أنواع الكسور في الرياضيات وطريقة إجراء العمليات عليها

ما البسط والمقام؟

في الكسر 4/7، البسط 4 والمقام 7. عندما نمثل الكسر بأجزاء من وحدة، يقسم المقام الوحدة إلى سبعة أجزاء متساوية، ويحدد البسط أربعة منها. تساوي الأجزاء ضروري؛ أربعة أجزاء مختلفة الأحجام لا تمثل بالضرورة أربعة أسباع. ^[1]

لا يكون المقام صفراً، لأن القسمة على صفر غير معرفة. لكن البسط قد يكون صفراً؛ فالكسر 0/7 يساوي صفراً. وتوجد أيضاً كسور سالبة، إلا أن أمثلة التصنيف والرسم هنا موجبة أو صفرية كي نبقي مقارنة مقدارها بالواحد واضحة.

الكسر الفعلي وغير الفعلي والعدد الكسري

في الكسر غير الفعلي لا نقصد أن الكسر خاطئ، بل أنه يساوي واحداً أو يزيد عليه. فالعدد 9/7 يساوي 1 2/7؛ نأخذ سبعة أجزاء لتكوين الوحدة، وتبقى جزآن. وتندرج حالة تساوي البسط والمقام هنا ضمن الكسور غير الفعلية، وناتجها واحد. ^[1]

للتحويل من عدد كسري إلى كسر، نضرب العدد الصحيح في المقام ثم نضيف البسط. مثلاً 2 4/7 = (2 × 7 + 4)/7 = 18/7. للتحقق، اقسم 18 على 7: تحصل على وحدتين والباقي 4 أجزاء من سبعة. ^[3]

الكسور المتكافئة والتبسيط

الكسور المتكافئة أسماء مختلفة للمقدار نفسه. فالكسر 8/14 يكافئ 4/7؛ قسمة البسط والمقام على 2 لا تغير النسبة بينهما. وفي الاتجاه الآخر، ضرب البسط والمقام في العدد غير الصفري نفسه ينتج كسراً مكافئاً. ^[2]

يمكن أن يساعد التبسيط قبل العملية أو بعدها. لكن لا نحذف أعداداً من حدود مرتبطة بجمع أو طرح؛ التبسيط يعتمد على عوامل مشتركة تضرب البسط والمقام كاملين. اكتب خطوة القسمة بوضوح إلى أن تصبح الفكرة مألوفة.

الجمع والطرح والضرب

في الجمع والطرح نحتاج إلى مقام مشترك ليعبر كل كسر عن أجزاء بالحجم نفسه. فـ 2/9 + 5/12 = 8/36 + 15/36 = 23/36. وفي مثال الطرح 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12. لا نجمع المقامين أو نطرحهما.

أما في الضرب فنضرب البسطين والمقامين: 4/9 × 3/8 = 12/72 = 1/6. ليست هناك حاجة إلى توحيد المقامات لهذا الضرب. ويمكن فهمه بصرياً باعتباره اختيار أربعة أتساع من منطقة، ثم أخذ ثلاثة أثمان هذه الأجزاء. يبين الرسم أن مساحة التقاطع تساوي اثني عشر جزءاً من اثنين وسبعين. ^[2]

قسمة الكسور والكسر المركب

قسمة كسر على كسر غير صفري تعادل ضرب الأول في مقلوب الثاني. في المثال 5/6 ÷ 5/12، نسأل: كم جزءاً بحجم خمسة أجزاء من اثني عشر يحتويه مقدار خمسة أسداس؟ لأن 5/6 = 10/12، فالجواب اثنان. والحساب يعطي أيضاً (5/6) × (12/5) = 2. ^[2]

قد يختلف استخدام عبارة الكسر المركب بين الكتب العربية. لرفع اللبس، نقصد هنا كسراً يحتوي بسطه أو مقامه كسراً آخر، مثل (5/8)/(3/4). نحوله إلى عملية قسمة فنجد (5/8) × (4/3) = 5/6. وهو مختلف عن مجرد كون البسط أكبر من المقام. ^[3]

لا يمكن قلب الصفر ثم متابعة القسمة عليه. وعند وجود عدد كسري في عملية ضرب أو قسمة، حوّله أولاً إلى كسر غير فعلي مع إبقاء المقام الصحيح. بهذه الخطوة تصبح العمليات متجانسة ويسهل فحصها.