فولغا الخيار: كيف يتغير أثر فيغا مع التقلب؟

افصلي فيغا عن معدل تغيرها

يكتب ويستوب فيغا بوصفها مشتقة قيمة الخيار بالنسبة للتقلب، وفولغا، وتسمى أيضًا Vomma، بوصفها المشتقة الثانية للقيمة بالنسبة للتقلب. لذلك يمكن قراءة فولغا كمعدل تغير فيغا مع هذا المدخل، مع تثبيت بقية المدخلات. [1]

سننشئ دالة تعليمية نسميها ألف، وصيغتها المحددة هي A(q) = 6 + 0.2q + 0.015q². الحرف «قاف» مقدار تغير التقلب بالنقاط المئوية عن بداية مقدارها عشرون بالمئة. إذا بقي التقلب عند البداية، كانت قاف صفرًا والقيمة ستة. لم نعط أصلًا أو سعر تنفيذ أو استحقاقًا حتى نسمي هذه الدالة نموذج تسعير عقد فعلي.

المشتقة الأولى لهذه الدالة هي اثنان من عشرة مضافًا إليهما ثلاثة أجزاء من مئة قاف. نسمّيها فيغا الدالة، وتساوي 0.2 عند البداية. ومشتقتها بالنسبة لقاف مرة أخرى ثابتة مقدارها 0.03، وهي فولغا الدالة وفق الوحدة التي اخترناها. وجود فيغا معلومة عند البداية لا يجعلها ثابتة عند كل مستوى آخر؛ الصيغة نفسها تبين كيف تتغير مع قاف.

وعند وصف الوحدات، فيغا مقدار تغير في القيمة لكل نقطة مئوية من التقلب، وفولغا تغير في هذه الحساسية لكل نقطة أخرى. لهذا يدخل مربع الحركة عند الانتقال إلى أثرها في القيمة. في صيغتنا، معامل الحد التربيعي 0.015 يساوي نصف فولغا 0.03. لا نضرب فولغا مباشرة في مربع الحركة دون النصف ثم نتوقع استعادة الدالة التي كتبناها؛ سنكون قد ضاعفنا هذا الحد.

قارني حركة التقلب في الاتجاهين

نرفع التقلب من عشرين إلى اثنتين وعشرين بالمئة، فتكون قاف اثنتين. الأثر الخطي من فيغا البداية 0.2 مضروبة في اثنتين يساوي 0.4. والحد التربيعي نصف 0.03 مضروبًا في مربع الاثنتين، أي 0.06. مجموع الأثرين 0.46، فتنتقل قيمة ألف من ستة إلى 6.46. أما فيغا عند هذه النقطة فتصبح 0.26، وهي مستوى حساسية جديد وليست مقدار الزيادة النقدية نفسه.

وفي بديل مستقل، نخفض التقلب إلى ثماني عشرة بالمئة، فتكون قاف سالب اثنتين. الأثر الخطي سالب 0.4، بينما يبقى الحد التربيعي موجب 0.06 لأن مربع السالب موجب. المحصلة سالب 0.34، والقيمة 5.66. وتصبح فيغا عند هذه النقطة 0.14. لم نجعل الحركة السالبة حالة الارتفاع مع تبديل إشارة كل مكون؛ ذلك سيغير معنى المربع في الصيغة.

إذن الزيادة والنقص لا يتساويان في الحجم المطلق في هذا المثال، رغم تساوي حجم حركتي التقلب. الحد الخطي وحده كان سيعطي قيمتين 6.4 و5.6، وكل منهما أقل من قيمة الدالة الكاملة بمقدار 0.06. سبب الفرق معلوم لأننا حددنا الدالة، فلا نسميه فرق تنفيذ أو تكلفة أو معلومة عن مستوى سيولة لم نضعه أصلًا.

ومتوسط قيمتي 6.46 و5.66 هو 6.06، لا قيمة البداية ستة. هذه نتيجة حساب متوسط الحالتين بوزنين متساويين في تمريننا، وليست توقع عائد سوق. لم نعط احتمال تحقق أي حالة، ولا سببًا يجعل المستقبل محصورًا بين هاتين النقطتين. كذلك لا تعني إشارة فولغا الموجبة وحدها أن القيمة سترتفع عند كل حركة؛ حالة الانخفاض التي حسبناها أعطت نقصًا فعليًا في الدالة.

