قانون القدرة: متى تقسم الطاقة على الزمن؟

ابدأ بالكمية والفترة، قبل اختيار العدد

في أول تمرين نعرف أن انتقالًا معينًا بلغ تسعمئة جول بين بداية الرصد ونهايته، وأن الفترة خمس عشرة ثانية. لا نحتاج إلى تخمين اسم آلة كي نقسم هذين المعطيين. لكننا نحتاج أن يشيرا إلى العملية نفسها: إذا كانت الطاقة محسوبة حتى نهاية دقيقة، والزمن المدوّن يخص أول خمس عشرة ثانية فقط، لم تعد القسمة جوابًا عن الفترة التي وصفتها الطاقة.

اكتب بطاقة قصيرة للعملية: ما الطاقة المقصودة، من أي بداية إلى أي نهاية، وبأي وحدة؟ نسمي المقدار هنا ΔE للتأكيد على أنه انتقال خلال فترة، لا كل طاقة موجودة في جسم. وقد تستعمل المسألة رمز الشغل W عندما تصف شغل قوة. اختيار الرمز لا يعوض وصف الكمية؛ لا نضع طاقة مخزنة لم تدخل العملية مكان الطاقة المنقولة خلال زمنها.

في بطاقة تمريننا، البسط تسعمئة جول والمقام خمس عشرة ثانية. لو أضفنا إلى البسط مقدارًا آخر من نشاط لاحق، لوجب توسيع الزمن إلى الفترة المناسبة أو فصل النشاطين في جدول. هذه ملاحظة عن حدود الحساب: الجواب الصحيح حسابيًا قد يجيب سؤالًا مختلفًا عندما تغير أحد حدّي السجل وتترك الآخر. احتفظ بنسخة واضحة من الفترة التي تعنيها نتيجتك.

حساب متوسط بسيط مع فحص الوحدة

نقسم 900 J / 15 s = 60 W. نقرأ النتيجة ستين جولًا لكل ثانية على نحو متوسط خلال الفترة المعطاة. في تمريننا ليست هناك بيانات عما جرى في كل ثانية، لذلك لا نقول إن كل ثانية حملت بالضرورة ستين جولًا. تستطيع عمليات مختلفة داخل هذه المدة الوصول إلى المجموع نفسه، كما سنرى في المثال المتغير لاحقًا.

الفحص العكسي هو 60 W × 15 s = 900 J. إذا حصلت من القسمة على عدد ثم أعاد ضربه في الزمن مقدارًا غير الذي بدأت به، فراجع القسمة أو التحويل أو اختيار الفترة. أما قسمة خمس عشرة على تسعمئة فتعطي 1/60 s/J؛ هذه ليست وحدة قدرة. لا تصحح ترتيب الكمية بكتابة واط بجوار أي حاصل آليًا.

لو أعطيت المدة بربع دقيقة، فحوّلها إلى خمس عشرة ثانية قبل استعمال الجول والثانية في هذه الصورة. احتفظ بوحدة الزمن داخل السطر، ولا تنقل العدد ربعًا إلى مقام يتوقع الثواني. وفي جوابك لا تترك «ستين» وحدها؛ فقد يعني الرقم ستين جولًا أو ثانية أو واطًا بحسب السياق. الوحدة جزء من النتيجة، والفترة توضح أي متوسط حسبته.

الطاقة الأكبر لا تعطي ترتيب القدرة وحدها

للمقارنة نؤلف عملية ثانية تنقل ستمئة جول خلال اثنتي عشرة ثانية. متوسطها 600/12 = 50 W. في هذه الحالة العملية الأولى أعلى طاقة وأعلى متوسط قدرة، لكن توافق الترتيبين هنا نتيجة العددين والزمنين معًا. لا نستخرج منه قاعدة تجعل البسط وحده كافيًا لترتيب كل عمليتين. يجب حفظ المقام عند عرض كل نتيجة للمقارنة.

