أقطار المضلع المقعر: هل يشترط أن تبقى داخل الشكل؟

أقطار المضلع المقعر قد تمر خارج الشكل. نرسم خماسيًا مؤلفًا، ثم نفصل عد أزواج الرؤوس عن فحص موضع القطع. [1]

الخلاصة السريعة

لا؛ لخماسينا خمسة أقطار، واثنان فقط يبقيان داخل الشكل بكامل القطعة. [1]

• القطر قطعة مستقيمة تصل رأسين غير متجاورين. لا نعد الضلع، ولا نصل الرأس بنفسه. التعريف يعتمد على طرفي القطعة؛ مرور جزء منها خارج مضلع مقعر لا يلغي كونها قطرًا. [1]
• صل بالترتيب A=(0,0)، B=(6,0)، C=(6,4)، D=(3,1)، E=(0,4)، ثم A. هذا مضلع بسيط مقعر عند D، لا تتقاطع أضلاعه. خذ المحورين بالمقياس نفسه، وحدد المنطقة الداخلية من الحدود قبل تصنيف الأقطار. [2]
• الأزواج غير المتجاورة هي AC، AD، BD، BE، CE. ومن كل رأس قطران؛ نحصل على 5×2، ثم نقسم على اثنين لأن كل قطعة عدت من طرفيها: 5(5−3)/2=5. لا نعد AC وCA قطعتين مختلفتين. [1]
• في مثالنا يبقى AD وBD داخل الشكل، مع طرفيهما على الحدود. أما AC وBE وCE فتمر خارج الشكل: منتصف الأولين (3,2)، ومنتصف الثالث (3,4). عند الإحداثي الأفقي 3 لا يرتفع المضلع فوق D، وارتفاعها 1؛ هذه المنتصفات أعلى منه. [2]
• يمكن إثبات بقاء القطرين كاملين: نقاط AD هي (3t,t)، ونقاط BD هي (6−3t,t)، حيث 0<t<1. الحد العلوي عند هذه المواضع ارتفاعه 4−3t، وهو أكبر من t، والحد السفلي ارتفاعه صفر. إذن كل نقطة بين الطرفين داخل المضلع. [2]
• الصيغة n(n−3)/2 تعد جميع الأقطار، لا القطع التي تبقى داخل الشكل فقط. التقاطع بين قطرين لا يصنع رأسًا جديدًا للمضلع. منتصف خارج الشكل يكفي لنفي بقاء القطعة كلها داخله؛ وجود منتصف داخلي وحده لا يفحص بقية القطعة. [1]

المراجع

1. Math Open Reference: تعريف أقطار المضلع وعدها
2. Math Open Reference: المضلع المقعر وأقطاره

أقطار السداسي المنتظم

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.