حل معادلتين بمجهولين: التعويض والحذف وفحص عدد الحلول

ما المقصود بحل النظام؟

في النظام x+y=7 و 2x+y=11، لا يكفي أن تحقق نقطة أحد الخطين فقط. الزوج (4,3) يحقق 4+3=7 و 2·4+3=11، ولذلك يحل النظام. أما (3,4) فيحقق الأولى لكنه يعطي 10 في الثانية، فلا يعد حلًا. ^[1]

حل النظام هو تقاطع شروطه. هذه الفكرة تفسر ضرورة التعويض في المعادلتين في نهاية العمل، بدل فحص سطر واحد يتذكره الطالب من الحساب.

الطريقة الأولى: التعويض

من x+y=7 نعزل y فنكتب y=7−x. نعوض هذا التعبير كاملًا في المعادلة الثانية: 2x+(7−x)=11، ثم x+7=11، فيكون x=4. نعود إلى y=7−4=3.

تستبدل الأقواس المجهول كله قبل فكها. عندما نكتب y=7−x تصبح المعادلة الأخرى ذات مجهول واحد بعد التعويض، ولا يعني ذلك أن y أصبح رقمًا قبل حساب x. طريقة العزل ثم التعويض موثقة في المرجع التعليمي. ^[1]

الطريقة الثانية: الحذف

في النظام نفسه نطرح الأولى من الثانية: (2x+y)−(x+y)=11−7، فتصبح x=4. يختفي y لأن معامليه متساويان في الطرح. ثم y=3 من إحدى المعادلتين الأصليتين.

إذا اخترنا الجمع بدل الطرح هنا فسنحصل على 3x+2y=18 ولن نكون قد حذفنا متغيرًا. تسمية الطريقة «حذف» لا تعني جمع أي سطرين عشوائيًا؛ نختار العملية لتصير معاملات المجهول المراد إزالته صفرًا. ^[1]

مثال يحتاج ضرب المعادلتين

حل 3x+2y=16 و 2x−3y=−11. لحذف y نضرب الأولى كلها في 3 والثانية كلها في 2، فنحصل على 9x+6y=48 و 4x−6y=−22. الجمع يعطي 13x=26 ثم x=2.

نعوض في الأولى: 6+2y=16، فيكون y=5. التحقق في الثانية يعطي 4−15=−11. يجب أن يشمل الضرب كل حد والطرف الأيمن أيضًا؛ مضاعفة معامل واحد فقط تغير المعادلة. ^[1]

متى لا يكون هناك حل وحيد؟

للنظام 2x+y=6 و 4x+2y=12 تمثل الثانية ضعف الأولى. طرح ضعف الأولى من الثانية يعطي 0=0، وهي هوية لا تحدد قيمة جديدة. جميع الأزواج (x,6−2x) تحقق النظام، أي حلول لا نهائية. ^[2]

أما تغيير الطرف الأيمن في الثانية إلى 13 فيعطي 0=1 بعد العملية نفسها. هذا تناقض، والنظام بلا حل. الرسم الداخلي يقارن التطابق بالتوازي؛ لا نحول 0=1 إلى جواب x=0.

للخطين المختلفين غير المتوازيين نقطة تقاطع واحدة. وإذا تطابقا فكل نقطة مشتركة، وإذا توازيا مع اختلافهما فلا نقطة مشتركة. هذه الحالات تخص المعادلتين الخطيتين المعتادتين، ولا تعمم على نظام غير خطي قد يملك أكثر من نقطة تقاطع. ^[2]

كيف تختار وتراجع؟

التعويض مناسب عندما يعزل مجهول بسهولة، خصوصًا إذا كان معامله 1 أو −1. والحذف مناسب عندما تتطابق معاملات أو يمكن جعلها متعاكسة بضرب بسيط. اختر ما يقلل الكسور وخطر الإشارات، ولا تحتاج استعمال الطريقتين في كل تمرين. ^[1]

للتدريب حل x+y=9 و 2x−y=3. جمعهما يعطي 3x=12، فيكون (x,y)=(4,5). افحص 4+5=9 و 8−5=3. واكتب جوابك زوجًا مرتبًا يوضح قيمة كل متغير، ثم افحص شروط المسألة إذا كانت القيم تمثل أعداد أشياء أو أطوالًا.