غيّر زمن العملية الأولى وحده إلى ثلاثين ثانية، مع بقاء تسعمئة جول. صار متوسطها 900/30 = 30 W، أقل من الخمسين رغم أنها نقلت طاقة أكثر. هذا فرع جديد من التمرين، لا وصف إضافي للعملية الأولى القديمة. إذا جمعت بطاقة الثلاثين ثانية مع نتيجة الستين واطًا دون تنبيه، صنعت سجلًا لا تعيد أرقامه بعضها بعضًا عند الفحص.

وعند توحيد الزمن إلى اثنتي عشرة ثانية لكلتا العمليتين، بشرط أن نعطيهما فعلًا الطاقتين نفسيهما في هذا الفرع، نحصل على خمسة وسبعين واطًا للأولى وخمسين للثانية. تغير ترتيب القدرة عندما تغير شرط الزمن. لهذا اكتب بجانب المقارنة هل المدة موحدة أم مختلفة؛ لا تجعل عبارة «أقوى» بديلًا من تسمية الكمية التي رتبتها في مسألة حسابية محددة.

مثال رفع مثالي: طاقة واحدة وزمنان

قرب سطح الأرض، مع تقريب الجاذبية منتظمة، تغير طاقة الوضع ΔU = mgΔh. في رفع مثالي دون تغير طاقة حركة أو فقد، يساوي شغل الرفع هذا التغير. [3]

نختار كتلة عشرة كيلوغرامات، وارتفاعًا رأسيًا مقداره متران، وقيمة للجاذبية 9.8 m/s². نعطي بداية ونهاية دون تغير طاقة الحركة، ونهمل الفقد في النموذج؛ الشغل المطلوب للرفع 10×9.8×2 = 196 J. هذه معطيات صنعناها للتمرين. لا نستبدل الكتلة بالوزن: الوزن في نموذجنا ثمانية وتسعون نيوتن، وهو ناتج ضرب الكتلة في قيمة الجاذبية المعطاة.

في الفرع أ ننجز الرفع خلال سبع ثوان، فيكون المتوسط 196/7 = 28 W. وفي الفرع ب نختار أربع عشرة ثانية، فيكون 196/14 = 14 W. وصلنا إلى الارتفاع نفسه بالطاقة الميكانيكية الناتجة نفسها في الافتراضين، لكن المعدل تضاعف عندما صار الزمن نصفًا. الرسم الأول يقارن بطاقتي الزمن والمعدل، ولا يصور نظام حبال أو معدات لتنفيذ الرفع.

لا تحدد النتيجة قدرة دخل محرك فعلي. حسبنا الشغل الناتج في مهمة الرفع كما عرّفناها؛ لم نقدم فقدًا أو تغيرًا آخر في جهاز. وإذا تغيرت طاقة الحركة بين البداية والنهاية، أو أضفنا فقدًا، احتجنا إلى بيانات ذلك الفرع قبل إبقاء شغل الرفع مساويًا للمئة والستة والتسعين. لا نستعمل نتيجة النموذج المثالي كاختيار جاهز لقدرة جهاز في الواقع.

القوة والسرعة: الاتجاه يدخل في الحساب

لقوة تؤثر في نقطة متحركة، القدرة الميكانيكية P = F⃗ · v⃗. تصبح Fv للمقدارين عندما تكون القوة والسرعة في الاتجاه نفسه؛ اتجاههما جزء من العلاقة. [1]

نؤلف لحظة قوة مقدارها أربعون نيوتن، وسرعة نقطة تأثيرها نصف متر لكل ثانية في اتجاه القوة نفسه. نعطيهما الاتجاه ذاته صراحة، فنحصل على 40×0.5 = 20 W لتلك القوة في هذه اللحظة. هذا حساب مختلف عن قسمة طاقة فترة كاملة على زمنها: بدأنا من قوة وسرعة لحظيتين، ولم نملك بعد سجلًا يثبت بقاءهما على الحال نفسها طوال مدة طويلة.

في فرع ثان نعطي القوة بالمقدار نفسه متعامدة مع اتجاه السرعة. يصير حاصل الضرب القياسي صفرًا. وفي فرع ثالث نعطي اتجاهًا معاكسًا، فتكون القدرة -20 W. المقداران لم يتغيرا، لكن الاتجاه غيّر النتيجة. لذلك لا تكفي بطاقة كتب فيها أربعون ونصف فقط؛ تحتاج أن تعرف العلاقة الاتجاهية وأي قوة ونقطة حركة تقصد المسألة. الإشارة هنا تخص أثر القوة المحددة.

