جمع VaR للمحفظة: لماذا لا تكفي أرقام المراكز؟

ما البيانات اللازمة قبل تجميع المخاطر؟

يشير تقرير مفاهيمي منشور لدى البنك المركزي الأوروبي إلى أن عتبة المحفظة قد تتجاوز مجموع العتبات الفردية. تسمى الخاصية التي تمنع هذا التجاوز عدم تجاوز مجموع المخاطر، ولا تتوافر دائمًا في VaR. لذلك لا يصح افتراض أن جمع رقمين منفصلين يعطينا قياس المحفظة. [1]

لننشئ جدولًا كاملًا لمركزين نسميهما أ وب. لدينا خمس وعشرون حالة ممكنة ليوم واحد، واحتمال كل حالة أربعة بالمئة. تمثل هذه الحالات عالم المثال كله، وليست أيامًا جمعناها من السوق. جميع الأرقام خسائر موجبة أو صفر، بوحدة نقدية افتراضية واحدة، وتمثل أحجام المركزين المعطاة دون أوزان إضافية. يجري جمع خسارتي الصف نفسه للحصول على خسارة المحفظة في تلك الحالة.

تتكرر الخسارتان عشرة للمركز أ وعشرون للمركز ب في إحدى وعشرين حالة. وتبقى أربع حالات منفردة: الأولى خسارتاها مئة وصفر، والثانية صفر ومئة وأربعون، والثالثة ثلاثون وأربعون، والرابعة عشرون وعشرة. يغطي ذلك الحالات الخمس والعشرين، ويبلغ الاحتمال الكلي مئة بالمئة. لا نضيف سيناريو آخر خارج الجدول، ولا نعامل المركزين كأنهما مستقلان؛ اقتران الأرقام محدد في كل صف منذ البداية.

سنستخدم مستوى خمسة وتسعين بالمئة في الحساب كله. ونقصد بالعتبة أصغر خسارة يصل عندها الاحتمال التراكمي إلى ذلك المستوى أو يتجاوزه. كذلك نقيس الخسارة الكاملة، لا فرقها عن متوسط الخسائر. هذه الاتفاقات تمنع التباسًا قد يجعل قارئين يستخرجان رقمين مختلفين من المدخلات نفسها، رغم اتفاقهما على أسماء المقاييس المستخدمة في عنوان المقارنة.

كيف نستخرج العتبتين الفرديتين؟

نبدأ بالمركز أ وحده، مع الاحتفاظ باحتمالات الحالات. تبلغ خسارته صفرًا في حالة واحدة، وعشرة في إحدى وعشرين حالة، وعشرين في حالة، وثلاثين في حالة، ومئة في حالة. بعد ترتيب الخسائر تصاعديًا يصل الاحتمال التراكمي عند عشرة إلى ثمانية وثمانين بالمئة. ويصل عند عشرين إلى اثنين وتسعين بالمئة، ثم عند ثلاثين إلى ستة وتسعين بالمئة. إذن أول خسارة تحقق المستوى المطلوب هي ثلاثون، فتكون هذه عتبة المركز أ.

أما المركز ب فله حالة خسارة صفر، وحالة خسارة عشرة، وإحدى وعشرون حالة خسارة عشرين، وحالة خسارة أربعين، وحالة خسارة مئة وأربعين. يصل الاحتمال التراكمي عند عشرين إلى اثنين وتسعين بالمئة، وعند أربعين إلى ستة وتسعين بالمئة. لذلك تبلغ عتبته أربعين. لم نختَر خسارة مئة وأربعين لأنها أكبر رقم؛ فالعتبة تتحدد بالمستوى والاحتمال التراكمي، وليس بترتيب أكبر خسارة وحدها في القائمة.

إذا جمعنا العتبتين نحصل على سبعين. لكن هذا الرقم جاء من توزيعين منفصلين، ولم نحسب بعد توزيع المحفظة. كما أن وصول العتبة الفردية إلى ثلاثين أو أربعين لا يمحو الحالات التي تتجاوزها. يحتفظ المركز أ باحتمال أربعة بالمئة لخسارة مئة، ويحتفظ المركز ب باحتمال مماثل لخسارة مئة وأربعين. لا يوجد في تعريف المثال ما يحول العتبة إلى سقف للخسائر، أو يجعل الرقم وعدًا بما سيحدث غدًا في حساب مستثمر حقيقي.

