خصائص المخروط: القائم والمائل والارتفاع وشبكة السطح

الخلاصة السريعة

المخروط الدائري جسم له قاعدة دائرية ورأس وسطح جانبي. يكون قائمًا إذا وقع الرأس عموديًا فوق مركز القاعدة، ومائلًا إذا انزاح عنه.^[1]

• الارتفاع هو المسافة العمودية من الرأس إلى مستوى القاعدة، حتى في المخروط المائل.^[2]
• في القائم: l² = h² + r²، حيث l الراسم و h الارتفاع و r نصف القطر.^[3]
• في مثالنا: r = 5 cm و h = 12 cm يعطيان l = 13 cm.
• شبكة جانب المخروط القائم قطاع دائري نصف قطره الراسم؛ وقوسه يطابق محيط القاعدة.^[4]
• في المثال، المساحة الجانبية 65π cm²، والكلية مع القاعدة 90π cm².

أجزاء المخروط والفرق بين القائم والمائل

تصل قطعة مستقيمة من الرأس إلى مركز القاعدة لتحدد محور المخروط. في القائم يكون المحور عموديًا على القاعدة، بينما يميل عنها في المخروط المائل.^[1]

ارتفاع المخروط مسافة عمودية إلى مستوى القاعدة؛ وقد تقع قدم العمود بعيدًا عن المركز في المخروط المائل. والراسم يمتد من الرأس إلى حافة القاعدة على السطح.^[2][3]

للمخروط الدائري حد دائري حيث تلتقي القاعدة والجانب؛ لذلك يختلف وصفه عن حواف الأجسام ذات الوجوه المضلعة المستقيمة.^[1]

في الرسم، لاحظ موضع الرأس بالنسبة إلى مركز كل قاعدة. لا تكفي رؤية خط مائل للحكم على الارتفاع؛ فالعلامة القائمة عند قدم العمود هي ما يحدد المسافة العمودية.

العلاقة بين الارتفاع والراسم ونصف القطر

في المخروط القائم تتساوى أطوال الرواسم، ويكوّن الارتفاع ونصف القطر والراسم مثلثًا قائم الزاوية. لذلك نحسب الراسم بنظرية فيثاغورس.^[3]

في مثالنا: l = √(12² + 5²) = √169 = 13 cm. طول 13 سم يخص السطح المائل، بينما 12 سم هو الارتفاع العمودي، و 5 سم نصف قطر القاعدة.

أما في المخروط المائل، فلا تتساوى الرواسم عمومًا؛ ولذلك لا يُستخدم طول مائل واحد بدل جميع أطوال الجانب.^[1]

للتحقق من المثال القائم، احسب 13² − 5² = 144، ثم خذ الجذر الموجب فتحصل على 12 سم. يجب استخدام وحدة طول واحدة في الحساب.

كيف تشرح شبكة المخروط مساحة سطحه؟

عند فرد جانب المخروط القائم يظهر قطاع دائري نصف قطره l. طول قوس القطاع 2πr؛ ومن نسبة هذا القوس إلى الدائرة الكاملة نحصل على المساحة الجانبية πrl، والكلية πrl + πr².^[4]

في المثال، يكون نصف قطر القطاع 13 سم وطول قوسه 10π cm. زاويته 360° × 5/13 = 1800/13° ≈ 138.46°. تضاف دائرة منفصلة نصف قطرها 5 سم لتكوين القاعدة.

المساحة الجانبية π × 5 × 13 = 65π cm²، ومساحة القاعدة π × 5² = 25π cm². مجموعهما 90π cm². هنا المساحة بوحدات مربعة، وليست طولًا.

يفيد هذا الرسم في فهم السطح الذي يغلف المخروط. ولحساب المقدار الذي يشغله الجسم، انتقل إلى دليل حجم المخروط؛ فالحجم سؤال مختلف عن مساحة الغلاف.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: قانون حساب حجم المخروط: أمثلة والفرق بين الارتفاع والراسم.