تكبير المعادلة الموزونة: ماذا يحدث لقيمة تقدم التفاعل؟

كبر المعاملات مع إبقاء صيغ المواد

تغير قيمة تقدم التفاعل مع تكبير معاملات المعادلة يحتاج إلى فصل طريقة الكتابة من كميات المادة التي نبدأ بها. نختار نموذجًا ستويكيومتريًا لتحول أول أكسيد الكربون والأكسجين إلى ثاني أكسيد الكربون، ونؤلف بداية فيها عشرة مولات من الأول وثلاثة من الأكسجين. نكتب المعادلة مرة بمعاملات اثنين وواحد واثنين، ومرة بمعاملات ستة وثلاثة وستة. سيتغير الرقم الذي نسميه تقدم التفاعل، لكن الناتج المحسوب عند حد استهلاك الأكسجين يبقى ستة مولات في الكتابتين. نراجع الفائض والكتلة، ثم نميز مضاعفة المعادلة من مضاعفة كميات البداية. الأرقام والرسومان حسابيان من إعدادنا، ولا يصفان إجراء تفاعل أو نتيجة تجربة.

تحدد معاملات المعادلة الكيميائية الموزونة النسب العددية للمواد المستهلكة والمنتجة. نحافظ على صيغ المواد عند استعمال هذه النسب، لأن الرقم السفلي في الصيغة يحدد تركيب المادة نفسها. [2]

في الكتابة الأولى مولان من أول أكسيد الكربون يقابلان مولًا من الأكسجين ومولين من ثاني أكسيد الكربون. فحص الذرات في المعادلة يعطي ذرتي كربون في كل طرف وأربع ذرات أكسجين في كل طرف. وعندما نضرب المعاملات الثلاثة في ثلاثة تصير قائمة المعاملات: ستة لأول أكسيد الكربون وثلاثة للأكسجين وستة لثاني أكسيد الكربون. تصبح أعداد الذرات ستة كربون واثني عشر أكسجين في كل طرف.

لم نغير أول أكسيد الكربون إلى مادة تحتوي ست ذرات كربون في الجزيء، ولم نغير الأكسجين الثنائي إلى تركيب آخر. الرقم الذي تضاعف أمام الصيغة يضرب عدد الكيانات أو كمية المادة بالنسبة إلى المعادلة، ولا يعاد به تعريف الجزيء. كذلك لم نزِد كميات البداية في وعاء مفترض بعد؛ ما تغير في هذه الخطوة هو طريقة كتابة علاقة موزونة، لا البيانات التي سنعوض بها في الحساب.

2CO + O₂ → 2CO₂; 6CO + 3O₂ → 6CO₂

حدد بداية التقدم وارتباطه بتغير المادة

يعرف IUPAC تقدم التفاعل بوصفه كمية تصف التغير الكيميائي وفق معادلته، ويربط تغيره بتغير كمية مادة مقسومًا على عددها الستويكيومتري. نختار في الحساب بداية ذات تقدم صفر، ووحدة مقدار المادة هنا المول. [1]

في اصطلاح العدد الستويكيومتري، تُعطى المتفاعلات أعدادًا سالبة والنواتج أعدادًا موجبة؛ نميز هذا العدد الموقع من المعامل الموجب المكتوب أمام صيغة المتفاعل في المعادلة. [4]

نسمي تقدم الكتابة الأولى كسي. في نموذجنا يبدأ أول أكسيد الكربون بعشرة مولات، ثم تصبح كميته عشرة ناقص ضعفي كسي. يبدأ الأكسجين بثلاثة، ثم تصبح كميته ثلاثة ناقص كسي. ويبدأ ثاني أكسيد الكربون بصفر، ثم تصبح كميته ضعفي كسي. اخترنا معاملات موقعة سالبة للمستهلك وموجبة للمنتج في هذا السجل؛ الإشارة تخبرنا هل تغيرت كمية المادة بالنقصان أو الزيادة.

