المحيط والمساحة في المعين قد يتعارضان. نستخرج شرط إمكانهما، ثم نبني قطرين يحققان كل حالة مقبولة. [1][2]
الخلاصة السريعة
يلزم ويكفي P>0 و0<A≤P²/16 في النموذج المحدد. [2]
- ندرس معينًا محدبًا غير منعدم في المستوى الإقليدي، ويشمل التعريف المربع. P محيط موجب، وA مساحة موجبة بوحدات متفقة؛ s=P/4 طول الضلع، وd1 وd2 طولا القطرين. [1]
- القطران متعامدان وينصف كل منهما الآخر. فيثاغورس على نصفيهما يعطي d1²+d2²=4s²، ومن مساحة المثلثات الأربعة A=d1d2/2. نحتاج العلاقتين لفحص المعطيات معًا. [1][2]
- لأن (d1−d2)²≥0، نحصل على 4s²≥4A؛ إذن A≤s²=P²/16. المساواة تعني d1=d2؛ المثلثات حول المركز قائمة متساوية الساقين، فتكون زوايا المعين قائمة ويصبح مربعًا. [1]
- لإثبات الكفاية لكل 0<A≤s²، ضع u=√(s²+A) وv=√(s²−A)، ثم d1=u+v وd2=u−v. كلاهما موجب؛ مجموع مربعيهما 4s² وحاصل ضربهما 2A. الرؤوس المتعاقبة (d1/2,0)، (0,d2/2)، (−d1/2,0)، (0,−d2/2) تبني معينًا ضلعُه s ومساحتُه A. [1][2]
- مثال مؤلف: P=40cm وA=96cm²؛ s=10cm، وu=14cm وv=2cm، فالقطران 16cm و12cm. الرؤوس (8,0)، (0,6)، (−8,0)، (0,−6) بالسنتيمتر: كل ضلع √(8²+6²)=10cm، والمحيط 40cm، والمساحة 96cm². [2]
- مع المحيط 40cm، المساحة 100cm² مقبولة وتخص مربعًا قطراه 10√2cm. المساحة 105cm² تتجاوز الحد فتستحيل، و0cm² حالة منعدمة نستبعدها. افحص الوحدات والإمكان قبل الحساب؛ الحد الأعلى مشمول، والصفر غير مشمول. [2]
حدد الشكل والوحدات
ندرس معينًا محدبًا غير منعدم في المستوى الإقليدي، ويشمل التعريف المربع. P محيط موجب، وA مساحة موجبة بوحدات متفقة؛ s=P/4 طول الضلع، وd1 وd2 طولا القطرين. [1]
اربط القطرين بالضلع والمساحة
القطران متعامدان وينصف كل منهما الآخر. فيثاغورس على نصفيهما يعطي d1²+d2²=4s²، ومن مساحة المثلثات الأربعة A=d1d2/2. نحتاج العلاقتين لفحص المعطيات معًا. [1][2]
استخرج الحد وحالة المساواة
لأن (d1−d2)²≥0، نحصل على 4s²≥4A؛ إذن A≤s²=P²/16. المساواة تعني d1=d2؛ المثلثات حول المركز قائمة متساوية الساقين، فتكون زوايا المعين قائمة ويصبح مربعًا. [1]
ابنِ كل حالة مقبولة
لإثبات الكفاية لكل 0<A≤s²، ضع u=√(s²+A) وv=√(s²−A)، ثم d1=u+v وd2=u−v. كلاهما موجب؛ مجموع مربعيهما 4s² وحاصل ضربهما 2A. الرؤوس المتعاقبة (d1/2,0)، (0,d2/2)، (−d1/2,0)، (0,−d2/2) تبني معينًا ضلعُه s ومساحتُه A. [1][2]
تحقق من مثال بإحداثيات
مثال مؤلف: P=40cm وA=96cm²؛ s=10cm، وu=14cm وv=2cm، فالقطران 16cm و12cm. الرؤوس (8,0)، (0,6)، (−8,0)، (0,−6) بالسنتيمتر: كل ضلع √(8²+6²)=10cm، والمحيط 40cm، والمساحة 96cm². [2]
ميز الحد عن المستحيل والمنعدم
مع المحيط 40cm، المساحة 100cm² مقبولة وتخص مربعًا قطراه 10√2cm. المساحة 105cm² تتجاوز الحد فتستحيل، و0cm² حالة منعدمة نستبعدها. افحص الوحدات والإمكان قبل الحساب؛ الحد الأعلى مشمول، والصفر غير مشمول. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.