الفرق بين السرعة المتوسطة والسرعة المتجهة المتوسطة بأمثلة

كميتان من الزمن نفسه

نكتب مقدار السرعة المتوسطة s_avg=D/Δt، حيث D المسافة الكلية المقطوعة. أما السرعة المتجهة المتوسطة فتعطى في بعد واحد بـ v_avg=(x_f−x_i)/Δt؛ وفي أبعاد أكثر نستخدم متجه الإزاحة. يشترط أن تكون المدة موجبة. ^[1][2]

المسافة مقدار غير سالب يتبع طول المسار، بينما الإزاحة تقارن نقطة النهاية بنقطة البداية ولها اتجاه. قد تكون السرعة المتجهة سالبة في محور اخترنا اتجاهه الموجب، لكن مقدار السرعة لا يصبح سالبًا. نعطي لكل منهما وحدة مسافة/زمن مناسبة. ^[1]

عبارة «متوسط السرعة» وحدها قد تستعمل بمعان مختلفة في حديث عام أو في عناوين تعليمية. الأفضل تحديد هل تقصد Average speed أم Average velocity، وهل الحساب للرحلة كلها أم للوقت الذي كان الجسم يتحرك فيه فقط.

رحلة ذهاب ورجوع ثم توقف

بدأ جسم عند الموضع صفر على محور اتجاهه الموجب إلى اليمين. وصل إلى x=150 م في 50 ث، ثم عاد إلى x=60 م في 30 ث، وتوقف هناك 20 ث. زمن الرحلة كلها 50+30+20=100 s.

المسافة المقطوعة 150+90=240 m، لأن العودة طولها 90 م. أما الإزاحة 60−0=+60 m. لذلك مقدار السرعة المتوسطة 240/100=2.4 m/s، والسرعة المتجهة المتوسطة 60/100=+0.6 m/s، أي نحو اليمين. ^[1][2]

التوقف لا يضيف مسافة ولا إزاحة، لكنه يضيف زمنًا إذا كان السؤال عن الرحلة كاملة. ولو حسبنا وقت الحركة فقط في المثال فمدته 80 ث، ولحصلنا على مقدار متوسط مختلف هو 3 م/ث. نذكر الفترة المختارة بدل حذف التوقف من غير بيان.

ماذا يقول رسم الموضع والزمن؟

في الرسم الداخلي نمثل الموضع مقابل الزمن. أثناء الذهاب يرتفع الموضع من 0 إلى 150 م، ثم ينخفض إلى 60 م أثناء العودة، وأخيرًا يبقى ثابتًا خلال التوقف. الميل الموقّع لكل مقطع يعبر عن السرعة المتجهة في النموذج الخطي المبسط. ^[2]

أما القاطع الواصل بين بداية الرحلة ونهايتها فميله Δx/Δt=60/100=0.6 m/s، أي السرعة المتجهة المتوسطة للمدة كلها. لا نستخرج مقدار السرعة المتوسطة من ميل هذا القاطع إذا تضمن المسار رجوعًا؛ نحتاج مجموع أطوال الحركة.

للتبسيط نفترض سرعة ثابتة في كل مقطع، فتظهر زوايا عند تغير الاتجاه أو بدء التوقف. الرسم يشرح حساب المتوسط، ولا يمثل التفاصيل الفعلية لمرحلة الكبح أو الانعطاف أو تسارع غير محدود عند اللحظات الفاصلة.

لماذا لا نجمع سرعتين ونقسم على اثنين دائمًا؟

قطع مسافر 60 كم بسرعة 40 كم/ساعة، ثم 60 كم بسرعة 60 كم/ساعة. الزمن الأول 60/40=1.5 h، والثاني ساعة، فيكون متوسط مقدار السرعة 120/2.5=48 km/h. المتوسط العددي 50 ليس متوسط هذه الرحلة. ^[1]

إذا كانت الفترتان متساويتين في الزمن، ساعة بسرعة 40 ثم ساعة بسرعة 60 كم/ساعة، تصبح المسافة 100 كم والزمن ساعتين، فيساوي المتوسط 50 كم/ساعة. تساوي الأزمنة هو الذي أعطى كل قراءة الوزن نفسه هنا؛ تساوي المسافات لا يعطي ذلك.

القانون العام لمقاطع بسرعة ثابتة هو s_avg=(Σv_i t_i)/(Σt_i)، حيث v_i مقادير غير سالبة. نستخرج هذه الصيغة من جمع المسافات والأزمنة، ولا نستعملها كجمع لسرعات متجهة عند تغير الاتجاه. وإذا كانت السرعة تتغير داخل المقطع، نحتاج مسافته الفعلية أو وصف حركته.

العودة إلى البداية والحركة في بعدين

إذا عاد الجسم إلى موضع البداية خلال مدة موجبة، تكون الإزاحة صفرًا والسرعة المتجهة المتوسطة صفرًا. أما مقدار السرعة المتوسطة فيبقى موجبًا إذا تحرك وقطع مسافة غير صفرية. الصفر هنا لا يثبت أنه كان ساكنًا طوال الرحلة. ^[1][2]

في مثال ثنائي الأبعاد، حركة 3 م شرقًا ثم 4 م شمالًا خلال 10 ث تعطي مسافة 7 م ومقدار سرعة متوسطة 0.7 م/ث. الإزاحة (3,4) m مقدارها 5 م، فتكون السرعة المتجهة المتوسطة (0.3,0.4) m/s ومقدارها 0.5 م/ث. ^[3]

عمومًا مقدار الإزاحة لا يتجاوز المسافة المقطوعة، ولذلك |v_avg|≤s_avg للفترة نفسها. تتساوى القيمتان عندما يكون المسار في اتجاه واحد دون رجوع أو انحراف يضيف طولًا إلى المسافة. ^[1][3]

طريقة تمنع الخلط

• اكتب نقطتي البداية والنهاية لاستخراج الإزاحة.
• اجمع أطوال جميع المقاطع لاستخراج المسافة، بما فيها الرجوع.
• اجمع الزمن للفترة المطلوبة، مع التوقف إذا كان داخلها.
• اكتب الاتجاه للسرعة المتجهة، وافصل بينها وبين مقدار السرعة.

إذا بدت إجابة مقدار السرعة المتوسطة أصغر من مقدار السرعة المتجهة للفترة نفسها، فراجع المسافات أو الزمن أو الوحدات؛ هذه المقارنة تكشف خطأ شائعًا قبل الحاجة إلى حساب جديد.