المعدل الثابت للمبادلة: لماذا لا نأخذ المتوسط البسيط؟

معدل يجعل مجموعين متساويين

يشرح ملخص CFA Institute تسعير المبادلة بحل معدل ثابت يساوي القيمة الحالية للدفعات العائمة المتوقعة بالقيمة الحالية للدفعات الثابتة. المقارنة تخص القيم الحالية، وليست مجرد تساوي متوسط نسب مكتوبة في جدول. نستعير هذا التعريف، ثم نبني حسابًا مستقلًا بمدخلات اخترناها للشرح. [1]

نعطي ورقتنا طرفًا يتلقى دفعات عائمة ويدفع دفعات ثابتة، ونسمي كل مجموعة دفعات ساقًا. المبلغ الاسمي ألف وحدة نقدية واحدة، ولا نفترض تبادل هذا الأصل نفسه بين الطرفين. لدينا فترتا استحقاق معطاتان بكسر ربع سنة وثلاثة أرباع سنة، وموعد دفع لكل منهما. كسور السنة مدخلات جاهزة؛ لم نحسبها من تواريخ أو نستنتج أساس عد أيام لعقد حقيقي.

ونعطي للفترتين معدلين عائمين متوقعين، اثنين بالمئة وستة بالمئة، مع عاملي خصم صفر فاصلة تسعة تسعة وصفر فاصلة تسعة خمسة. في هذا النموذج البسيط، الدفعة المتوقعة هي الاسمي مضروبًا بكسر الفترة وبمعدلها، وقيمتها الحالية تضرب بعامل الخصم المقابل. أما الساق الثابتة فتستخدم معدلًا واحدًا مجهولًا للفترتين، وباقي الحقول نفسها، كي يكون السؤال المحدد هو إيجاد ذلك المجهول.

توقيت الدفعات وتعريفها مهمان قبل اختصار المعادلة. لم نعط فترتي الساقين بجدولين مختلفين، ولا تراكمًا داخل الفترة، ولا عملتين مختلفتين، ولا هامشًا إضافيًا. لذلك نستطيع هنا مطابقة كل كسر وخصم بين الساقين. لا ننقل الاختصار الناتج إلى عقد له تدفقات أو شروط أخرى دون إعادة بناء مجموعي القيمة الحالية من تعريفاته الفعلية.

احسبي المبالغ قبل استخراج المعدل

الدفعة العائمة المتوقعة الأولى ألف في ربع في اثنين بالمئة، فتساوي خمس وحدات. والثانية ألف في ثلاثة أرباع في ستة بالمئة، فتساوي خمسًا وأربعين. مجموعهما الاسمي خمسون، لكن هذا ليس مجموع القيم الحالية. بعد ضرب الأولى بصفر فاصلة تسعة تسعة نحصل على أربع فاصلة خمسة وتسعين، وبعد ضرب الثانية بصفر فاصلة تسعة خمسة نحصل على اثنتين وأربعين فاصلة خمسة وسبعين. المجموع الحالي سبع وأربعون فاصلة سبعين.

للثابت، حاصل ضرب ربع السنة بالخصم الأول صفر فاصلة اثنتان أربعة سبعة خمسة، وحاصل ضرب ثلاثة أرباع بالثاني صفر فاصلة سبعة واحد اثنتان خمسة. مجموعهما صفر فاصلة تسعة ستة. ضربه بالاسمي ألف يعطي تسعمئة وستين، ثم يبقى ضرب هذا العدد بالمعدل الثابت الذي نبحث عنه. نحتاج إذن معدلًا يجعل تسعمئة وستين في المعدل تساوي سبعًا وأربعين فاصلة سبعين.

القسمة تعطي صفرًا فاصلة صفر أربعة تسعة ستة ثمانية سبعة خمسة، أي أربعة فاصلة تسعة ستة ثمانية سبعة خمسة بالمئة. نعوض هذه القيمة في مجموع الثابت فنعيد السبع والأربعين فاصلة سبعين نفسها. بذلك اختبرنا المجهول بحساب الطرف الذي حللناه من أجله. لا نسمي التسعمئة والستين مبلغًا مستحقًا مستقلًا؛ إنه معامل يتوقف الناتج النقدي منه على المعدل الذي نضربه به.

