حساب المسافة بين نقطة ومستقيم: القانون وقدم العمود

الخلاصة السريعة

المسافة بين نقطة ومستقيم هي طول أقصر قطعة تصل بينهما؛ تكون عمودية على المستقيم. حساب قدم العمود يتيح التحقق من الطرف الأقرب. ^[1]

• للمستقيم Ax + By + C = 0: d = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)، مع A² + B² > 0. ^[2]
• في المثال P(4,5) والمستقيم 3x + 4y − 7 = 0، نحصل على d = 25/5 = 5 وحدات.
• قدم العمود في المثال F(1,1): تقع على الخط، والمتجه PF عمودي على اتجاهه.
• ضرب معادلة المثال في 2 يعطي 6x + 8y − 14 = 0، والمسافة نفسها 50/10 = 5.
• عن الخط الرأسي x = −2، تبعد النقطة نفسها 6 وحدات وقدمها (−2,5). المسافة صفر إذا وقعت النقطة على الخط.

من معادلة الخط إلى قانون المسافة

اتجاه المستقيم (B,−A) عمودي على (A,B)، لأن ضربهما القياسي صفر. ^[2]

بإسقاط فرق الموضع على (A,B) نحصل على قانون المسافة. يشترط A² + B² > 0؛ والقيمة المطلقة تعطي طولًا غير سالب. ^[2]

قبل التعويض، اجمع الحدود في جهة واحدة. إذا كتبت 3x + 4y = 7، فالقيمة C بعد النقل هي −7، لا +7. احتفظ بالإشارات داخل الجمع قبل أخذ القيمة المطلقة.

مثال أصلي والتحقق من قدم العمود

نختار P(4,5) والخط 3x + 4y − 7 = 0. البسط |3×4 + 4×5 − 7| = 25، والمقام √(9 + 16) = 5؛ النتيجة d = 5.

نحسب القدم من الإزاحة على اتجاه n = (A,B): F = P − [(Ax₀ + By₀ + C)/(A² + B²)](A,B). ^[2] في مثالنا عامل الإزاحة 25/25 = 1، فـ F = (4,5) − (3,4) = (1,1).

القدم على الخط لأن 3×1 + 4×1 − 7 = 0. ومتجه F إلى P هو (3,4)، واتجاه الخط (4,−3)؛ الضرب 12 − 12 = 0. وطول القطعة √(3² + 4²) = 5.

نقطة أخرى على الخط Q(5,−2) تحقق 15 − 8 − 7 = 0. لكن PQ = √[(5−4)² + (−2−5)²] = √50 ≈ 7.071؛ أطول من العمود. اختيار نقطة عشوائية لا يعطي أقصر مسافة.

فحص المعادلة المضاعفة والخط الرأسي

نضرب معادلة المثال في 2: 6x + 8y − 14 = 0. عند P نحصل على البسط 50 والمقام √100 = 10؛ المسافة 5 مجددًا. هذا فحص مستقل لاتساق التعويض.

في x = −2 نكتب A = 1 و B = 0 و C = 2. عن P(4,5) يكون d = |4 + 2|/1 = 6؛ قدم العمود (−2,5) لأننا نحتفظ بإحداثي y في هذا المثال.

يجوز أن يكون أحد المعاملين صفرًا؛ لا يجوز أن يكون الاثنان صفرًا. على المستقيم يكون البسط والمسافة صفرًا. ^[2]

القانون يصف مستقيمًا كاملًا في مستوى بإحداثيات ووحدة طول متوافقة. إذا قيد السؤال قطعة من الخط، فراجع موضع القدم وحدود القطعة قبل استعمال النتيجة نفسها.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: مفهوم الهندسة الرياضية: الأشكال والإحداثيات واختيار النموذج.