قانون جول: التيار والمقاومة والزمن في دفتر الحرارة

حدد المقاومة والفترة التي يخصها الرقم

قانون جول في الفيزياء يساعد على قراءة مقدار الطاقة التي يحولها مرور تيار في مقاومة خلال مدة محددة. لكن عبارة «المقاومة أكبر» لا تعطي وحدها نتيجة واحدة عن الطاقة؛ فقد نثبت التيار في إحدى المقارنتين، ونثبت الجهد في الأخرى. سنفتح دفترًا مؤلفًا لمقاومات أومية مثالية، ونحسب القدرة والطاقة، ثم نغير شروطًا معلومة ونراجع الوحدات وتوزيع الطاقة. كل القيم التالية اختيارات تعليمية، وليست قياسات جهاز أو تعليمات توصيل. نسمي الطاقة الحرارية المحولة بالرمز E، ونفصلها عن سؤال درجة الحرارة النهائية.

نضع في سطر الدفتر المقاومة ر بقيمة ستة عشر أومًا، ونعطي تيارًا ثابتًا قدره ثلاثة أرباع أمبير لمدة ثمانين ثانية. الثمانون مدة مرور التيار في السؤال، وليست قراءة ساعة في نهاية اليوم. إذا بدأ الجزء المعني عند الثانية العاشرة وانتهى عند التسعين، فالمدة ثمانون أيضًا. نكتب البداية والنهاية عند الحاجة، ثم نحسب الفرق الذي سيضرب في القدرة، بدل وضع وقت النهاية كما هو في القانون.

ونحدد أن السطر يخص المقاومة ر نفسها، لا جميع ما قد يذكره وصف جهاز طويل. المعطيات تسمح بحساب طاقة هذه المقاومة، ولم نعط محركًا أو شاشة أو بطارية ذات مقاومة داخلية. لذلك لا نضيف لها بنودًا افتراضية ولا نطلق على ناتجها استهلاك أي جهاز يحمل اسمًا تجاريًا. يكفي في دفترنا أن يبقى اسم العنصر مع وحدات تياره ومقاومته ومدته، حتى نعرف أي كمية حسبنا فعلًا.

الثبات فرض لهذه المسائل وليس وصفًا عامًا لكل عنصر كهربائي. عند تعديل سطر، سنعيد التصريح بالقيم التي أبقيناها ثابتة والقيمة التي بدلناها. يمكن عندئذ إعادة الحساب من الأعداد المعطاة من غير تخمين طريقة تغير مقاومة فعلية أثناء التسخين. ضع تحت البطاقة عبارة «نموذج مقاومة أومية ثابتة في الفترة»، لتظل المقارنة التي نفذتها مرتبطة بحدود الدفتر الذي اخترناه.

من القدرة إلى الطاقة، ثم إلى الصيغ المكافئة

للمقاومة الأومية القدرة P=IV=I²R=V²/R. وعند ثباتها خلال مدة معلومة تكون الطاقة E=Pt؛ الواط جول لكل ثانية، أما الطاقة فبوحدة الجول. [1]

نستعمل V=IR لفرق الجهد على المقاومة والتيار فيها. التيار بالأمبير، والمقاومة بالأوم، وفرق الجهد بالفولت. [2]

في المثال الذي اخترناه، تضرب التيار في نفسه ثم في المقاومة، أو تضرب التيار في فرق الجهد المناسب، فتصل إلى القدرة نفسها. لا تضف الزمن في بعض الصيغ ثم تقارن الناتج بقدرة من صيغة أخرى. نؤلف خانتين: الأولى تحمل ما يحول في كل ثانية، والثانية تحمل المجموع خلال الفترة. وجود الخانتين يجعل معنى كل ضرب وقسمة ظاهرًا، ويمنع خلط وحدة الواط مع الجول لمجرد أن الرقمين يتعلقان بالمقاومة ذاتها.

تتفق الصيغ عندما ترجع إلى الحالة نفسها. في دفترنا لا نختار جهدًا كيفما اتفق ثم ندخله مع التيار الأصلي والمقاومة الأصلية؛ الجهد الموافق لهما سيحسب من علاقتهما. وإذا أعطاك سؤال جهد عنصر وتياره مباشرة، فاستعمل هذين العددين لهذا العنصر. أما أخذ جهد مجموع مقاومات ووضعه على كل واحدة منها فيحمل افتراضًا آخر عن التوصيل، كما سنرى في المثالين الأخيرين.

