مقدار تغير القيمة عند حركة صغيرة حول نقطة محددة، مع تثبيت بقية المدخلات. أما سؤال جاما فهو كيف يتبدل هذا الميل نفسه عندما ننتقل إلى سعر آخر. لذلك لا يكفي أن نثبت عدد عقود الخيار حتى نثبت حساسية المركز. قد يبقى العدد كما هو بينما تتغير الحساسية التي نضربه بها. وهذا مختلف عن إضافة عقود جديدة إلى المحفظة أو إغلاق جزء منها؛ سنفصل التغيرين في الحساب بدل الاستدلال من أحدهما على الآخر.

ولكي تكون جميع النتائج قابلة للفحص، لن نبدأ باقتباس سوق ثم نخمن ما بقي من مدخلاته. سنعطي دالة رياضية محلية كاملة، ونعرف المجال الذي نستعملها فيه. الدالة ليست نموذج تسعير معتمدًا، ولا يثبت اختيارها وجود خيار متاح للتداول بهذه الأسعار. فائدتها أنها تسمح بحساب القيمة والميل وتغير الميل من مدخلات معلنة، ثم اختبار معنى «متعادلة الدلتا» بدقة داخل هذا العالم التعليمي المحدود.

دالة محلية تضع القيمة والدلتا على ورقة واحدة

نكتب تغير سعر الأصل عن نقطة البداية هكذا: x = S − 100. ونعطي قيمة الوحدة من الخيار الافتراضي بالدالة V(S) = 10 + 0.4x + 0.01x²، على أن يبقى S بين خمسة وتسعين ومئة وخمسة. الوحدة النقدية واحدة في جميع القيم. لا نعطي سعر تنفيذ أو تاريخ استحقاق أو عملية ممارسة؛ فالمطلوب هنا شرح حساسية دالة محلية، وليس بناء عقد كامل أو تقدير سعر عادل من السوق.

عند سعر البداية مئة يكون x صفرًا، فتكون قيمة الوحدة عشرة. مشتقة الدالة بالنسبة إلى السعر هي 0.4 + 0.02x، وهي دلتا الوحدة في مثالنا. ومشتقة هذه الدلتا هي 0.02، أي جاما الثابتة التي اخترناها للدالة. عند السعر مئة تكون الدلتا أربعة أعشار، وعند مئة وخمسة تصبح نصفًا، وعند خمسة وتسعين تصبح ثلاثة أعشار. لم يتغير عدد العقود في أي من هذه اللقطات؛ الذي تغير هو موقعنا على الدالة.

تساوي جاما مقدارًا ثابتًا هنا لأننا اخترنا حدًا تربيعيًا بمعامل ثابت. لا نستنتج من ذلك أن جاما خيار فعلي تبقى ثابتة عبر الأسعار أو الزمن. كذلك لا نمد الدالة إلى أسعار بعيدة ثم نعامل نتائجها كأننا اختبرنا صلاحيتها هناك. المجال جزء من تعريف المسألة، وأي خروج منه يحتاج نموذجًا أو بيانات إضافية. الاحتفاظ بهذا القيد يمنع تحول المثال البسيط إلى توقع مفتوح لما سيحدث لسعر خيار حقيقي.

من دلتا الوحدة إلى تحوط ثمانين وحدة

نختار مركز شراء عقدين افتراضيين، ونفرض أن كل عقد يمثل مئة وحدة من القيمة التي عرفناها. المضاعف مئة مدخل للتمرين، وليس قاعدة لكل عقود الخيارات. يصبح لدينا مئتا وحدة من الدالة. عند البداية تضرب دلتا الوحدة، وهي أربعة أعشار، في مئتين، فنحصل على ثمانين وحدة مكافئة من الأصل. لو اكتفينا بضربها في عقدين فقط لحصلنا على ثمانية أعشار، ونكون قد أسقطنا مضاعف العقد من الحساب لا اكتشفنا تحوطًا أصغر.

