كيف نميّز التغير الطردي من علاقات أخرى؟ نقارن المعادلة والرسم ونسب القيم، ثم نراجع مثالًا حسابيًا مع شروطه.
الخلاصة السريعة
التغير الطردي علاقة على صورة y=kx، حيث k ثابت غير صفري؛ فتكون النسبة y/x ثابتة عندما لا تساوي x صفرًا. [1]
- يمكن إيجاد k بقسمة قيمة y على قيمة x غير الصفرية، ثم اختبار العلاقة في القيم الأخرى. [1]
- الرسم الكامل لـ y=kx خط مستقيم يمر بالأصل؛ مجرد زيادة المتغيرين لا تكفي. [1]
- في مثال أصلي، إذا كانت x=4 و y=7، فالثابت 1.75؛ وعند x=10 تصبح y=17.5.
- الثابت السالب يعطي علاقة طردية أيضًا؛ مثالها y=-2x، رغم تناقص y عند زيادة x.
- المساحة A=πr² تتناسب مع مربع نصف القطر؛ مضاعفة r تجعلها أربعة أمثالها، وليست تناسبًا مع r نفسها.
من العلاقة إلى ثابت التناسب
نقصد هنا تناسب y مع x نفسها، لا مع قوة منها. تكتب العلاقة y=kx، ويحدد k مقدار التناسب وإشارته. أما كتابة k=y/x فتحتاج x≠0؛ المعادلة الأصلية تعطي y=0 عند x=0. [1]
لنختَر مثالًا أصليًا: الزوج (4,7) يعطينا k=7/4=1.75. إذا كان النموذج المفترض هو التناسب الطردي، نستنتج الأزواج (8,14) و (10,17.5). ضاعفت x من 4 إلى 8 فتضاعفت y من 7 إلى 14؛ وهو أثر الثابت نفسه.
لكن زوجًا واحدًا لا يثبت قانونًا عامًا. يمكن رسم منحنيات كثيرة تمر بالنقطة نفسها. نستخدم المعلومات عن العلاقة، ثم نفحص القيم المتاحة؛ لا نحول توافق جدول صغير إلى ضمان لكل قيمة مستقبلية.
زيادة القيم ليست دليلًا على التناسب
في الرسم، يمر الخط y=kx بنقطة (0,0) إذا شمل المجال الصفر؛ وإذا قُيّد المجال، يقع الجزء المرسوم على خط امتداده يمر بالأصل. [1]
قارن أمثلة أصلية عند x=1,2,3: في y=2x تكون y هي 2 و 4 و 6، ونسبتها إلى x تساوي 2 دائمًا. في y=2x+3 تصبح 5 و 7 و 9، فتكون النسب 5 و 3.5 و 3. وفي y=x² تصبح 1 و 4 و 9، وتكون النسب 1 و 2 و 3. تزداد القيم في العلاقات الثلاث، لكن الأولى وحدها تناسب مع x.
كما أن y=-2x تحقق النسبة الثابتة سالب 2 لكل x غير صفرية. تعطي x=1,2,3 قيمًا سالب 2 وسالب 4 وسالب 6. لهذا لا نعتمد معنى «يزيدان معًا» تعريفًا للعلاقة.
اختبار العبارة قبل استعمالها
اسأل: ما المتغير الذي تتناسب معه النتيجة؟ في المثال الحسابي A=πr²، تغيير r من 2 إلى 4 ينقل A من 4π إلى 16π. النسبة A/r تغيرت من 2π إلى 4π، بينما بقيت A/r²=π. التناسب هنا مع مربع r.
وإذا افترضنا سعرًا ثابتًا للوحدة دون رسوم إضافية، كان المبلغ مساويًا للسعر مضروبًا في العدد. أما إضافة رسم ثابت فتعطي علاقة من نوع y=kx+b. اكتب الفرض أولًا؛ عنوان مثل «الخبرة والراتب» لا يضمن وحده سعرًا ثابتًا لكل سنة خبرة.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.