الحساب الأساسي خطوة خطوة

نبدأ بتربيع التيار: 0.75²=0.5625. ثم نضرب في ستة عشر فنجد P=0.5625×16=9 W. خلال ثمانين ثانية يكون المجموع E=9×80=720 J. يمكن أن تكتب هذه الخطوات في سطر واحد، لكن فصلها مفيد في أول حل لأنه يكشف أين ظهرت القدرة وأين دخلت المدة. ناتج التربيع خطوة عددية لاستخراج القدرة من معطيات البطاقة؛ ليس تيارًا جديدًا.

نراجع بفرق الجهد الموافق: V=0.75×16=12 V. ثم نحسب القدرة من 0.75×12=9 W، أو من 12²/16=144/16=9 W. عادت الطرق الثلاث إلى تسعة واطات؛ هذه مراجعة لاتساق المعطيات والتعويض. لا تعد ثلاثة نواتج مستقلة وتجمعها، لأنها ثلاث طرق لحساب الكمية نفسها. مجموع الطاقة في البطاقة يبقى سبعمئة وعشرين جولًا، لا ثلاثة أضعاف ذلك.

وللمراجعة العكسية، اقسم 720 J على 80 s فتجد 9 W مرة أخرى. ثم اقسم التسعة على المقاومة ستة عشر، فتجد مربع التيار 0.5625 A²، ومن جذره الموجب تعود إلى مقدار التيار المعطى 0.75 A. المطلوب هنا مقدار التيار في هذه الحالة المحددة؛ لم تعطِ الطاقة وحدها اتجاهه. هذه المراجعة تميز بين معلومات البيانات التي دخلت السؤال وبين ما يمكن للعدد النهائي استعادته.

التيار المضاعف لا يعطي طاقة مضاعفة هنا

نفتح بطاقة مستقلة بتيار واحد ونصف أمبير، مع المقاومة ستة عشر أومًا والزمن ثمانين ثانية كما كانا. نحسب 1.50²=2.25، ثم P=2.25×16=36 W، ثم E=36×80=2880 J. النسبة إلى طاقة البطاقة الأصلية هي 2880/720=4. إذا كتبت ألفًا وأربعمئة وأربعين بدلًا من ذلك، تكون قد ضاعفت الناتج مرة واحدة وأهملت أن التيار يدخل مربعًا في هذه المقارنة.

يلزم لهذا التيار، في نموذجنا، فرق جهد 1.50×16=24 V على المقاومة. لذلك لا تقول إن الجهد ظل اثني عشر فولتًا أيضًا. البطاقة الجديدة أعلنت تثبيت المقاومة والزمن وزيادة التيار، ثم حسبنا الجهد الذي يتفق معها. تستطيع اختيار مقارنة أخرى تثبت الجهد، لكن يجب أن تعطيها شروطها وتعيد حساب التيار. تسمية ما ثبت ليست تفصيلًا جانبيًا؛ إنها التي تجعل سطر المقارنة قابلًا للتحقق.

ونؤلف فرعًا ثالثًا نصف فيه التيار الأصلي إلى 0.375 A، ونبقي المقاومة والزمن. مربعه 0.140625، وقدرته 2.25 W، وطاقته 180 J. هذه ربع السبعمئة والعشرين، كما تؤكد القسمة. لا نجمع الفروع الثلاثة على أنها فترات تشغيل متتابعة؛ كل بطاقة تصف بديلًا مستقلًا. سنحدد صراحة الفترات المتتابعة حين نحتاج جمع طاقاتها لاحقًا.

تغير المدة يحافظ على معنى القدرة

في بطاقة الزمن، نثبت التيار والمقاومة الأصليين، ونختار مدة مئة وستين ثانية. القدرة بقيت تسعة واطات لأن الحساب الذي أنتجها لم يتغير، بينما صارت الطاقة 9×160=1440 J. ونختار في بطاقة أخرى أربعين ثانية، فتكون الطاقة 360 J. تستطيع أن تقارن هذه النتائج ببطاقة الثمانين مباشرة: تضاعفت المدة في الأولى ونُصفت في الثانية، فتبعت الطاقة التعديل نفسه ضمن هذا الفرض.

