القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد صحيحة موجبة هو أكبر عدد يقسمها جميعًا دون باقٍ. ويمكن حسابه بدمج قاسم أول عددين مع العدد الثالث.[1][3]
الخلاصة السريعة
القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد صحيحة موجبة هو أكبر عدد يقسمها جميعًا دون باقٍ. ويمكن حسابه بدمج قاسم أول عددين مع العدد الثالث.[1][3]
- في التحليل الأولي، نأخذ أقل أس لكل عامل موجود في الأعداد الثلاثة.[1]
- في طريقة إقليدس، نكرر القسمة على الباقي حتى يصبح صفرًا؛ وآخر باقٍ غير صفري هو القاسم المطلوب للعددين.[2]
- في مثالنا للأعداد 84 و 126 و 198، القاسم المشترك الأكبر هو 6.
- كون العدد يقسم القيم الثلاث لا يثبت وحده أنه الأكبر؛ طريقة الحساب تحدد الأكبر.[1]
- يمكن إجراء الحساب على مرحلتين: gcd(gcd(a,b),c).[3]
إيجاد القاسم بالتحليل إلى عوامل أولية
نجمع العوامل الأولية المشتركة مع أصغر أس يظهر لكل منها. والعامل الغائب عن أي عدد لا يدخل حاصل الضرب.[1]
| العدد | التحليل الأولي |
|---|---|
| 84 | 2² × 3 × 7 |
| 126 | 2 × 3² × 7 |
| 198 | 2 × 3² × 11 |
في هذا المثال، يوجد العاملان 2 و 3 في الصفوف الثلاثة، وأقل أس لكل منهما هو 1. العامل 7 غائب عن 198، والعامل 11 غائب عن العددين الآخرين. إذن: 2 × 3 = 6.
التقاء عامل واحد لا يعني أن نختاره وحده؛ نضرب العوامل المختارة كلها. الاكتفاء بالعدد 3 في مثالنا يفوّت العامل 2 ويعطي قاسمًا مشتركًا أصغر من المطلوب.
إيجاد القاسم بالقسمة المتتابعة
القواسم المشتركة للعددين هي نفسها للزوج المؤلف من القاسم والباقي؛ لذلك نواصل القسمة دون تغيير القاسم المشترك الأكبر.[2]
نبدأ بالعددين 126 و 84: 126 = 84 × 1 + 42، ثم 84 = 42 × 2 + 0. قاسمهما الأكبر 42. ندمج النتيجة مع 198، كما يأتي:
| خطوة المثال | المساواة |
|---|---|
| 1 | 198 = 42 × 4 + 30 |
| 2 | 42 = 30 × 1 + 12 |
| 3 | 30 = 12 × 2 + 6 |
| 4 | 12 = 6 × 2 + 0 |
ينتهي المثال بالباقي غير الصفري 6، فتتفق النتيجة مع جدول التحليل. هذه الطريقة لا تتطلب كتابة التحليل الأولي للأعداد.
التحقق من قاسم ثلاثة أعداد
تسمح خاصية التجميع بحساب قاسم عددين أولًا، ثم حساب القاسم المشترك بين نتيجتهما والعدد الثالث.[3]
نختبر العدد 6 مباشرة: 84 ÷ 6 = 14، و 126 ÷ 6 = 21، و 198 ÷ 6 = 33. جميع النتائج أعداد صحيحة.
إذا كان القاسم المشترك الأكبر للعددين الأولين 42، فكل قاسم مشترك للثلاثة يجب أن يقسم 42 و 198. وقد أعطى الحساب المتتابع قاسمهما الأكبر 6، لذلك لا يمكن لقاسم أكبر أن يقسم الثلاثة.
العدد 6 في مثالنا قاسم مشترك أكبر مركب، بينما 2 و3 عاملان أوليان يدخلان في تكوينه. لذلك نميّز حاصل الضرب المطلوب من العوامل التي استخدمناها للوصول إليه.
للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: المضاعفات والقواسم: الفرق بينهما وكيف تجد كلًا منهما.
المصادر ومتابعة القراءة
- Wolfram MathWorld: القاسم المشترك الأكبر (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
- Wolfram MathWorld: خوارزمية إقليدس (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
- Mount Royal University: القاسم والمضاعف المشترك (يفتح في نافذة جديدة)math.libretexts.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.