لماذا تبلغ عتبة المحفظة مئة لا سبعين؟

نعود الآن إلى الصفوف المشتركة قبل إجراء أي ترتيب. الحالات الإحدى والعشرون المتكررة تعطي خسارة محفظة ثلاثين لكل حالة، لأن عشرة مع عشرين تساوي ثلاثين. والحالة التي تجمع مئة مع صفر تعطي مئة. والحالة التي تجمع صفرًا مع مئة وأربعين تعطي مئة وأربعين. أما ثلاثون مع أربعين فتعطي سبعين، وعشرون مع عشرة فتعطي ثلاثين. بهذه الطريقة لا نخلط نتيجة مركز في حالة بنتيجة المركز الآخر في حالة مختلفة.

أصبح توزيع المحفظة بسيطًا: اثنتان وعشرون حالة بخسارة ثلاثين، وحالة بسبعين، وحالة بمئة، وحالة بمئة وأربعين. احتمال الخسارة ثلاثين ثمانية وثمانون بالمئة. ويرتفع الاحتمال التراكمي إلى اثنين وتسعين بالمئة عند سبعين، ثم إلى ستة وتسعين بالمئة عند مئة. وبحسب تعريفنا تكون عتبة المحفظة مئة، لأنها أول قيمة تبلغ المستوى المطلوب. أما سبعون فلا تكفي، رغم مساواتها مجموع العتبتين الفرديتين في الحساب السابق.

لدينا إذن نتيجة عددية واضحة: مئة أكبر من ثلاثين زائد أربعين. ويمكن التحقق منها بإعادة عد الحالات دون أي برنامج مالي. معنى النتيجة محدود ودقيق؛ الجمع المباشر لمقياسي المركزين لم ينتج مقياس المجموع في هذا الجدول. لا نستنتج منها أن كل تجميع يزيد المخاطر، أو أن توزيع الأموال بين مراكز مختلفة عديم الفائدة. المثال ينقض قاعدة حسابية عامة مفترضة، ولا يثبت حكمًا عامًا معاكسًا عن جميع المحافظ أو طرق تنويعها.

كيف نحسب متوسط الذيل مع احتمال على العتبة؟

يسمح تعريف ES بمعالجة التوزيعات المتقطعة بإكمال الاحتمال المطلوب من كتلة العتبة عند الحاجة. وللخسائر الموجبة هنا نحسب متوسط أسوأ خمسة بالمئة من الاحتمال. هذا يختلف عن أخذ كل الخسائر التي تفوق العتبة فقط عندما لا يكفي احتمالها لتكوين الذيل المحدد. [2]

في المحفظة الأولى توجد خسارة مئة وأربعين باحتمال أربعة بالمئة، وهي أسوأ نتيجة. لكنها لا تملأ خمسة بالمئة المطلوبة. نأخذ لذلك نقطة مئوية واحدة من احتمال الخسارة التالية، وهي مئة. حاصل الترجيح يساوي خمسة فاصلة ستة زائد واحد، أي ستة فاصلة ستة. نقسمه على خمسة بالمئة فنحصل على مئة واثنين وثلاثين. أما الاكتفاء بالخسارة التي تتجاوز العتبة مئة فيعطي مئة وأربعين، وهو متوسط مجموعة احتمالية مختلفة عن الذيل الذي حددناه.

نطبق الحساب نفسه على المركزين. للمركز أ نأخذ أربعة بالمئة عند خسارة مئة، ونقطة مئوية عند خسارة ثلاثين؛ النتيجة بعد القسمة على خمسة بالمئة ستة وثمانون. وللمركز ب نأخذ أربعة بالمئة عند مئة وأربعين، ونقطة مئوية عند أربعين، فنحصل على مئة وعشرين. مجموع الرقمين مئتان وستة، بينما متوسط ذيل المحفظة مئة واثنان وثلاثون. جميعها متوسطات ذيل بالمستوى نفسه، وليست متوسطات كل الحالات.

أخذ نقطة مئوية من كتلة احتمالها أربعة بالمئة إجراء ترجيح، ولا يعني أننا قسمنا حادثة واقعية أو شاهدنا ربع يوم. نحن نحدد مساحة احتمالية لحساب متوسطها. ويمكن تنفيذ ذلك بترتيب الخسائر تنازليًا، وإضافة أوزانها حتى يصل المجموع إلى خمسة بالمئة، ثم أخذ الجزء اللازم فقط من الوزن الأخير. تبقى الخسارة عند ذلك الحد كما هي؛ الذي نجزئه هو وزنها في المتوسط.

