زوايا الرباعي الدائري: اجمع المتقابلتين لا المتجاورتين

حدد المتقابلتين من ترتيب الرؤوس

في رباعي رؤوسه على دائرة، مجموع كل زوج من الزوايا المتقابلة180°. [1]

نسمي الرؤوس أ، ب، ج، د بترتيبها حول المحيط، ونصل أ ب ثم ب ج ثم ج د ثم د أ. نختار أربع نقاط متميزة؛ لا نكرر رأسًا، ولا نستبدل هذا المسار بمسار تتقاطع أضلاعه.

أ وج لا يشتركان بضلع، وكذلك ب ود. أما أ وب فيشتركان بالضلع أ ب؛ لا يندرج هذا الزوج تحت قاعدة المتقابلتين. في دفتر الحل اكتب اسم الزوج قبل طرح أي زاوية من180.

سنستخدم دائرة مركزها و=(0،0)، نصف قطرها5 وحدات، ومعادلتها س²+ص²=25. رؤوسنا أ=(5،0)، ب=(0،5)، ج=(−5،0)، د=(3،−4). مربعا الإحداثيين مجموعهما25 في كل رأس؛ خصوصًا3²+(−4)²=25.

الأضلاع أ ب وب ج وج د ود أ تحيط بمنطقة محدبة؛ والرأس د أسفل القطر أ ج. و تقع داخلها، لكنها مركز الدائرة وليست من الرؤوس الأربعة. الحرف الأوسط في اسم زاوية، مثل أ ب ج، يحدد رأسها ب.

لماذا ينتج180 درجة للزوج المتقابل؟

الزوايا المحيطية في القطعة الدائرية نفسها متساوية. [2]

ارسم القطرين أ ج وب د داخل الرباعي. الزاويتان ب أ ج وب د ج تقابلان الوتر ب ج من الجهة نفسها، فتتساويان. كذلك ب ج أ وب د أ تقابلان الوتر ب أ من الجهة نفسها. [2]

القطر د ب يقسم الزاوية الداخلية أ د ج إلى جزأين؛ نجمع المساواتين لنجد ∠أ د ج=∠ب أ ج+∠ب ج أ. [2]

في المثلث أ ب ج، مجموع الزوايا ∠ب أ ج+∠أ ب ج+∠ب ج أ=180°. [3]

استبدال مجموع الزاويتين عند أ وج بالزاوية عند د يعطي ∠أ ب ج+∠أ د ج=180°. هذه زاويتا الرباعي عند ب ود. نكرر الحجة باختيار المثلث المناسب للزاويتين أ وج. [1]

في مثالنا، المثلث أ ب ج قائم عند ب ومتساوي الساقين: أ ب²=50 وب ج²=50 وأ ج²=100. زاويتا القاعدة45° و45°. عند د نجد الجزأين ب د ج وب د أ45° لكل منهما، فيكون مجموعهما90°.

الجزآن عند د ليسا الزاويتين المتقابلتين المطلوب جمعهما في الرباعي؛ هما جزآن في رأس واحد. مجموعهما يحدد د، ثم نجمع د مع ب. التمييز بين رأس الزاوية وطرفي وترها يمنع اختيار زوج غير مقصود.

مراجعة عددية تكشف خطأ جمع المتجاورتين

نحسب الزاوية الداخلية من متجهين خارجين من رأسها. نستعمل حاصل الضرب الداخلي والضرب المتجهي المستوي، ثم زاوية بين0° و180°. الأرقام الآتية مشتقة من إحداثيات مثالنا، لا من قياس صورة.

عند أ، المتجهان أ ب=(−5،5) وأ د=(−2،−4). حاصل الضرب الداخلي−10، ومقدار الضرب المتجهي30. لذلك زاوية أ=atan2(30،−10)≈108.435°. الرمز atan2 هنا يعيد الزاوية من المركبتين مع الاحتفاظ بجهة الزاوية المنفرجة؛ الناتج معروض بالدرجات.

عند ج، ج ب=(5،5) وج د=(8،−4). الضرب الداخلي20، ومقدار المتجهي60؛ زاوية ج=atan2(60،20)≈71.565°. مجموع أ وج180° قبل التقريب.

عند ب، ب أ=(5،−5) وب ج=(−5،−5)؛ الضرب الداخلي0، فتكون90°. عند د، د أ=(2،4) ود ج=(−8،4)؛ الضرب الداخلي0 أيضًا. إذن ب+د=180°.

أما أ+ب≈108.435+90=198.435°، وج+ب≈161.565°. لا نطرح أ من180 لنجد ب؛ طرحها يعطي ج المقابلة، وهي≈71.565°.

التكامل لا يعني أن كل زاوية90°. في الزوج أ وج واحدة منفرجة والأخرى حادة، وهما مختلفتان؛ في الزوج ب ود تساوتا90 في هذا المثال وحده. الأضلاع في مثالنا ليست متساوية كلها: أ د²=20 وج د²=80، رغم وقوع الرؤوس على دائرة واحدة.

احتفظ بالمتجهات أو بالقيمة غير المقربة أثناء المراجعة؛ كتابة108.435 و71.565 تؤدي هنا إلى180.000، لكن التوافق العشري وحده لا يثبت أن نقطة مجهولة تحقق معادلة الدائرة.

رأس داخل الدائرة لا يصنع رباعيًا دائريًا

نترك أ وب وج كما هي وننقل د وحدها إلى د′=(3،−3). مربع بعد د′ عن و هو3²+(−3)²=18<25؛ إذن هذه النقطة داخل دائرة المثال. مجرد وقوع الرسم كله في القرص لا يجعل رؤوسه كلها على المحيط.

المتجهان د′ أ=(2،3) ود′ ج=(−8،3). الضرب الداخلي−7، ومقدار المتجهي30؛ زاوية د′=atan2(30،−7)≈103.134°. زاوية ب بقيت90 لأن موضعَي أ وج لم يتغيرا.

المجموع ب+د′≈193.134°، وليس180. وللزوج الآخر، أ′=atan2(25،−5)≈101.310°، وج′=atan2(55،25)≈65.556°؛ مجموعهما≈166.866°. العلامتان أ′ وج′ هنا للزاويتين بعد النقل، أما إحداثيا الرأسين فلم يتغيرا.

جمع الزوايا الأربع يعطي360° قبل التقريب. تقسيم رباعي محدب بقطر إلى مثلثين يعطي180+180=360؛ هذا وصف عام للرباعي المحدب وليس شرطًا كافيًا للدائرية. [3]

لا توجد دائرة أخرى تجمع رؤوس المثال المعدل أيضًا: أ=(5،0) وج=(−5،0) تفرضان س المركز=0 بتساوي بعديهما. مساواة البعد عن ب=(0،5) بالبعد عن أ تفرض ص المركز=0. الدائرة المشتركة لهذه الثلاثة مركزها و ونصف قطرها5؛ د′ لا تحققها.

هذا التحقق يثبت فشل المثال دون استعمال عكس مبرهنة لم نبرهنه هنا. عند حل مسألة من رسم، تحقق من المعطى أن الرؤوس الأربع على دائرة واحدة، ومن الترتيب المحيطي، ثم اختر الزوج المتقابل. الرؤوس المتكررة أو المسار المتقاطع خارج تطبيقنا المحدب.