ومن المفيد فحص حجم الخطوة أيضًا. عند ارتفاع التقلب نقطة واحدة، تضيف فيغا البداية 0.2، ويضيف الحد التربيعي 0.015، فتصبح زيادة ألف 0.215. إذا ضاعفنا هذه الزيادة كاملة للحصول على أثر نقطتين، سنحصل على 0.43، بينما حسبنا من الدالة 0.46. السبب أن مضاعفة الخطوة تضاعف الجزء الخطي فقط، أما مربع الخطوة فيصبح أربعة أمثال قيمته السابقة. لهذا صار الحد التربيعي 0.06 بدل 0.015، والفرق عن الزيادة الكلية المضاعفة 0.03. هذه مقارنة بين حالتين تبدأان من النقطة نفسها، وليست جمع حركتين متتاليتين استعملنا لكل منهما الحساسية الابتدائية القديمة. إذا أردنا وصف حركة ثانية بعد الأولى، نحتاج الحساسية عند بداية الحركة الثانية أو نرجع إلى الدالة كاملة. لا نحافظ على فيغا البداية ثابتة بالاسم ثم ننسب اختلاف النتائج إلى خطأ تقريبي مجهول، مع أن التغير في الحساسية معلوم من الصيغة التي اخترناها.

حوّلي مربع الوحدة مع معامل فولغا

فرق التقلب من عشرين إلى اثنتين وعشرين بالمئة نقطتان مئويتان، ويكتب بالتمثيل العشري 0.02. نعرّف متغيرًا بديلًا هو الفرق العشري، فيصبح عدد النقاط مئة مرة هذا المتغير. إذا كتبنا الدالة بالمتغير الجديد، يتغير المعامل الخطي بعامل مئة، ويتغير المعامل التربيعي بعامل عشرة آلاف لأن المئة نفسها تدخل التربيع.

فتصبح فيغا الابتدائية عشرين لكل وحدة عشرية كاملة، وتصبح فولغا ثلاثمئة لكل مربع وحدة عشرية كاملة. عند حركة 0.02، يعطي الحد الخطي عشرين مضروبة فيها 0.4. ويعطي نصف ثلاثمئة مضروبًا في مربع 0.02 مقدار 0.06 نفسه. لم تزد الحساسية الاقتصادية؛ تغير الرقم الذي يعبر عنها لأن حجم وحدة المدخل تغير، مع بقاء حاصل الحساب متسقًا.

ولو حولنا فولغا بعامل مئة فقط فكتبناها ثلاثة، ثم استعملنا الحركة العشرية، لأصبح الحد التربيعي 0.0006 بدل 0.06. ولو أبقيناها 0.03 تمامًا مع الحركة العشرية، صار 0.000006. كلاهما يخلط المعامل مع وحدة لا تخصه. لا نعالج الفرق بتقريب النتيجة أو زيادة عدد الخانات؛ يجب تصحيح تعريف المعامل قبل إعادة التعويض.

وتفيد كتابة الوحدة كاملة في تقرير المقارنة: قيمة لكل نقطة مئوية، أو قيمة لكل مربع نقطة، أو قيمة لكل مربع وحدة عشرية. علامة النسبة وحدها لا تظهر رتبة المشتقة. لا نستنتج اصطلاح منصة من اسم الحقل أو حجمه العددي، ولم نفحص حقل فولغا في حساب فعلي؛ بنينا تحويلًا محددًا للمتغير الذي عرّفناه.

ميزي فرق القيم المحدود عن المشتقة المحلية

بين قاف صفر واثنتين، فرق قيمة ألف 0.46 مقسومًا على اثنتين يعطي ميلًا محدودًا مقداره 0.23. وبين قاف سالب اثنتين وصفر، فرق القيمة 0.34 مقسومًا على اثنتين يعطي 0.17. لا يساوي أي منهما فيغا البداية 0.2؛ لقد لخص كل ميل حركة عبر مجال، بينما تخص الحساسية المحلية النقطة التي قيمناها عندها.

أما الفرق بين قيمتي الطرفين، 6.46 و5.66، مقسومًا على المسافة أربع نقاط، فيعطي 0.2. وبطرح ضعف قيمة البداية من مجموع قيمتي الطرفين ثم القسمة على مربع الخطوة اثنتين، نحصل على 0.03. يتطابق الحسابان المركزيان هنا مع مشتقتي البداية لأن دالتنا تربيعية بهذه الصيغة، وليس لأن أي جدول بثلاث أسعار سيعطي مشتقات دقيقة تلقائيًا.

