polyfit: هل w أوزان متوسط مباشر؟

أين يدخل الوزن في الخطأ؟

w في polyfit تضرب المتبقي قبل تربيعه؛ هدف الملاءمة يجمع مربعات المتبقيات الموزونة. [1]

polyfit تلائم كثير حدود بالمربعات الصغرى، ومعاملات الخرج مرتبة من الدرجة الدنيا إلى العليا. [1]

نختار درجة صفر، فيكون النموذج p(x)=c ثابتًا واحدًا لكل الملاحظات. لدينا نقطتان مؤلفتان: (0,0) و(1,6)، ووزنان اخترناهما للتجربة: 1 و2. القيم بلا وحدات مادية أو تقدير عدم يقين.

المتبقي لكل ملاحظة هو قيمة y ناقص الثابت المقترح c. نقارن طريقتين صريحتين: تربيع حاصل ضرب المتبقي في w، أو ضرب مربع المتبقي في w. وجود كلمة «وزن» في الطريقتين لا يجعلهما الهدف نفسه.

ثابت الملاءمة وأقل كلفة

شغّلنا NumPy 2.3.5 وCPython 3.12.14 على x=[0,1] وy=[0,6] وw=[1,2] من float64، مع deg=0. أعادت polyfit المعامل [4.8]؛ المرجع الكسري 24/5.

import numpy as np from numpy.polynomial import polynomial as P x=np.array([0,1],dtype=np.float64) y=np.array([0,6],dtype=np.float64) w=np.array([1,2],dtype=np.float64) print(P.polyfit(x,y,0,w=w))

لثابت c، الهدف هنا E(c)=c²+4(6−c)². عند c=24/5 يساوي 144/5، وعند متوسط الأوزان المباشرة c=4 يساوي 32؛ فالثاني لا يقلل هذا الهدف.

للملاحظة الأولى المتبقي −c والوزن 1، فمساهمة الهدف c². للثانية المتبقي 6−c والوزن 2؛ مربع 2(6−c) هو 4(6−c)². لهذا يظهر العدد 4 أمام مربع المتبقي، رغم أن المدخل يحتوي الوزن 2.

بالنشر E(c)=5c²−48c+144. وبإكمال المربع E(c)=5(c−24/5)²+144/5. الحد المربع غير سالب، ويصفر عند c=24/5؛ لذا هذا الحل فريد داخل نموذج الثابت، والكلفة الدنيا 28.8.

أما قراءة الأوزان مباشرة في متوسط، فتعطي (1×0+2×6)/(1+2)=4. ولو كان الهدف F(c)=c²+2(6−c)²، لكان F(c)=3(c−4)²+24، فيقل عند 4. هذا هدف مختلف: الوزن هنا يضرب المربع بعد تكوينه.

عند c=4 في الهدف الذي شغّلناه، نحسب 16+4×4=32، أكبر من 144/5 بفارق 16/5. وعند c=24/5 نجد (24/5)²+4(6/5)²=720/25=144/5. نراجع الكلفة نفسها، لا قرب الثابت من إحدى القيم وحده.

لم نحذف إحدى الملاحظتين أو نبدل y. الاختلاف يأتي من تعريف الكلفة. كما أن نجاح المحلل في تقليلها لا يقول إن الثابت 4.8 توقع جيد لقياسات جديدة؛ لم نعط بيانات جديدة لاختبار ذلك.

الجذر والإشارة والتكرار

تغيير الأوزان إلى [1,√2] أعطى نحو 4. تغييرها إلى [1,−2] أو [3,6] أبقى 4.8 في تشغيلنا؛ وملاءمة غير موزونة لقيمة 0 مرة و6 أربع مرات وافقتها.

print(P.polyfit(x,y,0,w=np.sqrt(w))) print(P.polyfit(x,y,0,w=[1,-2])) print(P.polyfit(x,y,0,w=3*w)) print(P.polyfit([0,1,1,1,1],[0,6,6,6,6],0))

إذا أردنا داخل المثال أن تكون معاملات مربعات المتبقيين 1 و2، نختار عوامل الضرب 1 و√2. سجل هذا التحكم المعامل [4.000000000000002]، قريبًا من المرجع 4 ضمن التسامح. لا ندعي أن الجذر الممثل عدديًا أعاد عددًا صحيحًا حرفيًا.

