طور فورييه: لماذا لا يكشف المقدار وحده ترتيب الإشارة؟

افصل طول المعامل عن اتجاهه

نثبت X[k]=Σₙ₌₀³ x[n] exp(−2πikn/4)، والعكسي x[n]=(1/4)Σₖ₌₀³ X[k] exp(+2πikn/4). هذه اتفاقية الإشارة والتطبيع التي نستخدمها. [2]

نختار x=[2,1,0,−1] بفهارس من صفر إلى 3، وقيم بلا وحدة فيزيائية. الجذر exp(−2πi/4)=−i يعطي X[0]=2، و X[1]=2−2i، و X[2]=2، و X[3]=2+2i.

مثلًا X[1]=2+1(−i)+(−1)i=2−2i. مربع مقداره 2²+(−2)²=8. العدد المركب يحدد نقطة ذات جزأين؛ المقدار طول المتجه من الأصل، والطور اتجاهه الزاوي عندما يكون غير صفري.

مربعات المقادير الأربعة هي [4,8,4,8]، والمقادير نفسها [2,√8,2,√8]. نستخدم المربعات في الجدول لتجنب تقريب الجذور، وهي غير سالبة؛ فلا تفقد المقارنة مساواة المقادير.

عند معامل يساوي صفرًا، طول المتجه صفر ولا يوجد اتجاه هندسي وحيد له. لذلك لا نفسر أي قيمة طور يعيدها برنامج عند الصفر بأنها اتجاه معلوم للإشارة.

الإزاحة الدائرية تحفظ المقدار

خواص التحويل المتقطع ترتبط بفهرسة دورية وإزاحات دائرية. [1]

نعرف y[n]=x[(n−1) mod 4]. يختار mod 4 الباقي من {0,1,2,3}؛ لذلك عند n=0 نأخذ x[3]=−1. الناتج y=[−1,2,1,0]، لا [0,2,1,0].

لبرهان أثر إزاحة عدد صحيح d على طول N، ضع y[n]=x[(n−d) mod N]. بدل فهرس الجمع إلى m=(n−d) mod N؛ يمر m على جميع الفهارس مرة واحدة. الأس لا يتغير عند إضافة مضاعف N إلى n.

إذن Y[k]=exp(−2πikd/N)X[k]. لأن مقدار العامل الأسّي واحد، فإن |Y[k]|=|X[k]|. أثبتنا ذلك من تعريف التحويل، مع شرط الإزاحة الدائرية وعدد الخطوات الصحيح.

عند N=4 و d=1، العوامل هي [1,−i,−1,i]. نضرب عنصرًا بعنصر: Y=[2,−2−2i,−2,−2+2i]. مثلًا (−i)(2−2i)=−2−2i، فيتغير الاتجاه ويبقى مربع المقدار 8.

للمتتاليتين المقادير نفسها، لكن القيمة عند الفهرس صفر تغيرت من 2 إلى −1. لم نحدد معدل أخذ عينات، فلا نعطي الخطوة مدة بالثواني. وهذا ليس تأخير تسجيل خطي تُدخل فيه أصفارًا وتقص النهاية.

الانعكاس يعطي غموضًا آخر

نعرف z[n]=x[(−n) mod 4]. نرتب الفهارس 0،3،2،1، فنحصل على z=[2,−1,0,1]. هذا انعكاس حول الفهرس صفر مع الفهرسة الدائرية، وليس قلب القائمة كلها إلى [−1,0,1,2].

بتغيير فهرس الجمع في تعريف التحويل نحصل على Z[k]=X[(−k) mod 4]. ولأن x حقيقية، فإن X[(−k) mod 4]=X̄[k]؛ يظهر ذلك بأخذ مرافق صيغة التحويل. للمدخل المركب العام لا نفترض المساواة الثانية.

في المثال Z=[2,2+2i,2,2−2i]. أخذ المرافق يعكس الجزء التخيلي ويحفظ مربع المقدار، فتظل القائمة [4,8,4,8]. عند k=1، النقاط (2,−2) و(−2,−2) و(2,2) تبعد المسافة √8 نفسها عن الأصل.

الدورانات الأربعة الممكنة لـ x هي [2,1,0,−1] و [−1,2,1,0] و [0,−1,2,1] و [1,0,−1,2]. لا تساوي أي منها z=[2,−1,0,1]. إذن وجود مقدار مطابق لا يحصر الاختلاف في إزاحة فقط.

كذلك x−y=[3,−1,−1,−1]. مجموع مربعات الفرق 9+1+1+1=12 رغم أن فرق المقادير في كل فهرس طيفي صفر. تحويل الفرق نفسه X−Y=[0,4,4,4]؛ لا نخلط |X−Y| مع |X|−|Y|.

لا تستبدل الطور بصفر ثم تتوقع الأصل

لو حفظنا المقادير فقط، يمكننا وضع M=[2,√8,2,√8] باعتبارها معاملات حقيقية موجبة. هذا يختار طورًا صفريًا لكل معامل، بدل الأطوار الموجودة في X.

بالعكسي المحدد، القيمة الأولى (2+√8+2+√8)/4=1+√2. عند الفهرس 1 تتلاشى الحدود إلى صفر. عند الفهرس 2 نحصل على (2−√8+2−√8)/4=1−√2، وعند الفهرس 3 نحصل على صفر.

الناتج [1+√2,0,1−√2,0] لا يساوي x ولا y ولا z. لكنه يحقق المقادير المطلوبة لأنه ناتج عكس M نفسه؛ لا يوجد في المقدار وحده ما يجبره على اختيار إحدى المتتاليات السابقة.

المثال يثبت عدم فرادة الاسترجاع من المقدار للمتتاليات التي سمحنا بها. لا يقول إن كل مسألة ذات قيود إضافية مستحيلة. معرفة موضع البداية أو شروط على القيم قد تغير السؤال؛ يلزم فحصها بدل افتراض جواب وحيد.

عند مقارنة إشارتين، حدد هل تريد تطابقهما عند الفهارس نفسها أو بعد محاذاة معلنة. احتفظ بالمعاملات المركبة أو بالمقدار والطور معًا إذا كان ترتيب القيم مهمًا للمقارنة.

لم نشغّل FFT أو MATLAB أو جهاز تسجيل. الحسابات جبرية دقيقة والرسوم أصلية؛ ولا نستنتج جودة صوت أو صورة فعلية من هذا المثال ذي الأربع قيم.