وإذا أعطينا طاقة ألف وثمانين جولًا للمقاومة الأصلية مع بقاء القدرة تسعة واطات، فالمدة 1080/9=120 s، أي دقيقتان. هذه مسألة عكسية لا تحتاج إعادة تعيين تيار مجهول، لأننا حافظنا على البطاقة الكهربائية وأعطينا طاقة الفترة. اكتب ما المطلوب قبل الحساب؛ ففي السؤال الأول كنا نجمع الطاقة خلال مدة، أما هنا نستعيد مدة تلزم لمجموع محدد عند المعدل المعطى.

قد تتساوى طاقتان مع اختلاف القدرة والمدة: ستة وثلاثون واطًا في عشرين ثانية تعطي 720 J أيضًا. هذا هو مجموع البطاقة الأصلية، رغم أن المعدل صار أربعة أمثاله والمدة ربعها. ضع إلى جانب كل عدد طاقة قدرته ومدته، بدل اختزال القصة إلى كلمة «نفس التسخين». مجموع الطاقة المتساوي لا يجعل سجل مرورها في الزمن متطابقًا، ولا يقدم وحده درجة حرارة نهائية لجسمين مختلفين.

مضاعفة المقاومة عندما نثبت التيار

في اللوحة الأولى من الرسم الداخلي، نرفع المقاومة من ستة عشر إلى اثنين وثلاثين أومًا، ونصرح بأن التيار ثابت عند ثلاثة أرباع أمبير لمدة ثمانين ثانية. القدرة الجديدة 0.75²×32=18 W، والطاقة 18×80=1440 J. صارت الطاقة ضعف البطاقة الأصلية في هذه المقارنة بالذات. لا نحتاج تغيير أرقام التيار أو المدة كي تظهر النتيجة، لأن هذا الفرع أعلن بقاءهما منذ البداية.

فرق الجهد اللازم في البطاقة الجديدة هو 0.75×32=24 V، بدل الاثني عشر في البداية. اكتب هذا الجهد بجانب النتيجة؛ فهو يكشف أن عبارة «ثبتنا التيار» لها أثر في بقية حقول الحالة. إذا راجعت القدرة بطريقة ثانية، تجد 0.75×24=18 W أيضًا. أما ضرب التيار الأصلي في الجهد الأصلي هنا فسيعيد تسعة واطات، لكنه يخلط بيانات قبل التغيير ببيانات بعده.

وفي فرع مستقل نجعل المقاومة ثمانية أوم مع إبقاء التيار والزمن نفسيهما. يكون الجهد ستة فولتات والقدرة 4.5 W والطاقة 360 J. هذه نصف البطاقة الأصلية. نستطيع تنظيم النتائج في ترتيب ثمانية ثم ستة عشر ثم اثنين وثلاثين أومًا، لكن اسم عمود التثبيت يظل ضروريًا: تيار واحد ومدة واحدة. لولا هذا الاسم، قد ينقل القارئ الترتيب نفسه إلى مقارنة جهد ثابت فيخطئ.

النتيجة الأخرى عندما نثبت الجهد

نبدأ من الحالة الأصلية نفسها، ثم نجعل المقاومة اثنين وثلاثين أومًا، لكننا نحافظ هذه المرة على جهد اثني عشر فولتًا والمدة ثمانين ثانية. التيار الموافق هو 12/32=0.375 A، والقدرة 12²/32=4.5 W، والطاقة 360 J. صار المجموع نصف الأصل، لا ضعفه. لا يوجد تعارض بين هذه النتيجة ونتيجة اللوحة السابقة؛ الذي تغير هو الحقل الذي قررنا إبقاءه ثابتًا أثناء تبديل المقاومة.

راجع النتيجة من التيار الجديد: 0.375²×32=4.5 W. يجب أن تستعمل هذا التيار مع المقاومة الجديدة في المعادلة، لا الثلاثة أرباع القديمة. الحسابان يصلان إلى الكمية نفسها لأنهما يخصان السطر نفسه. أما وضع 0.75 A و32 Ω في سطر يفترض 12 V، فلا يمثل حالة أومية متسقة من المعطيات التي اخترناها؛ الضرب يعود إلى جهد أربعة وعشرين.

والفرع المقابل عند جهد ثابت يجعل المقاومة ثمانية أوم، فتكون I=1.50 A وP=18 W وE=1440 J. قارن هذين الفرعين بفرعي التيار الثابت: بعض أرقام الطاقة تتكرر، لكن اتجاه تغير المقاومة مختلف بين المقارنتين. لذلك اربط جواب «تزداد» أو «تنقص» بالشرط المسمى. الرقم وحده، حتى إن كان صحيحًا، لا يحمل جميع الفروض التي جعلته نتيجة السؤال.