الشغل الميكانيكي عند السكون ومع الإشارة

شغل قوة ثابتة هو W = Fd cos θ. الإزاحة الصفرية تعطي شغلًا ميكانيكيًا صفريًا لتلك القوة؛ والتعامد يجعل الشغل صفرًا، بينما اتجاه القوة المعاكس للإزاحة يعطي إشارة سالبة. [2]

في صيغة الشغل، d مقدار الإزاحة وθ الزاوية بين القوة والإزاحة. الرمز W للشغل هنا؛ أما W بجوار عدد قدرة فهو رمز وحدة الواط. [2]

في نموذج جسم ثابت المكان طوال الفترة، تؤثر قوة رفع في الجسم دون إزاحة نقطة تأثيرها في وصفنا. يكون الشغل الميكانيكي لتلك القوة على هذا الجسم صفرًا في النموذج، ومتوسطه صفرًا كذلك. لا نستخرج من ذلك أن الشخص الذي يمسك الجسم لا يستهلك أي طاقة؛ لم نحسب الطاقة داخل جسم الشخص أو عملياته الحيوية. السؤال الميكانيكي الذي حللناه له طرف وحدود معلومان.

ولشرح الإشارة نختار شغل قوة محددة مقداره سالب ستين جولًا خلال ثلاث ثوان. متوسط قدرة تلك القوة -60/3 = -20 W. لا نقرأ السالب بأنه زمن سالب أو قوة غير موجودة، ولا نجمعه مع قيمة موجبة بعد إسقاط إشارته إذا كان المطلوب مجموعًا موقّعًا. اذكر دائمًا هل تتتبع قوة بعينها أم محصلة قوى، وأي انتقال للطاقة تقصده النتيجة.

القدرة اللحظية والمتوسط ليسا القراءة نفسها

القدرة اللحظية هي معدل الشغل في لحظة: P = dW/dt. إذا كانت القدرة ثابتة، كان الشغل حاصل ضربها في الزمن؛ وإذا تغيرت، نجمع أثرها خلال الفترة أو نكاملها. [1]

للانتقال إلى سجل متغير، نؤلف مرحلة أولى قدرتها عشرون واطًا لمدة عشر ثوان، ثم مرحلة ثانية قدرتها ثمانون واطًا لمدة خمس ثوان. لا نسمي هذا قياسًا؛ إنه تعريف كامل للنموذج الحسابي على مرحلتين. عند ثانية تقع داخل المرحلة الأولى، يصف العدد عشرون تلك المرحلة، بينما يصف العدد ثمانون نقطة داخل المرحلة الثانية. ليس أحد الرقمين وحده متوسط الفترة كلها.

اخترنا الانتقال بين المرحلتين حادًا في الرسم لتسهيل الحساب، ولم نعطِ تفاصيل فيزيائية عن التحول عند اللحظة الفاصلة. يكفي لهذا التكامل البسيط معرفة قدرة كل جزء ومدته، ولا نحتاج أن ندعي استجابة فورية لآلة حقيقية. إذا أردت منحنى سلسًا أو قراءة فعلية، يجب أن تقدمها ثم تعيد الحساب المناسب لها. نموذجان لهما زمن البداية والنهاية نفسيهما قد يختلفان في داخل الفترة.

اجمع طاقة الأجزاء قبل حساب المتوسط

طاقة المرحلة الأولى 20 W × 10 s = 200 J، وطاقة الثانية 80 W × 5 s = 400 J. نجمع المئتين والأربع مئة إلى ستمئة جول، ونجمع المدد إلى خمس عشرة ثانية. إذن متوسط الفترة كلها 600/15 = 40 W. هذه الخطوات تحتفظ بوزن كل جزء الزمني؛ المرحلة القصيرة تحمل معدلًا أكبر، لكننا لا نعطيها عشر ثوان لمجرد أنها صف ثان في الجدول.