تغيير 2 إلى −2 يقلب إشارة المتبقي الموزون الثاني قبل التربيع، ثم يلغي المربع ذلك الفرق. أعاد التحكم [1,−2] المعامل [4.8]. هذا وصف للتشغيل والهدف هنا؛ لا ننقل معنى وزن سالب في متوسط مباشر إلى هذه الملاءمة.

ضرب الوزنين في 3 يجعل معاملي المربع 9 و36؛ الهدف الجديد 9E(c). العامل الموجب لا يغير موضع الحد الأدنى، وقرأنا [4.8] مجددًا. هذه مراجعة ثانوية، أما السؤال الأساسي فهو تربيع الوزن داخل الكلفة.

لشرح العدد 4 دون نقل أوزان إلى المتوسط نفسه، نكرر الملاحظة ذات y=6 أربع مرات ونبقي y=0 مرة. ملاءمة ثابت غير موزونة لهذه القائمة تقلل c²+4(6−c)²، فتوافق الأصل. متوسطها (0+6+6+6+6)/5=24/5.

هذا تفسير بالأعداد الصحيحة المختارة، وليس أمرًا بتكرار صفوف ملف حقيقي أو ضمانًا أن أوزانًا عامة تساوي أعداد مشاهدات. والملاءمة غير الموزونة للملاحظتين الأصليتين فقط أعادت [3.]، أي المتوسط 3؛ لدينا ثلاث كلف محددة ينبغي تسميتها.

مرجع الفحص وحدوده

مرت 648 مقارنة على 81 حالة ثابتة مؤلفة، بمرجع Fraction مستقل وتسامح معلن. لا نفحص درجات أعلى أو جودة تنبؤ أو اختيار أوزان لقياس واقعي.

اخترنا y الأولى من {0,2,5} والثانية من {−3,6,9}، وكل وزن من {1,2,3}. مع x=[0,1] ودرجة صفر لدينا 3×3×3×3=81 حالة. الأوزان الأصلية موجبة وغير صفرية؛ تغيير إشارة الثاني تحكم مستقل.

ثمانية فحوص لكل حالة: معامل الملاءمة المرجح بمربعات الأوزان؛ تحكم جذور الأوزان مقابل المتوسط المباشر؛ قلب إشارة الوزن الثاني؛ ضرب الجميع في 3؛ ملاءمة غير موزونة بعد التكرار w²؛ الملاءمة غير الموزونة للأصل؛ هوية الكلفة وقيمتها الدنيا؛ ثم شكل الخرج ونوعه وثبات بايتات المدخلات. الإجمالي 81×8=648، ومرت كلها.

للقيم yᵢ والأوزان wᵢ، نعرّف S=Σwᵢ² وc*=Σ(wᵢ²yᵢ)/S. حسبناهما بكسور دقيقة، ثم تحققنا جبريًا من E(t)=E(c*)+S(t−c*)² عند t من {−4,0,4,8}. وبما أن S موجب، يثبت التوسع العام موضع الحد الأدنى لهذا النموذج الثابت.

حسب المرجع أيضًا المتوسط المباشر Σ(wᵢyᵢ)/Σwᵢ، والمتوسط غير المرجح، والكلفة بجمع المربعات يدويًا. لا يستدعي حساب المرجع polyfit أو lstsq أو polyval أو polyvander؛ تشغيلات التحكم ليست المصدر الوحيد للجواب المتوقع.

قورنت المعاملات بتسامح مطلق 10⁻¹² ونسبي صفر، وقيمة الكلفة بتسامح مطلق 10⁻¹⁰. كانت المصفوفات الناتجة من float64 بشكل (1,)، وبقيت بايتات x وy وw الأصلية كما هي. لم نفحص مشاركة الذاكرة أو زمن التنفيذ.

لم نفحص أوزانًا صفرية أو مفقودات أو درجات أعلى أو مدخلات مركبة ومتعددة الأعمدة أو rcond وتشخيصات الرتبة أو الضجيج وعدم اليقين والتكييف والأداء. اختيار أوزان لقياس واقعي يحتاج معناه؛ نتائجنا تفحص الفرق بين وزن المتبقي ووزن مربعه في الحالات المعلنة.