نضيف إلى هذه اللقطة مركز بيع ثمانين وحدة من الأصل نفسه، فتكون حساسيته الخطية سالب ثمانين في دفترنا. مجموع دلتا الخيارين موجب ثمانين ودلتا الأصل سالب ثمانين يساوي صفرًا عند سعر مئة. هذا هو التعادل المحلي الذي نريد اختباره. لا يعني الصفر أن قيمة المحفظة صفر، أو أن تكاليف فتحها اختفت، أو أن كل حركة لاحقة ستعطي تغير قيمة يساوي صفرًا. حسبنا ميل القيمة عند نقطة، لا كل خصائص المحفظة عند جميع النقاط.

وتصبح جاما مركز الخيارين مئتين مضروبة في اثنين من مئة، أي أربعة وفق وحدات مثالنا. لا يضيف مركز الأصل الخطي حدًا تربيعيًا إلى دالة التغير التي سنحسبها. لذلك أبقينا تقوس القيمة رغم إلغاء الميل الأول عند البداية. يظهر الفرق بين الرقمين في السجل: دلتا صافية تساوي صفرًا في اللقطة الأولى، وجاما تساوي أربعة. لا نجمعهما في خانة واحدة؛ فكل منهما يصف جانبًا مختلفًا من استجابة الدالة لتغير السعر.

فرع الارتفاع وفرع الانخفاض مع التحوط القديم

في فرع مستقل نرفع S إلى مئة وخمسة، فيكون x خمسة. تصبح قيمة الوحدة 12.25، بزيادة 2.25 عن البداية. ومع مئتي وحدة يكون تغير قيمة الخيارين موجب أربعمئة وخمسين. أما مركز بيع الثمانين وحدة من الأصل فيتغير بمقدار سالب أربعمئة، لأن السعر ارتفع خمس وحدات. يجمع الدفتر التغيرين ليحصل على موجب خمسين. هذه مقارنة قيم بين لقطتين مفترضتين، لا إيصال أرباح أو نتيجة تنفيذ سوقي.

في فرع آخر مستقل نخفض السعر من نقطة البداية إلى خمسة وتسعين، فيكون x سالب خمسة. تصبح قيمة الوحدة 8.25، بانخفاض 1.75، فيكون تغير قيمة الخيارين سالب ثلاثمئة وخمسين. ويعطي مركز بيع الثمانين تغيرًا موجب أربعمئة، فتكون المحصلة موجب خمسين أيضًا. الفرعان بديلان يبدأ كل منهما من مئة؛ لم نصنع مسارًا يرتفع ثم ينخفض، ولا يجوز جمع نتيجتيهما على أنهما ربحان متتابعان تحققا في حساب واحد.

يمكن التحقق مباشرة من تغير قيمة المركز المجمع: 200(0.4x + 0.01x²) − 80x = 2x². يزول الحد الخطي، ويبقى الحد التربيعي. وعند حركة واحدة يكون الباقي اثنتين، وعند حركة اثنتين يكون ثمانيًا، وعند حركة خمس يكون خمسين، سواء كانت الحركة موجبة أم سالبة ضمن المجال. هذه مساواة دقيقة للدالة التي ألفناها؛ ليست قاعدة تجعل أي تحوط دلتا واقعي رابحًا في الاتجاهين بعد احتساب جميع مدخلاته وتكاليفه.

أما الحساسية عند نهاية الفرع فتختلف عن تغير القيمة المتراكم من البداية. عند مئة وخمسة تصبح دلتا الوحدة نصفًا، ودلتا الخيارين مئة؛ ومع بيع ثمانين يبقى صافي موجب عشرين. وعند خمسة وتسعين تصبح دلتا الخيارين ستين؛ ومع المركز القديم يبقى صافي سالب عشرين. لا نخلط وحدة الدلتا مع مبلغ الخمسين السابق. الأول ميل محلي للتغير التالي عند سعر النهاية، والثاني فرق قيمة حسبناه من نقطة البداية إلى تلك النهاية.