هذه المعادلات تصف كميات عند تقدم محدد، ولا تعطي زمن الوصول إليه أو سرعة التفاعل. كما أن كسي ليس اسمًا لعدد مولات الأكسجين المتبقية؛ في هذا المثال مقدار استهلاك الأكسجين يساويه، بينما المتبقي ثلاثة ناقصه. عند اختيار مادة أخرى للمراجعة نراعي معاملها: مقدار استهلاك أول أكسيد الكربون ضعف كسي، ومقدار إنتاج ثاني أكسيد الكربون ضعفه أيضًا. اسم المادة والعملية جزء من معنى الرقم.

n_CO = 10−2ξ; n_O₂ = 3−ξ; n_CO₂ = 2ξ; ξ₀ = 0

استخرج الحد من الكميات المتاحة

يقيد المتفاعل المحدد كمية الناتج النظري وفق المعادلة وكميات البداية. هذا الحد ستويكيومتري؛ لا يضمن أن يساويه الناتج الفعلي في تجربة قد تكون غير مكتملة أو تحمل تفاعلات أخرى أو فقدًا في جمع المادة. [3]

في سجل الكتابة الأولى يجب ألا تصير كمية أي متفاعل سالبة. شرط أول أكسيد الكربون عشرة ناقص ضعفي كسي غير سالب يضع كسي عند خمسة مولات أو أقل. وشرط الأكسجين ثلاثة ناقص كسي غير سالب يضعه عند ثلاثة أو أقل. الحد المشترك هو الأصغر، أي ثلاثة مولات. لذلك يقيد الأكسجين تقدم النموذج هنا، لا لأن اسمه أو عدد مولاته أصغر دائمًا في أي مسألة، بل لأن هذه المقارنة تخص المعاملين اللذين اعتمدناهما.

عند كسي يساوي ثلاثة يستهلك النموذج ستة مولات من أول أكسيد الكربون وثلاثة من الأكسجين، وينتج ستة مولات من ثاني أكسيد الكربون. يبقى من أول أكسيد الكربون عشرة ناقص ستة، أي أربعة، ويصير الأكسجين صفرًا. نكتب الناتج والفائض تحت أسماء المواد؛ لو وضعنا الثلاثة في خانة الناتج بدل خانة التقدم، فقد خلطنا قيمتين ترتبطان بمعامل المنتج اثنين وليستا متساويتين هنا.

ξ_max = min(10/2,3/1) = min(5,3) = 3 mol; (n_CO,n_O₂,n_CO₂) = (4,0,6) mol

أعد السجل للمعادلة المكبرة

نسمي تقدم الكتابة الثانية إيتا كي لا ننسى أننا غيرنا المعاملات المعتمدة. كميات البداية باقية عشرة وثلاثة وصفرًا، لكن كمية أول أكسيد الكربون تصبح عشرة ناقص ستة في إيتا، والأكسجين ثلاثة ناقص ثلاثة فيه، والناتج ستة في إيتا. نبدأ بإعادة السجل كله، لا بتعديل خانة الناتج وحدها مع الاحتفاظ بعلاقة الاستهلاك القديمة لمادة أخرى في الصف نفسه.

قسمة العشرة على ستة تعطي خمسة على ثلاثة مول من التقدم، وقسمة الثلاثة على ثلاثة تعطي مولًا واحدًا. الأصغر مول واحد، فيكون الأكسجين المحدد نفسه. عند إيتا يساوي واحدًا يستهلك النموذج ستة من أول أكسيد الكربون وثلاثة من الأكسجين، وينتج ستة من ثاني أكسيد الكربون. كمية التقدم تغيرت من ثلاثة إلى واحد، بينما استهلاك المواد والناتج والفائض عادوا إلى القيم نفسها التي وجدناها في الكتابة الأولى.

