تقسيم عدد بواسوني: هل يستقل عددا الفئتين؟

تقسيم عدد بواسوني يعطي عددين مستقلين دون شرط المجموع. [1]

الخلاصة السريعة

نعم، دون شرط المجموع. [1]

• N~Pois(λ)؛ 0<λ<∞ متوسط عدد، لا معدل زمني. متتالية الوسوم I_i~Bernoulli(p) مستقلة، 0<p<1، ومستقلة كلها عن N. A=Σ(i=1..N)I_i,B=N−A؛ المجموع الفارغ صفر؛ الأعداد بلا وحدة. [1][2][3]
• بشرط N=n، P(A=a|N=n)=C(n,a)p^a(1−p)^(n−a)؛ n≥0,0≤a≤n صحيحان، وB=n−A. C معامل التوافيق. [3]
• لعددين صحيحين a,b≥0، نضرب P(N=a+b) في الاحتمال المشروط؛ نحصل على P(A=a,B=b)=e^(−λ)(λp)^a(λ(1−p))^b/(a!b!). صفر خارج هذا المجال. [1][2][3]
• الصيغة تتحلل إلى P(A=a)P(B=b)؛ A~Pois(λp),B~Pois(λ(1−p)) مستقلان. المجموع N عشوائي، وإن كان A+B=N. [1][4]
• للمثال المؤلف λ=4,p=1/4، الأزواج (a,b)=(0,0),(1,1),(2,1) لها احتمالات ≈0.018316,0.054947,0.027473 بالترتيب، دون شرط المجموع. [1][2]
• بشرط N=1، يستحيل A=B=0؛ احتماله المشروط صفر. P(A=0|N=1)=1−p,P(B=0|N=1)=p؛ حاصل ضربهما p(1−p)>0، ويساوي 3/16 بالمثال. إذن يزول الاستقلال. [3][4]

المراجع

1. Siegrist: التقسيم
2. Penn State: بواسون
3. Penn State: ذو الحدين
4. Penn State: المشترك

معامل بواسون

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.