قانون حجم الكرة بالقطر ونصف القطر مع أمثلة

من القياس إلى التعويض

حدد المسافة من مركز الكرة إلى سطحها؛ هذه هي نصف القطر. المسافة عبر المركز بين نقطتين متقابلتين على السطح هي القطر، وتساوي ضعفه. إذا أدخلت القطر في مكان r، تصبح نتيجة التكعيب أكبر ثماني مرات من القيمة الصحيحة. ^[1]

نكتب r = d/2، ثم نعوض: V = (4/3)π(d/2)³ = πd³/6. لا نقسم الحجم على 2 فقط عند إعطاء القطر؛ فالعدد 2 داخل قوة ثالثة.

مثالان مع الاحتفاظ بـ π

في المثال الثاني يمكن التحقق بنصف القطر 4.5 سم؛ تعطي الصيغة الأولى النتيجة نفسها. أبقينا π دون تقريب أثناء الحساب، ثم قربنا الجواب النهائي إلى منزلتين.

كيف يتغير الحجم عندما تكبر الكرة؟

إذا ضربنا نصف القطر في عدد k، تصبح نسبة الحجم الجديد إلى القديم k³. لذلك عند الانتقال من نصف قطر 2 سم إلى 4 سم تتغير النسبة إلى 2³ = 8؛ الحجم الأول نحو 33.51 سم³، والثاني نحو 268.08 سم³.

المساحة السطحية في المقارنة نفسها تتغير بأربعة أمثال، لأنها تعتمد على مربع نصف القطر، وفق S = 4πr². لا تستعمل نسبة المساحة بدل نسبة الحجم. ^[2]

عندما تكون المساحة أو الحجم هي المعطى

إذا أعطيت مساحة السطح S، استخرج نصف القطر من r = √(S/(4π)) ثم احسب الحجم. مثلًا مساحة سطحها 100π cm² تعطي نصف قطر 5 سم وحجمًا 500π/3 ≈ 523.60 cm³. ^[2]

وإذا أعطيت الحجم، نعكس العلاقة: r = ∛(3V/(4π)). علامة الجذر هنا تكعيبية، لأن المطلوب عكس القوة الثالثة؛ استعمال الجذر التربيعي لا يعكس قانون الحجم.

الكرة المجوفة ووحدة الناتج

الحجم المحسوب بنصف القطر الخارجي يشمل الحيز كله حتى السطح الخارجي. ولإيجاد حجم مادة غلاف كروي منتظم، نطرح حجم الكرة الداخلية: V_material = (4/3)π(R³ − r³)، حيث R نصف القطر الخارجي و r الداخلي. أما سعة التجويف فتحسب بنصف القطر الداخلي وحده.

وحد القياسات قبل التعويض. إذا كان نصف القطر بالسنتيمتر، فالحجم بالسنتيمتر المكعب. وراجع ما يطلبه السؤال: الحيز الكلي أم مساحة السطح أم حجم مادة الغلاف؛ كل منها كمية مختلفة وإن وصفت الجسم نفسه.