لماذا لا يكون المتوسط (20+80)/2 = 50 W؟ لأن هذا الحساب أعطى المرحلتين وزنين متساويين، وهما في نموذجنا غير متساويتين في المدة. عشرون بقيت ضعف الزمن الذي بقيت فيه ثمانون. لو جعلنا كل مرحلة خمس ثوان في فرع مستقل، لكان مجموع الطاقة خمسمئة جول والزمن عشر ثوان، ومتوسطه خمسين فعلًا. صحة المتوسط البسيط هنا مرتبطة بذلك الشرط الجديد.

يمكن أيضًا كتابة الحساب P_avg=(20×10+80×5)/(10+5). تعطي الصيغة أربعين وتحفظ المدد بجوار المعدلات. اختبر الناتج: 40×15=600. أما خمسون مضروبة في خمس عشرة فتعطي سبعمئة وخمسين جولًا، أي أكثر بمئة وخمسين من الطاقة التي عرفناها للمرحلتين. هذا الفارق يكشف الخطأ في معنى الوزن قبل أن نبحث عن خطأ في الآلة الحاسبة.

قراءة رسم القدرة والزمن دون خلط المحورين

المحور الأفقي في الرسم هو الزمن بالثانية، والعمودي القدرة بالواط. المستطيل الأول عرضه عشر ثوان وارتفاعه عشرون واطًا؛ حاصل ضربهما مئتا جول. الثاني عرضه خمس ثوان وارتفاعه ثمانون؛ حاصله أربع مئة جول. لذلك لا تقارن ارتفاع المستطيلين وحده لمعرفة طاقتيهما. تحتاج الارتفاع والعرض معًا، وهما في هذا الرسم يحملان وحدتين مختلفتين لا تتبادل أدوارهما.

الخط المتقطع عند أربعين يوضح المعدل الثابت الذي يعطي الطاقة نفسها خلال الخمس عشرة ثانية. المساحة الحسابية المقابلة له 40×15=600 تساوي مجموع المستطيلين. هذا تمثيل للمتوسط لا منحنى إضافي جرى بالتزامن مع المرحلتين؛ لا تجمع طاقة الخط مع طاقتيهما. كما أن الأربعين لا تعني أن المرحلة الأولى بلغت هذا الارتفاع في سجلنا، أو أن الثانية انخفضت إليه.

وأكبر قدرة في نموذج المرحلتين ثمانون واطًا. نميزها من المتوسط أربعين دون استنتاج حد مسموح لجهاز؛ الأكبر هنا وصف لقائمة قيم ألفناها. إذا سألت عن طاقة أول عشر ثوان، تقرأ المستطيل الأول وحده وتحصل على مئتين. وإذا سألت عن الفترة كلها، تجمع الاثنين. ارجع إلى نطاق السؤال قبل اختيار مساحة من الشكل، واحتفظ بالمحاور عند نقل الصورة أو نتيجتها.

إضافة انتظار تغير متوسط الفترة الموسعة

نوسع نموذج المرحلتين بإضافة خمس ثوان أخيرة نعطي فيها قدرة انتقال صفرًا للكمية نفسها التي نتتبعها. تبقى الطاقتان السابقتان مئتين وأربع مئة، وتضيف الفترة الأخيرة 0×5=0 J. صار مجموع الزمن عشرين ثانية، فيكون المتوسط الموسع 600/20 = 30 W. لم ينخفض متوسط الخمس عشرة ثانية القديمة عن أربعين؛ حسبنا الآن فترة أخرى تشمل الانتظار الذي عرّفناه.

لو كتب شخص ثلاثين في تقرير وآخر أربعين، فلن يكون أحدهما مخطئًا بالضرورة قبل قراءة بداية كل فترة ونهايتها. في نموذجنا يصف الأول العشرين ثانية والثاني الخمس عشرة. لكن ادعاء ثلاثين للخمس عشرة نفسها لا يطابق طاقتها، لأن حاصل الضرب يعطي أربعمئة وخمسين جولًا. يساعدك الفحص العكسي على تمييز اختلاف السؤال من اختلاف العملية الحسابية.