ماذا يتغير إذا تزامنت الخسارتان الكبيرتان؟

لنغير اقتران المركزين مع الحفاظ على الأرقام الفردية واحتمالاتها. نستبدل الصفين اللذين يحتويان مئة مع صفر وصفرًا مع مئة وأربعين بصفين يحتويان مئة مع مئة وأربعين وصفرًا مع صفر. نترك الحالات الإحدى والعشرين المتكررة والحالتين المتوسطتين كما كانت. تبقى قائمة خسائر أ دون تغيير، وكذلك قائمة ب؛ لم نضف مبلغًا ولم نحذف خسارة من أي مركز. الذي تغير هو وقوع مبلغين معًا داخل الحالة نفسها.

توزيع المحفظة الجديد يحتوي حالة بخسارة صفر، واثنتين وعشرين حالة بخسارة ثلاثين، وحالة بخسارة سبعين، وحالة بخسارة مئتين وأربعين. يبلغ الاحتمال التراكمي عند ثلاثين اثنين وتسعين بالمئة، وعند سبعين ستة وتسعين بالمئة. إذن تنخفض عتبة المحفظة إلى سبعين. لكن متوسط أسوأ خمسة بالمئة يصبح مئتين وستة: نأخذ أربعة بالمئة عند مئتين وأربعين، ونقطة مئوية عند سبعين، ثم نقسم مجموع الترجيحين على خمسة بالمئة.

هذه المقارنة مفيدة لأنها تغير شيئًا محددًا وتثبت البقية. العتبتان الفرديتان ما زالتا ثلاثين وأربعين، ومتوسطا الذيل الفرديان ما زالا ستة وثمانين ومئة وعشرين. ومع ذلك تغيرت عتبة المحفظة ومتوسط ذيلها. كذلك يبقى متوسط خسارتها العام ثمانية وثلاثين فاصلة ثمانية في النموذجين؛ مجموع خسائر المركز أ عبر الحالات ثلاثمئة وستون، وللمركز ب ستمئة وعشرة، ومجموعهما تسعمئة وسبعون مقسومًا على خمس وعشرين. لا يخبرنا ثبات هذا المتوسط بأن شكل الخسائر الكبيرة ثابت.

ما الذي ينبغي الاحتفاظ به عند قراءة النتيجة؟

إذا وصلك جدول يضم اسم كل مركز ورقم VaR فقط، فهذه البيانات لا تعيد بناء مثالنا المشترك. احتجنا إلى معرفة أي مبلغين يجتمعان، واحتمال كل اجتماع، قبل حساب توزيع المجموع. وحتى إضافة متوسط الذيل الفردي لم تحل هذا النقص؛ النموذجان يشتركان في القياسات الفردية المذكورة ويختلفان في قياسات المحفظة. لا يمكن استرجاع معلومات الاقتران المفقودة بمجرد إعادة جمع الأرقام الموجودة في الأعمدة.

احتفظ إذن بالأفق الزمني، ومستوى الاحتمال، ووحدة الخسارة، وأحجام المراكز التي تمثلها الأرقام، وتعريف العتبة وطريقة حساب الذيل. ثم افحص اكتمال الاحتمالات وطريقة الجمع صفًا بصف. وعند مقارنة نموذجين، دوّن ما تغير فعلًا؛ ففي تجربتنا الحسابية تغير الاقتران وحده. لا يجوز وصف ذلك بأنه تحديث لاحتمال خسارة كل مركز، أو تغيير في حجم الاستثمار، لأن المدخلات الفردية ظلت ثابتة تمامًا.

أخيرًا، لا يكفي انخفاض عتبة واحدة لإعلان أن المحفظة أصبحت أقل مخاطرة من كل وجه. في النموذج الثاني انخفضت العتبة وارتفع متوسط الذيل وزادت أكبر خسارة ممكنة. اقرأ هذه النتائج مع الجدول الذي أنتجها، ولا تحول مستوى خمسة وتسعين بالمئة المختار للتوضيح إلى توصية استثمارية أو قاعدة تنظيمية. ولتمييز حجم المراكز من هذه المقاييس يمكنك الرجوع إلى شرح التعرض الإجمالي والصافي. المثال الحالي حساب على احتمالات معطاة، وليس تقديرًا إحصائيًا لسوق أو محفظة فعلية.