ماذا تغير إعادة التعادل، وما الذي تبقيه؟

إذا أردنا جعل صافي الدلتا صفرًا عند مئة وخمسة داخل النموذج، نحتاج مركز بيع مئة وحدة من الأصل مقابل دلتا الخيارين البالغة مئة. وبما أن اللقطة القديمة تحمل بيع ثمانين، يكون الفرق الحسابي زيادة البيع بعشرين وحدة. أما عند خمسة وتسعين فنحتاج بيع ستين فقط، فيكون الانتقال من بيع ثمانين إلى بيع ستين بتقليل مركز البيع بعشرين. هاتان تسويتان جبريتان للموضع، وليستا أمرين ننفذهما أو اقتراحًا لحجم تداول مناسب.

إعادة التعادل عند سعر النهاية لا تعيد كتابة التغير الذي حدث منذ البداية. ينبغي أن نفصل السجل السابق عن أي مركز جديد وتكلفة دخوله وتوقيته. لم نعط هذه التفاصيل، لذلك لا نحسب أرباح استراتيجية يعاد توازنها مرارًا، ولا نرتب مواعيد للتعديل. وحتى داخل دالتنا يبقى التقوس بعد إضافة مركز خطي جديد؛ يمكن تصفير الميل عند نقطة أخرى، لكن إضافة خط لا تحذف الحد التربيعي الذي عرّف قيمة الخيارين في المجال.

ولفحص اتجاه التعديل، ارجع إلى صافي الحساسية بدل حفظ عبارة «اشتر عند الارتفاع» أو «بع عند الانخفاض» دون تعريف المركز. مثالنا يبدأ بشراء خيارين ومركز بيع في الأصل؛ لذلك أعطى أعدادًا واتجاهات محددة. لم نحل حالة بيع الخيارين أو خلط خيارات مختلفة. لا تنقل اتجاه الأمر من هذه الحالة إلى مركز آخر لمجرد أن كليهما يحمل كلمة دلتا. اكتب عدد العقود ومضاعفها وإشارتها وحساسية الوحدة قبل أن تستنتج صافي الوحدات المقابلة.

حدود الاستنتاج من النموذج المؤلف

ثبتنا بقية المدخلات وعرفنا الدالة في لقطة رياضية، ولم ندخل مرور الوقت أو تغير التقلب أو فروق التنفيذ أو التمويل أو الرسوم. لذلك لا يشكل باقي الخمسين عائدًا صافيًا لاستثمار يمكن شراؤه بهذه الشروط. كما لم نثبت إمكانية فتح مركز بيع الأصل أو شروطه في حساب معين. هذه معلومات خارج المسألة، ولا يستعيدها اشتقاق الدالة أو تحقق عملية الضرب مهما كانت الحسابات الداخلية دقيقة.

احفظ في ورقة المراجعة سعر البداية وسعر الفرع وقيمة الوحدة ودلتا الوحدة وجاما، ثم عدد العقود والمضاعف ومركز الأصل. بعد ذلك اعرض تغير القيمة وصافي الدلتا في خانتين منفصلتين. يسمح هذا للقارئ بإعادة حساب موجب خمسين وموجب عشرين في فرع الارتفاع دون افتراض أنهما رقمان للكمية نفسها. وإذا وصل مضاعف مختلف للعقد، أعد حساب الحساسية والقيم معًا بدل تغيير عنوان العدد أو إبقاء التحوط القديم كأنه ما زال مرتبطًا بالوحدة الجديدة.

ما أثبته المثال هو أن تعادل الدلتا عند مئة لا يضمن بقاء التعادل بعد حركة السعر، وأن جاما تساعد على تفسير تغير الحساسية الذي رأيناه. أما عدد الوحدات المناسب لمركز فعلي فيحتاج تعريف عقوده ومدخلاته وقواعد حسابه، ولا نحصل عليه باستعارة الثمانين من هذه الصفحة. احتفظ بالمبدأ وبترتيب الوحدات، وافصل بين فحص نموذج توضيحي مكتمل وبين تشخيص محفظة حقيقية لم نقرأ بياناتها أو نختبر سلوكها.