polyder: هل scl يُضرب مرة واحدة للمشتقة الثانية؟

عدد الاشتقاقات وعامل كل خطوة

polyder تضرب نتيجة كل اشتقاق في scl؛ بعد m اشتقاقات يتكرر العامل وفق scl**m. [1]

ترتيب معاملات polyder من الدرجة الدنيا إلى العليا، وm عدد الاشتقاقات غير السالب. [1]

نؤلف p(u)=5−4u+3u². تمثل [5,−4,3] الثابت ومعامل u ومعامل u²؛ سنحافظ على اسم المتغير u عند وصف معاملات المشتقات. الأعداد بلا وحدة أو بيانات قياس.

نسأل عن قراءة محددة لمعامل scl: هل يُضرب مرة واحدة في نهاية الطلب عندما m=2؟ نكتب خطوات المثال ونقارنها بالمصفوفة المسجلة، بدل استنتاج عدد الضربات من وجود معامل واحد في الاستدعاء.

عاملان في طلب مشتقة ثانية

شغّلنا NumPy 2.3.5 وCPython 3.12.14: c=[5,−4,3] من float64، وm=2 وscl=3؛ أعادت polyder المصفوفة [54.] بالشكل (1,).

import numpy as np from numpy.polynomial import polynomial as P c=np.array([5,-4,3],dtype=np.float64) first=P.polyder(c,m=1,scl=3) second=P.polyder(c,m=2,scl=3) print(first,second) print(P.polyder(first,m=1,scl=3))

الاشتقاق الأول مع scl=3 أعاد [−12.,18.]؛ اشتقاق هذا الناتج مع العامل نفسه أعاد [54.]. أما المشتقة الثانية بلا قياس فهي [6.]؛ ضربها مرة واحدة في 3 يعطي [18.] ولا يوافق التشغيل.

مرجعنا يبدأ من p′(u)=−4+6u. الضرب في 3 يعطي −12+18u، أي المعاملين اللذين قرأناهما في التشغيل الأول. اشتقاق هذا التعبير يعطي 18؛ والضرب في 3 في الخطوة الثانية يعطي 54.

أما p″(u)=6 بلا قياس، فتعطي قراءتنا الخاطئة «ضرب واحد» العدد 6×3=18. الفرق ليس أثر تقريب عشري في هذا المثال؛ 54=6×3². استعملنا أعدادًا صحيحة صغيرة يمكن تمثيلها بدقة في النوع المختار.

كل مصفوفة ناتجة تصف معاملات كثير حدود في هذا الحساب. لا نعامل 18، وهو معامل u في النتيجة الأولى، على أنه قيمة مشتقة ثابتة لهذه النتيجة قبل تنفيذ الاشتقاق التالي والقياس.

إشارة العامل وتركيب تربيعي

تحكم scl=−3 أعاد للمشتقة الثانية [54.] أيضًا؛ وscl=0 أعاد [0.]، وscl=1 أعاد [6.]. تحكم m=0 أبقى معاملات c نفسها.

بالقياس −3، كانت النتيجة الأولى [12.,−18.]؛ اشتقاقها ثم ضرب −3 يعطي (−18)×(−3)=54. لذلك توافق الطلبان ذوا العاملين 3 و−3 في المشتقة الثانية هنا، مع اختلاف النتيجة الأولى. لا ننقل هذا التوافق إلى كل رتبة اشتقاق.

وبالقياس صفر، قرأنا [0.,0.] في الطلب الأول و[0.] في الثاني. تحكم m=0 مع العامل نفسه أعاد [5.,−4.,3.]؛ هذا الطلب لا ينفذ خطوة اشتقاق في مثالنا، فلا نجعل وجود scl=0 وحده سببًا لتحويل المدخل إلى أصفار.

نكتب تركيبًا مستقلاً g(x)=p(3x)=5−12x+27x². المشتقة الثانية له 54، فتؤيد حساب العامل المكرر في المثال التربيعي. هذه مقارنة بالاشتقاق اليدوي للتركيب، لا استدعاء آخر ينتج المرجع نفسه آليًا.

لا نساوي مصفوفة المشتقة الأولى [−12,18] مباشرة بمعاملات g′(x). الأولى وصف −12+18u في المتغير u، بينما g′(x)=−12+54x. تعويض u=3x يصل بين التعبيرين هنا. فحص التركيب في الشبكة أدناه يخص المشتقة الثانية الثابتة فقط.

شبكة الفحص وحدودها

مرت 945 مقارنة على 135 حالة تربيعية مؤلفة؛ المرجع كسري مستقل، واختبار تركيب p(sx) محدود بالمشتقة الثانية الثابتة لهذه الحالات.

الثابت من {0,2,5}، ومعامل u من {−4,0,2}، ومعامل u² من {−2,1,3}، والعامل من {−3,−1,0,2,3}. لدينا 3×3×3×5=135 حالة. المعامل التربيعي غير صفري في جميع المدخلات، ولا نفحص تغيير رتبة كثيرة الحدود الأصلية داخل هذه الشبكة.

سبعة فحوص لكل حالة: معاملات الاشتقاق الأول؛ معاملات الثاني؛ تتابع طلبين من رتبة واحدة؛ تحكم المشتقة الثانية مع scl=1؛ مرجع تركيب تربيعي للمشتقة الثانية؛ نوع الخرج وشكله؛ وثبات المدخل مع تحكم m=0. الإجمالي 135×7=945، ومرت كلها.

للثابت A والمعاملين B وC والعامل s، المرجع الكسري الأول [Bs,2Cs] والثاني [2Cs²]. ومرجع تركيب p(sx) له المعاملات [A,Bs,Cs²]، فمشتقته الثانية 2Cs². لا يستدعي حساب المرجع polyder أو polyval.

استعملنا مساواة دقيقة للأعداد المختارة. بقيت بايتات المدخل كما هي؛ النتيجة الأولى من float64 بشكل (2,)، والثانية من النوع نفسه بشكل (1,). هذا الفحص لا يقرر مشاركة الذاكرة أو زمن الأداء أو دقة أنواع أخرى.

لم نفحص درجات أو رتبًا أعلى، أو محاور مختلفة، أو مصفوفات متعددة الأبعاد، أو أعدادًا مركبة، أو قيمًا غير منتهية، أو أداءً. المثال يفصل عاملًا يتكرر في كل خطوة من عامل أخير يُضرب مرة؛ لا يقدم ضمانًا عامًا لكل تغيير متغير أو تنفيذ عددي.