logspace: هل البداية والنهاية قيم أم أسس؟

اقرأ الأس قبل القيمة

تعطي logspace قيمًا متساوية التباعد على المقياس اللوغاريتمي. للقاعدة العددية، طرفا القيم هما قوتا القاعدة بالأسين المحددين، مع إدراج النهاية. [1]

نؤلف طلبًا بالقاعدة 3: start=−1 وstop=2 وnum=4 وendpoint=True. نقرأ −1 و2 بوصفهما أسين. لا ننتظر أن تكون القيمة الأولى −1 أو الأخيرة 2؛ نحسب 3^(−1)=1/3 و3^2=9.

نكتب القوائم من اليسار إلى اليمين. هذه أعداد تعليمية بلا وحدة، وليست مشاهدات أو مخرجات تنفيذ مكتبة. هدف الحساب معرفة ما طلبناه قبل مقارنة أي مخرجات فعلية.

احسب النسبة من خطوة الأس

بين أربعة أسس شاملة للطرفين ثلاثة فواصل. خطوة الأس في طلبنا (2−(−1))/(4−1)=1. نبدأ عند −1 ونضيف 1 ثلاث مرات، فنكتب [−1,0,1,2]. رفع 3 إلى هذه الأسس يعطي [1/3,1,3,9].

نقسم كل قيمة على السابقة: 1/(1/3)=3، ثم 3/1=3، ثم 9/3=3. أما الطرح فيعطي 2/3 ثم 2 ثم 6. ثبات النسبة هنا لا يعني ثبات الفرق.

لنفحص سبب النسبة، نكتب في نموذجنا v_i=3^(−1+i). عند الانتقال إلى الأس التالي نضرب في 3، لأن خطوة الأس 1. القيم تعيد هذا الضرب نفسه في كل انتقال.

لكن القاعدة 3 لا تفرض وحدها نسبة 3. نؤلف طلبًا ثانيًا بالأسين 1 و9 وثلاث قيم شاملة: خطوة الأس (9−1)/(3−1)=4. الأسس [1,5,9] والقيم [3,243,19683]، والنسبة 243/3=19683/243=81=3^4.

في نموذجنا، b هي القاعدة وs هو الأس الأول وh خطوة الأس الصحيحة وi رقم الموضع بدءًا من صفر. عندها القيم v_i=b^(s+i*h) تحقق v_(i+1)/v_i=b^h. هذه مساواة حسابية للأعداد التي اخترناها؛ يجب تسجيل الخطوة مع القاعدة لتفسير النسبة.

اختر الأسين للطرفين المطلوبين

نغير السؤال: نريد ثلاث قيم بين 1 و9، مع قاعدة 3 وإدراج الطرفين. نبحث عن الأسين اللذين ينتجان هاتين القيمتين. بما أن 3^0=1 و3^2=9، نختار start=0 وstop=2.

خطوة الأس (2−0)/(3−1)=1، فتكون الأسس [0,1,2] والقيم [1,3,9]. القيمة الوسطى 3، والنسبتان 3 و3؛ تحققنا من الطرفين ومن طريقة الانتقال بينهما.

نقابل هذا الطلب بإدخال القيم المطلوبة نفسها مكان الأسين: start=1 وstop=9. حسبنا في القسم السابق أن القيم تصبح [3,243,19683]. لم يعد الطرف الأول 1 أو الأخير 9؛ بقيت القاعدة والعدد واختيار النهاية كما هي، لكننا وضعنا القيمتين المطلوبتين مكان الأسين.

قد تبدو القائمة الثانية هندسية بالفعل، لكن ذلك لا يكفي لقبولها جوابًا عن طلب الطرفين 1 و9. نراجع في بطاقة الطلب الأس الأول والأس الأخير والقاعدة والعدد والقيمتين الناتجتين، ثم نطابقها مع ما أردناه.

التمييز قابل للاختبار قبل التشغيل: هل 3^start يساوي الطرف الأول المطلوب؟ وهل 3^stop يساوي الطرف الأخير؟ في الطلب الصحيح نعم، وفي الطلب الحرفي لا. التحقق من النسبة يأتي بعد التحقق من معنى الطرفين.

راجع الاتجاه وحدود النموذج

نحتفظ بالأسس [−1,0,1,2] ونستبدل القاعدة 3 بالقاعدة 1/3. تصبح القيم [3,1,1/3,1/9]؛ تزداد الأسس وتتراجع القيم، والنسبة في كل انتقال 1/3. لذلك لا نستنتج اتجاه القيم من اتجاه الأسس وحده.

في النموذج المستقل أخذنا أربع قواعد: 2 و3 و1/2 و1/3، وطرفي الأسس من −3 إلى 3، والأعداد من 2 إلى 5. أبقينا الحالات التي تكون فيها خطوة الأس عددًا صحيحًا، وشملنا الطرفين المتساويين؛ عدد الحالات 416.

لكل حالة ستة فحوص: مقارنة القوى بضرب النسبة المتكرر، والعدد وطرفي الأسس، وطرفي القيم، وثبات النسبة، وعكس الترتيب عند عكس الطرفين، واتجاه القيم أو تساويها. ومع سبعة فحوص مباشرة أصبح الإجمالي 416×6+7=2503، وجميعها مرت.

عند تساوي أسّي الطرفين تكون الخطوة صفرًا والنسبة 1 في نموذجنا، وتبقى القيم متساوية. هذا يفسر حالات التساوي التي دخلت الفحص، ولا يوسع النطاق إلى قواعد أو أعداد قيم لم نختبرها.

الحساب بكسور دقيقة وقوى صحيحة. لم نشغل logspace أو NumPy، ولم نفحص الأسس الكسرية أو التقريب العشري أو استبعاد النهاية أو عددًا أقل من اثنين أو قاعدة غير موجبة أو الأطراف المصفوفية أو axis أو dtype أو الذاكرة والأداء. الأمثلة تثبت حسابها المحدد، ولا تمثل اختبارًا شاملًا للمكتبة.