مبرهنة غاوس لوكاس: أين تقع جذور المشتقة؟

مبرهنة غاوس لوكاس تحصر جذور المشتقة في الغلاف المحدب المغلق لجذور الأصل. [1]

الخلاصة السريعة

لكثير حدود غير ثابت بمعاملات عقدية، كل جذر لمشتقته يقع في الغلاف المحدب المغلق لجميع جذوره. [1]

الغلاف المحدب يشمل القطع الواصلة بين نقاطه؛ قد يكون مضلعًا أو قطعة مستقيمة، وتدخل حدوده. [1]
في P(z)=(z²−4)(z−2i)، الجذور−2 و2 و2i، وغلافها مثلث.
المشتقة3z²−4iz−4؛ جذراها(±2√2+2i)/3 داخل ذلك المثلث.
مركز المثلث ليس بالضرورة جذرًا للمشتقة؛ في المثال P′(2i/3)=−8/3.
في Q(z)=(z−1)²(z+3)، جذرا المشتقة1 و−5/3؛ الأول يقع على حد الغلاف.
الاحتواء لا يحول كل نقطة في الغلاف إلى جذر للمشتقة، ولا يلزم أن يكون جذر المشتقة جذرًا للأصل.
استبعد كثير الحدود الثابت؛ أما الخطي فمشتقته ثابت غير صفري، دون جذور. [2]

ابنِ الغلاف من جميع الجذور

نمثل العدد u+vi بالنقطة(u,v): الجزء الحقيقي أفقي والتخيلي رأسي. [3] لذلك لا تكفي جذور حقيقية فقط عندما يكون لكثير الحدود جذور أخرى عقدية.

الغلاف المحدب هو مجموعة المتوسطات الموزونة للنقاط بأوزان حقيقية غير سالبة مجموعها1. وهو أصغر مجموعة محدبة تحتويها؛ تشمل القطعة بين أي نقطتين منها. [1]

نختار P(z)=(z²−4)(z−2i)=(z−2)(z+2)(z−2i). قائمة الجذور كاملة:−2 و2 و2i؛ النقاط(−2,0) و(2,0) و(0,2) تصنع مثلثًا.

إذا كتبت z=u+vi، فهذا المثلث يحقق0≤v≤2 و|u|≤2−v. عند ارتفاعv، يمتد المقطع الأفقي من−(2−v) إلى2−v؛ هذه المعادلة تتبع ضلعي المثلث المستقيمين.

لا تستبدل المثلث بدائرة مرسومة حوله ثم تنسب الدائرة إلى المبرهنة؛ الاحتواء المحدد هنا يتعلق بالغلاف نفسه.

احسب جذور المشتقة ثم اختبر مواضعها

نوسع المثال أولًا: P(z)=z³−2iz²−4z+8i. اشتقاق القوى وجمع مشتقات الحدود يعطي P′(z)=3z²−4iz−4؛ الثابت8i يختفي. [2]

القانون التربيعي يعطي المميز(−4i)²−4×3×(−4)=−16+48=32. ومنه z=(4i±4√2)/6=(±2√2+2i)/3.

لكل جذر جزء تخيليv=2/3، وجزء حقيقيu=±2√2/3. حد المقطع عند هذا الارتفاع هو2−2/3=4/3، ولدينا2√2/3<4/3 لأن√2<2.

إذن الجذران داخل المثلث، بعيدًا عن ضلعيه المائلين وقاعدته. تقريب الجزأين الحقيقيين±0.9428 مفيد للرسم، لكن المقارنة الجذرية هي التحقق الدقيق.

لا يساوي أي منهما−2 أو2 أو2i؛ لذلك جذرا المشتقة في المثال ليسا جذورًا للأصل. وجودهما داخل منطقة الجذور لا يجعلهما من قائمة جذور P.

الحد المغلق يظهر مع الجذر المكرر

نأخذ Q(z)=(z−1)²(z+3)=z³+z²−5z+3. جذوره1 مرتين و−3 مرة؛ تكرار النقطة لا يوسع الغلاف، وهو القطعة[−3,1] على المحور الحقيقي.

المشتقة Q′(z)=3z²+2z−5=(z−1)(3z+5)، فتكون جذورها1 و−5/3. القيمة−5/3 تقع بين−3 و1، أما1 فهي الطرف الأيمن نفسه.

يمكن أيضًا رؤية العاملz−1 من قاعدة الضرب: Q′=2(z−1)(z+3)+(z−1)²=(z−1)(3z+5). [2]

الجذر1 على الطرف يبين ضرورة الاحتواء المغلق، الذي يشمل حدود الغلاف. [1]

عند تطبيق النتيجة على نقاط مستقيمة لا تبحث عن مثلث له مساحة: القطعة تكفي، وتدخل أطرافها.

ما الذي لا يقدمه الحصر؟

مركز مثلث المثال الأول هوc=(−2+2+2i)/3=2i/3. بالتعويض: P′(c)=3(−4/9)−4i(2i/3)−4=−4/3+8/3−4=−8/3؛ المركز ليس جذرًا للمشتقة.

حتى النقطة0 على قاعدة المثلث لا تصفر المشتقة: P′(0)=−4. النتيجة تحدد مكان البحث، ولا تعطي كل نقطة في الغلاف بوصفها حلًا.

شرط عدم الثبات لازم. مثلًا K(z)=5 ليس له جذور، بينما K′(z)=0 عند كلz. لا يمكن قراءة هذه الحالة كاحتواء في غلاف قائمة فارغة.

أما L(z)=2z+7 فله جذر−7/2، ومشتقته2 لا تصفر. لا توجد جذور للمشتقة تحتاج إلى احتواء؛ لا نستنتج ضرورة وجود جذر لها من المبرهنة.

التمييز بين الثابت والخطي يتبع قاعدة مشتقة الثابت والقوة الأولى. [2] ابدأ بدرجة الأصل، ثم احصر جميع جذوره، ثم احسب المشتقة؛ لا تعكس اتجاه الاحتواء أو تستبدل إيجاد الحلول برسم المنطقة.

غلاف جذريQ هو القطعة[−3,1]؛ جذر المشتقة1 يطابق الطرف الأيمن. — صفان متوازيان على مقياس واحد يميزان مجموعتي الجذور، لا محورين عقديين.

المثال	جذور الأصل	جذور المشتقة
(z²−4)(z−2i)	−2،2،2i	(±2√2+2i)/3
(z−1)²(z+3)	1 مكرر،−3	1،−5/3
2z+7	−7/2	لا توجد

للتوسع: القانون العام والمميز.

المراجع

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.

ابنِ الغلاف من جميع الجذور

احسب جذور المشتقة ثم اختبر مواضعها

الحد المغلق يظهر مع الجذر المكرر

ما الذي لا يقدمه الحصر؟

المراجع

اقرأ أيضًا

مقالات عشوائية