قانون حساب حجم المخروط: أمثلة والفرق بين الارتفاع والراسم

لماذا يساوي الحجم ثلث حجم الأسطوانة؟

مساحة القاعدة الدائرية πr²، وحجم أسطوانة لها القاعدة والارتفاع نفسيهما πr²h. أما المخروط فحجمه ثلث هذه القيمة. تنطبق العلاقة على المخروط الدائري المائل أيضًا، بشرط قياس الارتفاع عموديًا من الرأس إلى مستوى القاعدة. ^[1]

يمكن فهم عامل الثلث بتخيّل مقاطع متوازية مع القاعدة في مخروط قائم. إذا قسنا المسافة y من الرأس، كان نصف قطر المقطع ry/h بالتشابه. تتناسب مساحته مع y²، وجمع مساحات المقاطع بالتكامل يعطي πr²h/3. لا نفترض أن المساحة تنقص بمعدل خطي؛ الذي يتغير خطيًا هنا نصف القطر. ^[2]

مثال محلول باستخدام نصف القطر

لمخروط نصف قطره 4 cm وارتفاعه 9 cm، نعوض في القانون: V = π × 4² × 9 / 3 = 48π cm³. القيمة الدقيقة تبقى بهذه الصورة، وتقريبها 150.8 cm³. وفي المقابل، حجم الأسطوانة ذات الأبعاد نفسها 144π cm³، أي ثلاثة أضعاف حجم المخروط.

الرمز π عدد ثابت لا يساوي تمامًا 3.14 أو 22/7؛ هاتان قيمتان تقريبيتان. عند استخدام آلة حاسبة نحتفظ بالقيمة الدقيقة ما أمكن، ثم نقرب الجواب في النهاية إلى الدقة المطلوبة.

حساب حجم المخروط من القطر وتحويل الوحدات

إذا كان القطر 10 cm والارتفاع 12 cm، فإن نصف القطر 5 cm. يصبح الحجم 100π cm³، أي نحو 314.2 cm³. إدخال العدد 10 مكان نصف القطر يجعل الحجم أربعة أضعاف الصحيح، لأن نصف القطر يدخل مربعًا.

اللتر يساوي 1000 cm³، ولذلك يقابل هذا الحجم نحو 0.3142 L. لا نحول السنتيمتر المكعب إلى لتر بقسمة على 100؛ فالحجم قياس ثلاثي الأبعاد. كذلك يجب توحيد وحدة نصف القطر والارتفاع قبل إجراء الحساب.

الفرق بين الارتفاع والراسم

في المخروط القائم، الراسم l هو الطول المائل من الرأس إلى حافة القاعدة، بينما الارتفاع h عمودي على القاعدة. يصنعان مع نصف القطر مثلثًا قائمًا يحقق l² = h² + r². هذا المثلث يخص المخروط القائم؛ لا نطبق العلاقة نفسها دون تحقق على مخروط مائل.

في مثال نصف القطر 3 cm والراسم 5 cm، نحسب h = √(25 − 9) = 4 cm. الحجم الصحيح 12π cm³، أي نحو 37.7 cm³. لو استخدمنا الراسم مكان الارتفاع لحصلنا على 15π cm³، وزيادة 25% عن الجواب الصحيح. الرسم الداخلي يعرض المثلث 3–4–5 بوصفه مقطعًا محوريًا.

إيجاد ارتفاع مجهول ومراجعة الحل

نرتب القانون إلى h = 3V/(πr²). فإذا كان الحجم 80π cm³ ونصف القطر 4 cm، كان الارتفاع 15 cm. ويمكن مراجعة النتيجة بإعادتها إلى القانون الأصلي. عند تثبيت الارتفاع، مضاعفة نصف القطر تضاعف الحجم أربع مرات؛ أما مضاعفة الارتفاع وحده فتضاعفه مرتين.

• حدد هل الشكل مخروط كامل أم مخروط ناقص؛ لكل منهما صيغة مناسبة.
• استخرج نصف القطر من القطر عند الحاجة.
• ميز الارتفاع العمودي عن الطول المائل.
• اكتب وحدة مكعبة، واذكر التقريب المستخدم.