الملي أمبير والدقائق قبل التعويض

نؤلف مسألة أخرى بتيار 250 mA ومقاومة 32 Ω ومدة ثلاث دقائق. نحول التيار إلى 0.250 A، والزمن إلى 180 s. تصبح القدرة 0.250²×32=2 W، والطاقة 2×180=360 J. لم نستعمل العدد مئتين وخمسين في خانة الأمبير، ولا العدد ثلاثة في خانة الثانية؛ كلاهما كان يحمل وحدة مختلفة في نص المسألة.

إذا نسيت تحويل التيار، فإن تربيع مئتين وخمسين بدل ربع أمبير يكبر مربع القيمة مليون مرة في هذا المثال. وإذا حولت التيار وتركت الزمن ثلاثة كما هو، وصلت إلى ستة جول فقط، أي ستين مرة أقل من المطلوب. الخطآن يعملان في موضعين مختلفين من العملية، ولا يصلحهما تعديل شكل الوحدة المكتوبة في نهاية الحل. يجب أن يدخل كل مقدار بالوحدة التي تخص العلاقة المستخدمة.

ونقرأ 0.36 kJ على أنها 360 J، كما نقرأ 250 mA على أنها ربع أمبير. هذه كتابة ثانية للمقدار، لا بطاقة جديدة بقيم فيزيائية مختلفة. في مراجعة الجدول يمكنك تحويل جميع الطاقات إلى الجول أولًا، ثم ترتيب الأرقام أو جمعها بحسب السؤال. أما مقارنة 0.36 مباشرة مع 720 من غير وحدتيهما، فتخفي فرق المقياس بدل تفسير مقدار الطاقة في كل بطاقة.

فترتان معلومتان تجمع طاقتيهما

نضع للمقاومة ستة عشر أومًا فترة أولى عشرين ثانية بتيار ثلاثة أرباع أمبير، ثم فترة ثانية عشرين ثانية بتيار واحد ونصف أمبير. كل تيار ثابت داخل فترته في هذا الفرض، ولا نعطي زمنًا للانتقال بينهما. طاقة الأولى 9×20=180 J، والثانية 36×20=720 J، والمجموع 900 J في أربعين ثانية. هنا يصح الجمع، لأن السطرين يمثلان فترتين في السجل نفسه.

متوسط القدرة على الفترة الكاملة هو 900/40=22.5 W. أما متوسط مقدار التيار للفترتين المتساويتين فهو (0.75+1.50)/2=1.125 A. إذا وضعت هذا المتوسط في صيغة الطاقة لمدة الأربعين، حصلت على 1.125²×16×40=810 J، لا التسعمئة المحسوبة. الفرق يبين أن تربيع المتوسط ليس هو جمع إسهام مربعات التيارين خلال مدتيهما.

والحساب الذي استعمل متوسط القدرة نجح لأننا استخرجنا ذلك المتوسط من مجموع الطاقة والمدة نفسيهما. لا تحتاج في هذا التمرين منحنى تيار مستمرًا؛ يكفي أن تقسم السجل إلى جزأين معلومي المدة والقيمة وتجمع طاقتيهما. إذا أعطيت سجلًا بتغير آخر أو فترة انتقال غير مهملة، فهي بيانات جديدة تحتاج معالجة تناسبها. لا تضف لها تيارًا متوسطًا من اختيارك ثم تزعم أنه أعاد مجموع السجل الأصلي.

توزيع الطاقة على مقاومتين في التوالي

في التوالي يمر التيار نفسه بالمقاومات، وتتجمع مقاوماتها، ويُقسم جهد المصدر بينها. نضع جهد كل عنصر عند حساب قدرته من V²/R. [2]

نختار مقاومتين أربع أوم واثنتي عشرة أوم، ومصدرًا مثاليًا بجهد اثني عشر فولتًا، وأسلاكًا نهمل مقاومتها في النموذج. المجموع ستة عشر أومًا، والتيار 12/16=0.75 A. خلال ثمانين ثانية تعطي الأولى 0.75²×4×80=180 J، والثانية 0.75²×12×80=540 J. مجموعهما سبعمئة وعشرون، مثل المقاومة المكافئة في بطاقتنا الأصلية. لم نضف طاقة المكافئة فوق طاقتي العنصرين لأنها تمثل المجموع نفسه.