ولا تعني هذه النتيجة أن التفاعل صار أسرع أو أبطأ ثلاث مرات. لم نقدم زمنًا أصلًا، ولم نغير مواد البداية أو المعادلة من حيث نسبها الكيميائية. الفرق بين قيمتي التقدم يتبع عددًا وضعناه أمام الصيغ في وصف الحساب. لذلك لا تقارن رقمين للتقدم من مصدرين من غير قراءة المعادلة التي عرف كل منهما على أساسها؛ قد تكون كمية المادة المتحولة واحدة رغم اختلاف الرقم الذي يسجل تقدمها.

η_max = min(10/6,3/3) = min(5/3,1) = 1 mol; n_CO₂ = 6η = 6 mol

لماذا يحفظ العامل المعكوس الكميات؟

نريد وصف الحالة نفسها في الكتابتين، ولذلك نساوي مقدار استهلاك أول أكسيد الكربون: ضعفا كسي يساويان ستة أمثال إيتا. بقسمة الطرفين على ستة نجد إيتا يساوي كسي على ثلاثة. ثم نراجع الأكسجين: كسي يساوي ثلاثة أمثال إيتا. والناتج ضعفا كسي يساويان ستة أمثال إيتا أيضًا. علاقة واحدة بالعامل المعكوس أعادت جميع تغيرات المواد، ولم نحتج اختيار تصحيح مستقل لكل صف.

إذا ضربنا معاملات معادلة ما كلها في عامل موجب نرمز له بعامل التكبير، فإن تقدم الحالة نفسها في الكتابة الجديدة يساوي التقدم القديم على ذلك العامل. حاصل ضرب المعامل في التقدم يبقى لأنه يجمع معاملًا أكبر بالعامل نفسه مع تقدم أصغر بالعامل المعكوس. شرط الموجب يحفظ جهة التفاعل التي اخترناها؛ نحن نكبر الكتابة، ولا نقلب المتفاعلات نواتج بإشارة سالبة أو نناقش هنا تقدم تفاعل معاكس.

وتبقى نسب تحويل المواد ثابتة أيضًا. نسبة مولات ثاني أكسيد الكربون المنتجة إلى الأكسجين المستهلك اثنان على واحد في الأولى، وستة على ثلاثة في الثانية؛ هما النسبة نفسها. ونسبة المنتج إلى أول أكسيد الكربون المستهلك واحد في الكتابتين. لذلك يمكن إجراء الحساب بالنسب مباشرة من المعادلة أو بالسجل الذي يستعمل التقدم، وتنتظر الطريقتان جوابًا متفقًا ما دامت كميات البداية والمعادلة المختارة في كل تعويض محددتين.

η = ξ/3; 2ξ = 6η; ξ = 3η; ν′ = λν ⇒ ξ′ = ξ/λ, λ>0

خطأ نسخ الرقم القديم إلى المعامل الجديد

إذا أخذنا قيمة كسي القصوى ثلاثة مولات وسميناها إيتا في السجل المكبر من غير التحويل، فسنحسب ستة في ثلاثة، أي ثمانية عشر مولًا من الناتج. لكنه يحتاج إلى استهلاك ثمانية عشر مولًا من أول أكسيد الكربون وتسعة من الأكسجين، مع أن البداية عشرة وثلاثة فقط. تصبح البواقي سالب ثمانية وسالب ستة، وهذا يكشف أن القيمة الموضوعة خارج مجال السجل الفيزيائي غير السالب الذي اشترطناه.

الإشارة السالبة في بواقي المادة ليست تصريحًا بوجود كمية مادة سالبة في هذا النموذج. هي نتيجة استعمال مقدار تقدم لا تسمح به المعطيات والمعاملات التي وضعناها. نصحح الخطأ بالعودة إلى حد إيتا المول الواحد، لا بتجاهل البواقي أو الاقتصار على الرقم الأكبر للناتج. إذا كان الجواب يتطلب مادة أكثر من المتاح، فقد سبق أن فشل الشرط الذي يربط التقدم بالمواد، مهما بدا ضرب معامل المنتج سهلًا.