وفي سجل عملي لا نفترض أن كلمة انتظار تعني دائمًا صفر طاقة لكل مكونات النظام. وضعنا الصفر معطى في تمرين الانتقال الذي اخترناه؛ لو أعطينا للجزء الأخير مقدارًا آخر، لوجب إدخاله في البسط. هذا يجعل تعريف الكمية في أول المقال مهمًا حتى نهاية الحل: الصفر لقناة معينة لا يثبت أن كل ما حولها بلا استهلاك، ولا يبرر حذف فترة كانت داخلة في السؤال.

حل المعادلة للمجهول مع إبقاء شرط المتوسط

قد يكون الزمن مجهولًا بدل القدرة. نعطي طاقة منقولة سبعمئة وخمسين جولًا ومتوسطًا عبر الفترة المعنية خمسين واطًا، فيكون Δt=750/50=15 s. لا يشترط هذا الجواب أن يكون المعدل اللحظي خمسين في كل ثانية؛ أعطينا المتوسط للفترة كلها. أما إذا كان العدد خمسين قراءة لحظة منفردة فقط، فلا تكفي هذه البطاقة وحدها لاستنتاج زمن نقل المقدار المذكور.

وقد تكون الطاقة مجهولة: متوسط خمسة وثلاثين واطًا خلال عشرين ثانية يعطي ΔE=35×20=700 J. تسمية العدد متوسطًا للفترة شرط في معطيات هذا الفرع، مثلما تكفي القدرة الثابتة إذا أعطيت ثابتة فعلًا. لا تستخدم أكبر عدد ظهر في رسم متغير مقامًا أو عاملًا لكل الفترة من غير إعادة تعريف؛ ثمانون في الرسم السابق لم يعطِ ستمئة عند ضربه في خمس عشرة.

وفي المثال نفسه إذا كانت قيمة القدرة صفرًا، فلا تقسم الطاقة عليها لاستنتاج زمن محدد. انتقال صفر طاقة مع متوسط صفر يمكن أن يوافق مددًا متعددة، أما انتقال موجب مع متوسط صفر للفترة المعنية فلا يطابق معادلتنا لتلك الفترة المحددة. القسمة الآلية لا تحل نقص المعطيات أو تناقضها. افحص أولًا هل للمجهول جواب تسمح به البطاقة، ثم اعرض الوحدة مع النتيجة.

بطاقة جواب وتمارين تحفظ حدود الحساب

أعد حل فرع نقل ألف ومئتي جول خلال أربعين ثانية. القسمة تعطي ثلاثين واطًا، والفحص 30×40=1200 يعيد المعطى. ثم اجعل الزمن عشرين ثانية مع بقاء الطاقة؛ صار المتوسط ستين. اكتب سطرًا مستقلًا لكل فرع كي لا تنقل زمنًا من أحدهما إلى نتيجة الآخر. المقارنة هنا بين معدلين لفترتين، ولا تخبرنا تفاصيل التغير داخل أي منهما.

وفي تمرين مرحلتين جديد أعطِ ثلاثين واطًا لست ثوان، وتسعين واطًا لثلاث ثوان. الطاقتان مئة وثمانون ومئتان وسبعون جولًا؛ مجموعهما أربع مئة وخمسون خلال تسع ثوان، فيكون المتوسط خمسين واطًا. المتوسط البسيط للثلاثين والتسعين يعطي ستين، وهو مختلف بسبب المدد. اخترنا هذه القيم مستقلة عن الرسم؛ لا تغير أرقام الرسم ثم تتوقع أن تبقى طاقته ستمئة.

اجعل جوابك النهائي جملة تضم اسم الكمية والفترة والافتراض والنتيجة: «متوسط قدرة الرفع المثالي في فرع السبع ثوان ثمانية وعشرون واطًا». تستطيع عندها التحقق من الطاقة والزمن دون تخمين قصد الكاتب. وإذا نقص وصف القوة أو اتجاهها أو مدة قراءة، سمِّ المعلومة الناقصة بدل إكمالها ضمنيًا. فهم قانون القدرة يشمل معرفة السؤال الذي تسمح به البيانات، إلى جانب ترتيب القسمة أو الضرب على الورق.