ولا يلزم أن تتساوى دفعتا الساقين كل واحدة مع نظيرتها. فعند المعدل الذي حسبناه، الدفعة الثابتة الأولى نحو اثنتي عشرة فاصلة اثنتين وأربعين، رغم أن العائمة المتوقعة الأولى خمس. التعادل وقع في مجموع القيم الحالية للفترتين، لا في مساواة كل صف. لذلك لا نرفض نتيجة التعادل لأن إحدى الدفعتين الثابتتين أكبر من المتوقعة المقابلة، ما دام مجموع الورقة يعيد المساواة المعلنة.

لماذا لا يكفي المتوسط البسيط أو متوسط الزمن؟

متوسط الاثنين والستة بالمئة البسيط أربعة بالمئة. إذا استخدمناه للثابت أصبحت الدفعتان عشرًا وثلاثين، وقيمتاهما الحاليتان تسعًا فاصلة تسعة وثمانيًا وعشرين فاصلة خمسة. المجموع ثمان وثلاثون فاصلة أربعين، أقل من العائم الحالي بمقدار تسع فاصلة ثلاثين. المتوسط لم يخطئ في جمع نسبتين وقسمتهما على اثنين؛ لكنه لم يحل السؤال الذي يتطلب مطابقة مبالغ تخص فترتين غير متساويتين وخصمين مختلفين.

قد نحاول مراعاة الزمن فقط فنضرب اثنين بالمئة في ربع وستة بالمئة في ثلاثة أرباع، ثم نجمع لنحصل على خمسة بالمئة. باستخدام هذا المعدل تكون قيمة الثابت الحالية ثمانيًا وأربعين، أي أعلى من العائم بثلاثة أعشار وحدة. اقتربت النتيجة، لكنها ليست معدل التعادل الدقيق في المدخلات المعطاة، لأننا أدخلنا كسر الفترة ولم ندخل أثر اختلاف عاملي الخصم في تحديد الوزن.

الإشارة تحتاج إلى تسمية الطرف كذلك. عرفنا الطرف بأنه متلقي العائم ودافع الثابت، ولذلك فرق الورقة عند الأربعة بالمئة موجب تسع فاصلة ثلاثين، وعند الخمسة بالمئة سالب صفر فاصلة ثلاثة. لو قرأنا الفرق من جهة الطرف المقابل انعكست الإشارة. لا نحول قيمة موجبة إلى ربح نقدي تحقق في حساب؛ إنها الفرق بين مجموعين حسب التعريف والافتراضات التي كتبناها، ولم نقدم تسوية فعلية أو تكلفة دخول.

الأوزان التي تعيد نتيجة التعادل

نقسم حاصل كسر الفترة الأولى وخصمها على مجموع الحاصلين، فيكون الوزن ثلاثة وثلاثين على مئة وثمانية وعشرين، أو نحو خمسة وعشرين فاصلة ثمان وسبعين بالمئة. وزن الثانية خمسة وتسعون على مئة وثمانية وعشرين، أو نحو أربعة وسبعين فاصلة اثنتين وعشرين بالمئة. مجموع الوزنين واحد. ضرب الأول في اثنين بالمئة والثاني في ستة بالمئة يعيد معدلنا الثابت أربعة فاصلة تسعة ستة ثمانية سبعة خمسة بالمئة.

هذه الأوزان تخص جدولنا الذي تتطابق فيه الفترات والمواعيد والاسمي بين الساقين. لم نخترها على أساس أن الدفعة الثانية أكبر فقط؛ حسبنا أولًا كسر الفترة في عامل الخصم، ثم قسمناه على مجموع العاملين. يبين ذلك لماذا لا نضع لكل صف نصفًا لمجرد أن عدد الصفوف اثنان. عدد الصفوف يخبرنا كم عنصرًا في القائمة، وليس مقدار الوزن الذي تحمله دفعاته في معادلة القيمة الحالية.

ولو جعلنا عاملي الخصم واحدًا في بديل مستقل، مع بقاء كسري ربع وثلاثة أرباع، لرجع معدل التعادل إلى خمسة بالمئة، وهو متوسط الزمن السابق. ولو غيرنا أيضًا كسري الفترتين إلى نصفين متساويين، مع خصم متساوٍ، لرجع إلى أربعة بالمئة. الشرط الحاسم للاختصار في هذه الورقة هو تساوي حاصل الكسر والخصم بين الصفين؛ لا نحتاج الادعاء بأن المتوسط البسيط خطأ في كل حالة كي نشرح خطأ استعماله في حالتنا الأولى.

