الزاوية الحرجة: شرط وجودها وحسابها ومقارنة زاوية السقوط

الخلاصة السريعة

الزاوية الحرجة زاوية سقوط تجعل زاوية الانكسار 90 درجة؛ توجد لانتقال من معامل n₁ أكبر إلى n₂ أصغر، وتقاس من العمود. ^[1]

• نحسبها من θc = arcsin(n₂/n₁) عندما n₁ > n₂؛ أما الانعكاس الكلي الداخلي فيتطلب سقوطًا أكبر من θc. ^[1]
• لوسطَي المثال n₁ = 1.50 و n₂ = 1.00، تكون θc ≈ 41.8103°؛ هذه قيم مفترضة للمعاملين.
• عند سقوط 30 درجة في المثال ينكسر الشعاع بزاوية نحو 48.5904 درجة؛ عند θc تصبح زاوية الانكسار 90 درجة، وعند سقوط 60 درجة يحدث انعكاس كلي. ^[1]
• عكس الانتقال إلى n₁ = 1.00 و n₂ = 1.50 يعطي نسبة 1.50؛ لا ينتج منها حد حقيقي أقل من 90 درجة.
• مع تثبيت n₁ = 1.50، تعطي نسب n₂/n₁ = 0.50 و⅔ و 0.80 حدودًا 30 و 41.8103 و 53.1301 درجة؛ الزوايا من العمود.

تحقق من المعاملين أولًا

نحسبها من θc = arcsin(n₂/n₁) عندما n₁ > n₂؛ أما الانعكاس الكلي الداخلي فيتطلب سقوطًا أكبر من θc. ^[1]

نكتب معامل الوسط الذي يأتي منه الضوء في المقام، ومعامل الوسط التالي في البسط. إذا كانت النسبة أكبر من 1، فلا نعالجها كزاوية حرجة حقيقية ثم نكمل الحساب.

في المثال نختار 1.50 و 1.00، فتكون النسبة 1.00 / 1.50 = 2/3. أما عند عكس الاتجاه فتصبح 1.50 / 1.00 = 1.50؛ تغيير الاتجاه يغير صلاحية الشرط، لا الاسم الذي نضعه على الشعاع.

مثال الحساب من المعاملين

نحسب θc = arcsin(2/3) ≈ 41.8103°. وعند استعمال الحاسبة نضبط إخراج الزاوية بالدرجات إذا كانت المقارنة التالية بالدرجات.

نراجع الناتج: sin 41.8103° ≈ 0.666667، قريب من النسبة التي بدأنا بها. إدخال 1.50 بدل ⅔ لا يعد تبديلًا بسيطًا؛ إنه يقلب الكسر ويغير المسألة.

أقل من الحد وعنده وأكبر منه

قبل الحد يبقى شعاع منكسر؛ وعند الحد يسير هذا الشعاع بمحاذاة السطح، وبعده يحدث الانعكاس الكلي في نموذج الوسطين. ^[1]

نختار سقوطًا 30 درجة: sin θ₂ = 1.50 × sin30° = 0.75، فيكون θ₂ ≈ 48.5904°. عند الحد المدروس تصبح النسبة 1، فتبلغ زاوية الانكسار 90 درجة.

أما عند سقوط 60 درجة، فيعطي طلب الشعاع المنكسر 1.50 × sin60° ≈ 1.29904، أكبر من 1. لا توجد زاوية حقيقية تحقق هذا الجيب؛ لذلك نصنف الحالة انعكاسًا كليًا.

المقصود في المقارنة زاوية من العمود؛ زاوية 41.8103 درجة من العمود تكمل زاوية 48.1897 درجة مع السطح نفسه. لا نقارن زاوية مقاسة من السطح بحد مقاس من العمود.

ماذا لو تغير الوسط الثاني؟

نبقي n₁ = 1.50، ثم نقارن قيم n₂ المختارة 0.75 و 1.00 و 1.20. نسبها إلى n₁ هي 0.50 و⅔ و 0.80، وحدودها من دالة arcsin هي 30 و 41.8103 و 53.1301 درجة على الترتيب.

يضع الرسم كل نسبة على المحور الأفقي وحدها على الرأسي. زيادة النسبة في الحالات الثلاث رفعت الحد؛ فلا نحتفظ بزاوية 41.8103 درجة إذا غيرنا أحد المعاملين.