جهد الأولى ثلاثة فولتات، وجهد الثانية تسعة، ومجموعهما اثنا عشر. تراجع قدرة كل عنصر من جهده، فتصير 3²/4=2.25 W و9²/12=6.75 W. مجموع القدرتين تسعة واطات. لو وضعت جهد المصدر الكامل على الأولى والثانية منفردتين، لتغيرت النواتج لأنها ستصف توصيلًا آخر. سجل بجانب كل جهد اسم الطرفين أو العنصر الذي يخصه، حتى يبقى حساب الطاقة منسجمًا مع التوصيل المعطى.

نفس المقاومتين في التوازي مع الجهد نفسه

في التوازي المثالي تتصل الفروع بالطرفين نفسيهما، فيتساوى جهدها. تيار المصدر مجموع تيارات الفروع، والمقاومة المكافئة تحقق 1/Rₚ=1/R₁+1/R₂ لمقاومتين. [2]

نوصل في النموذج الورقي مقاومتي الأربع والاثنتي عشرة أوم على طرفي مصدر مثالي يبقي جهد اثني عشر فولتًا. تيار الأولى ثلاثة أمبيرات، والثانية أمبير واحد؛ تيار المصدر أربعة. قدرتهما 12²/4=36 W و12²/12=12 W، وطاقتهما في ثمانين ثانية 2880 J و960 J. المجموع 3840 J، والقدرة الكلية ثمانية وأربعون واطًا. المقاومة المكافئة ثلاثة أوم، فتؤكد 12²/3=48 W النتيجة.

هذه مقارنة بتثبيت جهد المصدر بين توصيلين، مع تغير المقاومة المكافئة وتيار المصدر والجهد على بعض العناصر. لذلك لا نحافظ على تيار التوالي ثلاثة أرباع أمبير في كل فرع من التوازي. وقد أعطينا المصدر مثاليًا قادرًا على إبقاء الجهد المطلوب في الحالتين؛ لم نقرأ مواصفة بطارية أو جهاز. معنى النتيجة أن دفترين بترتيبي توصيل مختلفين يحملان بيانات مختلفة، لا أن قطعة فعلية يمكن تحويل توصيلها دون مراجعة خصائصها.

ما الذي تثبته الطاقة، وما الذي يحتاج بيانات أخرى؟

الناتج سبعمئة وعشرون جولًا في البطاقة الأصلية هو مجموع الطاقة الكهربائية المحولة حراريًا داخل المقاومة وفق فرضنا. لا يقول هذا العدد وحده كم بقي منها في جسم المقاومة عند نهاية الثمانين ثانية، وكم انتقل إلى الوسط المحيط. لم نقدم في الدفتر سجل فقد الطاقة أو مادة العنصر وكتلته. لذلك لا نضع سبعمئة وعشرين في خانة «درجة الحرارة»، ولا نستبدل وحدة الجول بدرجة مئوية بعد إجراء الضرب.

ولمقارنة مقدار التحويل الحراري راجع أولًا الحقل الذي ثبتناه، ثم جهد العنصر وتياره ومدته. ولمراجعة سؤال عن جسم في نهاية الفترة، حدد البيانات الأخرى التي يطلبها ذلك السؤال. هذا الفصل يحفظ فائدة قانون جول في نطاق الدفتر، ويمنع أن يحمل الحساب جوابًا لم يقدمه. تستطيع أن تصل إلى قدرة وطاقة متسقتين، مع بقاء حرارة جسم أو ملاءمة جهاز سؤالًا يحتاج إلى معلومات مختلفة.

أعد الآن حل البطاقة الأساسية من غير النظر إلى الناتج، ثم حل فرعي المقاومة المضاعفة مرة عند تيار ثابت ومرة عند جهد ثابت. ينبغي أن تكتب بجانب جوابيك الشرط الموافق، فتظهر طاقتا ألف وأربعمئة وأربعين وثلاثمئة وستين جولًا من غير تعارض. وأخيرًا راجع مثال الفترتين بجمع طاقتيهما. هذه الأمثلة الثلاثة تكشف أكثر أخطاء الدفتر مباشرة: الخلط بين المعدل والمجموع، وإغفال ما ثبت، وتربيع متوسط لا يمثل الحساب المطلوب.