ويمكن فحص دور الاسمي بمضاعفته في الساقين إلى ألفين، مع تثبيت بقية المدخلات. تصبح قيمة العائم الحالية خمسًا وتسعين فاصلة أربعين، ومعامل الثابت ألفًا وتسعمئة وعشرين. القسمة تعيد المعدل نفسه لأن البسط والمقام تضاعفا معًا. لكن فرق القيم عند استعمال متوسط الأربعة بالمئة يصير ثماني عشرة فاصلة ستين بدل تسع فاصلة ثلاثين. تساوي المعدل في الورقتين لا يعني تساوي مبالغهما أو حجم الفرق النقدي بين الساقين، ولا يجوز حذف الاسمي من سجل القيمة لأنه اختصر عند حل نسبة معينة.

معدل تعادل جديد لا يعيد كتابة معدل العقد القديم

ننشئ بديلًا نغير فيه عامل الخصم الثاني وحده من صفر فاصلة تسعة خمسة إلى صفر فاصلة تسعة، ونترك المعدلين المتوقعين وبقية الحقول كما هي. تصبح قيمة العائم الحالية خمسًا وأربعين فاصلة خمسة وأربعين، ويصبح معامل الثابت تسعمئة واثنتين وعشرين فاصلة خمسين. القسمة تعطي معدل تعادل جديدًا نحو أربعة فاصلة تسعة اثنتين ستة ثمان ثلاث بالمئة. هذا تغير في مدخل خصم معطى، لا رصد منحنى سوق.

إذا سألنا بدلًا من ذلك عن عقد يحتفظ بالمعدل الأول أربعة فاصلة تسعة ستة ثمانية سبعة خمسة بالمئة، فلا نستبدله بالجديد كي نجعل الفرق صفرًا. نضرب القديم بمعامل الثابت الجديد فنحصل على خمس وأربعين فاصلة ثمانية ثلاثة ستة سبعة واحد ثمانية سبعة خمسة. بطرحه من قيمة العائم الجديدة يكون فرق متلقي العائم سالب صفر فاصلة ثلاثة ثمانية ستة سبعة واحد ثمانية سبعة خمسة، أو نحو −0.38672.

النتيجتان تجيبان عن سؤالين: ما المعدل الذي يعادل الساقين الآن في البديل، وما فرق قيمة ساقين بمعدل ثابت محفوظ من الورقة الأولى؟ خلطهما يمحو الفرق بإعادة تعريف العقد الذي نريد تقييمه. ولا نعطي هذا السيناريو تفسيرًا عامًا لحساسية أي مبادلة؛ ثبتنا التوقعات عمدًا وغيرنا الخصم الثاني وحده، ولم نقدم علاقة اشتقاق بين منحنيي التوقع والخصم أو نموذج تغيرهما في السوق.

حدود الورقة قبل أي تفسير مالي

الألف مقدار حساب، والمعدلان العائمان توقعان معطيان، وليسا تعهدًا بأن دفعتين ستقعان حتمًا بهذه القيم. كما أن تساوي مجموعي القيمة الحالية لا يعني اختفاء المدفوعات المستقبلية؛ حسبنا مبالغ غير صفرية في الساقين. إذا غاب كسر فترة أو عامل خصم فلا نملأه بالواحد دون تصريح، لأن تغيير هذا المدخل يغير المعامل والمعدل الذي استخرجناه في المثال.

ولم نضف رسومًا أو فروق عرض وطلب أو تعديلات ائتمانية أو ضمانات أو ترتيبات تسوية. لذلك لا نسمي التعادل المحسوب تكلفة صفرية مضمونة أو عقدًا ملائمًا للمستثمر. ما أثبتناه هو طريقة حساب واضحة لمبالغ محددة: نزن الفترة بالخصم، ونساوي مجموعي القيم الحالية، ثم نفصل إعادة حل المعدل عن تقييم معدل محفوظ. أما التعامل مع منتج فعلي فيحتاج شروطه ومدخلاته التي لم نفحصها في ورقتنا المؤلفة.