قانون مساحة وحجم الأسطوانة يحتاج تحديد الكمية المطلوبة: الحجم πr²h، والمساحة الجانبية 2πrh، والمساحة الكلية لأسطوانة مغلقة 2πr² + 2πrh. نعني هنا الأسطوانة الدائرية القائمة، حيث r نصف قطر القاعدة و h الارتفاع العمودي بين القاعدتين. [1]
أي كمية تريد حسابها؟
الحجم يصف الحيز ثلاثي الأبعاد، بينما المساحة تصف سطحًا. لذلك نعطي الحجم بوحدة مكعبة، مثل سم³، والمساحة بوحدة مربعة، مثل سم². لا تقارن رقمين مجردين لإحدى الكميتين كأنهما يقيسان الشيء نفسه.
إذا عرفت القطر فاقسمه على 2 قبل استخدام صيغ نصف القطر. ووحد وحدة نصف القطر والارتفاع؛ مثلًا لا تضرب قياسًا بالسنتيمتر في ارتفاع مكتوب بالمتر دون التحويل.
من أين تأتي المساحة الجانبية والكلية؟
عند فتح السطح الجانبي نظريًا نحصل على مستطيل، أحد بعديه محيط القاعدة 2πr والآخر h. مساحته 2πrh. توجد أيضًا قاعدتان، مساحة كل واحدة πr²؛ جمعهما مع المستطيل يعطي الكلية المغلقة. [1]
إن كان المطلوب سطح أسطوانة لها قاعدة واحدة ولا غطاء، تصبح المساحة 2πrh + πr². وإن كان المقصود غلافًا جانبيًا فقط فلا نضيف قاعدة. اقرأ الوصف وحدد السطوح المقاسة قبل الاختيار.
مثال واحد لحساب الكميات الثلاث
لنموذج أسطوانة قائمة نصف قطرها 3.2 سم وارتفاعها 9.5 سم، تكون مساحة القاعدة 10.24π cm². نعوض بالقيم نفسها في الصيغ الثلاث:
| الكمية | النتيجة مع π | التقريب النهائي |
|---|---|---|
| الحجم | 97.28π cm³ | 305.61 cm³ |
| المساحة الجانبية | 60.8π cm² | 191.01 cm² |
| المساحة الكلية المغلقة | 81.28π cm² | 255.35 cm² |
الفرق بين الكلية والجانبية 20.48π cm²، أي مساحتا القاعدتين. وإذا حذفنا الغطاء من النموذج، نضيف قاعدة واحدة إلى الجانبية فتصبح المساحة 71.04π ≈ 223.18 cm². قُربت الأجوبة إلى منزلتين بعد إتمام الحساب.
الحجم والسعة في خزان أسطواني
قانون الحجم يضرب مساحة القاعدة في الارتفاع. لكنه لا يحدد تلقائيًا سعة وعاء ذي جدار سميك؛ نحتاج نصف القطر الداخلي والارتفاع المتاح للسائل. استعمال القياس الخارجي يحسب حيزًا يشمل الجدار أيضًا.
فإذا كان نصف القطر الداخلي 0.4 م والارتفاع الداخلي 1.25 م، فالسعة الهندسية حتى هذا الارتفاع π(0.4)²(1.25) = 0.2π m³، أي نحو 628.32 لتر؛ المتر المكعب يعادل 1000 لتر. هذا نموذج مثالي، ولا يشمل فراغًا مخصصًا أعلى السائل أو قطعًا داخل الخزان.
فحص سريع للنتيجة
- عند ثبات نصف القطر ومضاعفة الارتفاع يتضاعف الحجم والسطح الجانبي، وتبقى مساحة القاعدتين كما هي.
- عند ثبات الارتفاع ومضاعفة نصف القطر يصبح الحجم أربعة أمثال، أما الجانبية فتتضاعف.
- المساحة الكلية لأسطوانة مغلقة أكبر من الجانبية بمساحة قاعدتين.
هذه العلاقات تتيح كشف خطأ شائع: نسيان تربيع نصف القطر في الحجم، أو إضافة قاعدتين حين يكون السؤال عن السطح الجانبي وحده.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.