ويمكن أن يحدث الخلط في صف واحد فقط: نستعمل معامل المنتج المكبر مع تقدم أو استهلاك من الكتابة الأولى. عندئذ قد تبدو بواقي المتفاعلين معقولة، لكن الناتج لا يحفظ عدد الذرات مع ما استهلكناه. لذلك نكتب المعادلة فوق الجدول ونستعمل مجموعة معاملات واحدة في جميع صفوفه. إعادة قيمة واحدة إلى صورتها الصحيحة لا تصلح جدولًا جمع وصفين مختلفين في علاقات استهلاك وإنتاج لم يعد لها تقدم مشترك.

مضاعفة البداية تغيير مختلف

نضاعف الآن كميات البداية نفسها إلى عشرين مولًا من أول أكسيد الكربون وستة من الأكسجين، مع عدم وجود المنتج أولًا. في الكتابة الصغيرة الحد الأصغر بين عشرين على اثنين وستة على واحد هو ستة مولات من التقدم. ينتج النموذج اثني عشر مولًا من ثاني أكسيد الكربون، ويتبقى ثمانية من أول أكسيد الكربون. هنا تغيرت المواد المتاحة فعلًا في المسألة الحسابية، فتضاعفت كمية الناتج المحسوبة مقارنة ببداية العشرة والثلاثة.

وفي المعادلة المكبرة يعطي الحد الأصغر بين عشرين على ستة وستة على ثلاثة مقدارًا يساوي مولين من إيتا. ضربهما في معامل المنتج ستة يعيد اثني عشر، وتوافق البواقي النتيجة نفسها. ما زالت الكتابتان متفقتين، لكننا نقارن الآن مسألة ببداية أكبر، لا نعود إلى المسألة الأولى بمجرد كتابة المعادلة برقم أكبر. لذلك نضع تغيير البداية في خانته قبل تفسير الزيادة في الناتج.

هذه المقارنة تمنع الخلط بين معادلة هي نسبة وبين مخزون البداية الذي ينتمي إلى سؤال محدد. الضرب في ثلاثة لكل المعاملات لم يضف أي مول إلى البداية الأولى. أما الضرب في اثنين لكميات البداية فزاد المتاح ورفع الحد النظري في مثالنا. وعندما يكتب حل إن الناتج تضاعف، نراجع أي العمليتين نفذت؛ لا نعد كل رقم أكبر في سطر المعادلة علامة على تحضير كمية أكبر من مادة.

n₀ = (20,6,0) mol: ξ_max=6 mol; η_max=2 mol; final=(8,0,12) mol

التقدم بالمول قد يكون كسرًا

نختار بداية أخرى: أربعة مولات من أول أكسيد الكربون وثلاثة من الأكسجين. في الكتابة الأولى الحد الأصغر بين أربعة على اثنين وثلاثة على واحد هو مولان من التقدم، فيكون أول أكسيد الكربون المحدد هذه المرة. يستهلك كله، ويستهلك مولين من الأكسجين فيبقى مول واحد منه، وينتج أربعة مولات من ثاني أكسيد الكربون. تغير المحدد لأننا غيرنا البداية، لا لأننا فضلنا أحد اسمي المادتين في التعريف.

وفي الكتابة المكبرة الحد الأصغر بين أربعة على ستة وثلاثة على ثلاثة هو ثلثا مول من إيتا. ستة في ثلثين يعطي أربعة مولات من الناتج، وثلاثة في ثلثين يعطي مولين من الأكسجين المستهلك. تبقى الحالة المادية نفسها. لا نرفض الثلثين لأن المعاملات التي اخترناها أعداد صحيحة؛ التقدم في هذه الورقة كمية بالمول، وليس عدادًا يشترط أن تظهر قيمه مولًا كاملًا في كل سؤال.