ولإظهار الشرط، نضع فرعًا مستقلًا يضيف إلى ألف حدًا تكعيبيًا مقداره 0.001 مضروبًا في مكعب قاف. لا يغير هذا الحد فيغا أو فولغا عند قاف صفر، لكنه يضيف 0.008 عند الطرف الموجب ويطرح 0.008 عند الطرف السالب. تصبح قيمتا الطرفين 6.468 و5.652، ويصير الميل المركزي عبرهما 0.204 بدل 0.2. هذه مقارنة رياضية مؤلفة، لا فحص دقة جهاز أو نموذج سوق.

إلغاء فيغا الابتدائية لا يلغي الحد التربيعي

نضع دالة ثانية مستقلة اسمها باء: B(q) = 8 + 0.2q − 0.005q². فيغا عند البداية 0.2 مثل ألف، لكن فولغا سالب 0.01. لم نحدد عقدًا يطابق هذه المدخلات أو نفترض إمكان تداوله؛ نريد فحص ما يبقى من الفرق الحسابي بين دالتين لهما الميل الابتدائي نفسه والتحدب المختلف.

عند قاف اثنتين، تزيد باء 0.38 إلى 8.38، وعند قاف سالب اثنتين تنقص 0.42 إلى 7.58. إذا طرحنا باء من ألف، أصبح الفرق عند البداية سالب اثنتين، وفيغاه الابتدائية صفرًا. لكن فولغا الفرق تساوي 0.03 ناقص سالب 0.01، أي 0.04. صيغته المبسطة سالب اثنتين مضافًا إليهما 0.02 مربع قاف.

لذلك يرتفع الفرق عن مستواه الابتدائي بمقدار 0.08 عند قاف اثنتين أو سالب اثنتين، رغم انعدام فيغا عند البداية. لا نسمي هذه الزيادة نسبة عائد إلى سعر خيار، لأن سالب اثنتين هو فرق قيمتين اخترناهما، وليس سعر خيار مشترى أو رأس مال حساب. كما لا نستنتج وجود تحوط فعلي أو ربح قابل للتحصيل من عملية طرح دالتين.

فالعبارة الدقيقة هي أن الأثر الخطي الابتدائي بالنسبة لهذا المدخل ألغي في الفرق المؤلف. لم يلغ الحد التربيعي، ولم نفحص تغير المدخلات الأخرى أو السيولة أو التوقيت. تسمية ما ألغي أضيق وأوضح من القول إن المخاطر اختفت كلها، خصوصًا عندما يظل الحد المتبقي ظاهرًا في الصيغة وقابلًا للحساب.

احتفظي بنطاق المثال عند قراءة النتيجة

كل نتيجة كاملة عرضناها أعلاه هي قيمة دالة اخترناها، وليست إعادة تسعير لعقد حقيقي. والتطابق بين الحدين الخطي والتربيعي ودالة ألف لا يثبت أن التقريب نفسه يطابق كل دالة عبر حركة كبيرة. الفرع التكعيبي أوضح كيف يمكن أن يبقى الميل والتحدب الابتدائيان نفسيهما بينما يختلف التغير المحدود بسبب حد إضافي.

قبل استخدام رقم فولغا، حددي ما إذا كان يخص وحدة تسعير أو مركزًا، وبأي عملة وأي تعريف للتقلب، وعند أي نقطة قيمت الحساسية. في تمريننا بقية المدخلات ثابتة بحكم البناء. لا ننقل هذا الثبات إلى السوق أو نقرر من جدول حساسية وحده أن وقتًا أو سعر أصل أو عاملًا آخر لم يتغير بين مشاهدتين.

ولا نخلط تغير القيمة المفترض مع حركة نقدية نفذت. لم نضع سعر دخول أو خروج أو رسومًا أو عقودًا أو حساب تمويل. الغرض أن نفهم لماذا تتغير فيغا، وكيف يظهر نصف فولغا في مربع الحركة، ولماذا يحتاج تغيير وحدة التقلب معاملًا مربعًا مناسبًا. بهذه الحدود يبقى الناتج تفسيرًا محددًا للمشتقة الثانية، دون تحويله إلى وعد بأداء صفقة أو اتجاه تقلب مقبل.