ولو قربنا الثلثين إلى مول واحد لمجرد تفضيل رقم صحيح، لاستهلكنا ستة مولات من أول أكسيد الكربون بدل الأربعة المتاحة. الاحتفاظ بالكسر الدقيق هنا يحفظ القيد، كما أن استعمال قيمة عشرية مقربة يحتاج بيان أنها تقريب ومراجعة أثرها. اختيار معاملات صحيحة صغيرة يسهل وزن المعادلة، لكنه لا يفرض أن تكون كل كمية مادة في مسألة لاحقة عددًا صحيحًا من المولات.

n₀=(4,3,0) mol: ξ_max=2 mol; η_max=2/3 mol; final=(0,1,4) mol

المنتج الموجود أولًا غير المنتج الجديد

في مثال العشرة والثلاثة نضيف إلى معطيات البداية مولين من ثاني أكسيد الكربون، ونبقي نموذج التحول الواحد والحد الستويكيومتري نفسه. عند البداية ذات تقدم صفر يكون المنتج موجودًا بالفعل؛ لا نضع كميته صفرًا بعد هذا التغيير. علاقة المنتج في الكتابة الأولى تصبح مولين زائد ضعفي كسي، وفي الثانية مولين زائد ستة أمثال إيتا. يصف حد التقدم الزيادة الجديدة، بينما يسجل الحد الثابت مخزون البداية.

عند كسي ثلاثة أو إيتا واحد تضيف كل كتابة ستة مولات من المنتج، فيبلغ المخزون النهائي ثمانية. لا نسمي الثمانية ناتجًا جديدًا من استهلاك الأكسجين الثلاثة؛ مولان منها كانا في البداية وفق المعطيات التي أضفناها. وكذلك لا نغير قيمة التقدم لتضم هذين المولين من غير تعديل مرجع البداية في جميع العلاقات. الجدول يحتاج كمية أولية وتغيرًا وكمية نهائية لكل مادة، بدل معامل في رقم واحد يترك بداية السؤال مجهولة.

هذا حساب للحد النظري في نموذجنا المحدد، وليس تقريرًا أن وجود منتج أولي لا يؤثر في كل تفاعل فعلي. لم نمثل اتزانًا عكسيًا أو سرعة أو مسارات جانبية. اخترنا التحول والحساب الستويكيومتري للزيادة، وذكرنا ما بقي ثابتًا في شروطه. من المهم أن يقرأ القارئ هذا النطاق مع الفرق بين المنتج الجديد والمخزون النهائي، حتى لا تتحول العلاقة الجبرية إلى ادعاء عن تجربة لم تنفذ.

n_CO₂,0=2 mol: n_CO₂=2+2ξ=2+6η; produced=6 mol; final=8 mol

راجع الكتلة والذرات في مثال البداية الأولى

نرجع إلى البداية التي لا تحتوي المنتج، ونختار كتلًا مولية تعليمية مقربة ومتسقة: ثمانية وعشرون غرامًا لكل مول لأول أكسيد الكربون، واثنان وثلاثون للأكسجين، وأربعة وأربعون لثاني أكسيد الكربون. كتلة البداية عشرة في ثمانية وعشرين زائد ثلاثة في اثنين وثلاثين، أي مئتان وثمانون زائد ستة وتسعون، فتساوي ثلاثمئة وستة وسبعين غرامًا. لا ننسب هذه القيم المقربة إلى قياس عينة أو تركيب نظائري محدد.

في الحالة النهائية يحوي الناتج ستة في أربعة وأربعين، أي مئتين وأربعة وستين غرامًا، ويحوي فائض أول أكسيد الكربون أربعة في ثمانية وعشرين، أي مئة واثني عشر. المجموع ثلاثمئة وستة وسبعون، فيوافق البداية. لكن مجموع مولات المواد لم يبق ثلاثة عشر؛ صار أربعة من الفائض وستة من المنتج، أي عشرة. حفظ الكتلة في الحساب لا يساوي حفظ عدد مولات جميع الجزيئات حين يختلف عدد الجزيئات في علاقة التفاعل.

ونراجع كميات الذرات أيضًا: في البداية عشرة مولات من ذرات الكربون، وستة عشر من ذرات الأكسجين عند حساب ذرة واحدة في كل أول أكسيد ومولَي ذرات في كل مول أكسجين. في النهاية أربعة من الكربون في الفائض وستة في المنتج، وأربعة من الأكسجين في الفائض واثنا عشر في المنتج. عادت الكميتان الذريتان إلى العشرة والستة عشر نفسيهما، فتحفظ الكتابتان الموزونتان هذه المراجعة مع الحد المحسوب نفسه.

m₀=10×28+3×32=376 g; m_f=4×28+6×44=376 g; total species mol: 13 → 10

الرسم يقارن مقدار المادة على محورين للتقدم

يعرض الرسم الداخلي كمية كل مادة مقابل كسي في لوحة، ومقابل إيتا في لوحة أخرى. في الأولى ينتهي المجال عند ثلاثة مولات من التقدم، وفي الثانية عند مول واحد. تبدأ كميات المواد عند العشرة والثلاثة والصفر في اللوحتين، وتنتهي عند الأربعة والصفر والستة. تشابه مواضع النهايات يتبع ثبات الكميات، بينما يوضح تغيير تدريج المحور الأفقي إعادة وصف تقدم الحالة بحسب معاملات المعادلة.

ليست هذه خطوطًا لقياسات كمية مع الزمن؛ المحور الأفقي تقدم، ووحدته المول، ولم ندخل زمنًا. الميل بالنسبة إلى هذا المحور يطابق المعامل الموقع في السجل: ينقص أول أكسيد الكربون بضعفي كسي في لوحة وبستة أمثال إيتا في الأخرى. لا نقرأ اختلاف هذا الميل على أنه سرعة كيميائية أعلى، لأن تغيير محور التقدم ليس معطى زمنيًا يحدد سرعة حدوث التحول في نظام فعلي.

أما الصورة الرئيسية فتضع المعادلتين وكميات البداية والتقدم الأقصى والناتج والفائض في بطاقة مقارنة. يمكن للقارئ مراجعة حاصل ضرب معامل المنتج في التقدم دون الرجوع إلى تخمين من طول الخط. الأرقام في الرسمين مؤلفة ومتوافقة مع علاقاتنا، ولا تحمل صورة مختبر أو نموذج جزيئات من مصدر آخر. اختيار المعادلة المكتوبة فوق كل لوحة يوضح أي قيمة تقدم يحتاجها تفسير الرقم الذي تحتها.

بطاقة حل تحفظ المعادلة والبداية معًا

اكتب المعادلة الموزونة أولًا، ثم كميات البداية تحت أسماء المواد، ثم علاقات كمياتها عند تقدم له مرجع صفر محدد. افحص عدم سلبية المتفاعلين لاستخراج المجال والحد، ثم احسب المنتج الجديد والبواقي. إذا كبرت المعاملات كلها، فأعد علاقات التقدم بالمعاملات الجديدة وقارن الكميات نفسها. لا تنقل رقم التقدم القديم إلى محور جديد قبل كتابة العلاقة المعكوسة بينهما.

واختبر الفرق بين تغيير المعادلة وتغيير البيانات. إذا زادت كميات البداية، فذلك سؤال جديد قد يعطي حدًا أعلى للناتج؛ وإذا وجد منتج أولًا، فالنهاية تضم مخزونه الأول والزيادة. ثم راجع حفظ الذرات أو الكتلة المقربة المتسقة التي أعلنتها. هذه المراجعات تكشف خلط صفوف من كتابتين مختلفتين، وتمنع تفسير مولات التقدم على أنها عدد جميع الجزيئات أو كمية الناتج من غير معامل مادته.

في المثال المعتمد بقي الناتج ستة والفائض أربعة في الكتابتين، مع تقدم ثلاثة في الأولى وواحد في الثانية. المعاملات عبرت عن النسبة نفسها، والتقدم أعيد تعريف قيمته على أساسها، ولم تتغير كمية المادة في الحساب. قراءة الرقم بجوار معادلته ومعطيات بدايته هي ما يحفظ هذا المعنى؛ من دون ذلك قد نقارن رقمين مختلفين كما لو أنهما وصفان متعارضان للناتج نفسه.