قانون ضعف الزاوية: الصيغ واختيارها وشروط الظل

الصيغ الأساسية وكيف أختار بينها؟

نختار صيغة جيب التمام بحسب القيمة المعروفة؛ الصيغ الثلاث متكافئة. ^[1] فإذا أعطانا السؤال الجيب وحده، يوفر الشكل الثالث خطوة إيجاد جيب التمام.

مثلًا، نختار sinθ=2/7. مباشرة cos(2θ)=1−2×(2/7)²=41/49. هنا لا نحتاج إلى تحديد إشارة cosθ لأن المطلوب اعتمد على مربع الجيب.

من أين جاء قانون جيب ضعف الزاوية؟

نبدأ من sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. بوضع α=β=θ نجمع حدين متماثلين، فنحصل على sin(2θ)=2sinθcosθ. ^[2]

التبديل يقع داخل الزاوية. وللفحص، عند θ=30° نجد sin60°=√3/2، بينما 2sin30°=1. اختلاف النتيجتين يكشف الخطأ في كتابة sin(2θ)=2sinθ.

مثال محلول: الجيب موجب وجيب التمام سالب

نفترض sinθ=5/13 والزاوية في الربع الثاني. عندها cosθ<0. ^[3] من cos²θ=1−25/169=144/169 نختار cosθ=−12/13؛ اختيار الجذر الموجب يبدل معنى المعطيات.

للفحص، (−120/169)²+(119/169)²=(14400+14161)/28561=1. الإشارتان تضعان النقطة الثانية في الربع الرابع. وزاويتنا المختارة نحو 157.38°، وضعفها نحو 314.76°؛ التقريب للعرض فقط، والكسور هي النتائج الدقيقة.

إذا استعملنا صيغة الظل، فإن tanθ=−5/12، والمقام 1−25/144=119/144؛ يعطي التعويض النتيجة نفسها. هذا مسار تحقق آخر، وليس سببًا لتغيير إشارة جيب التمام.

شروط قانون ظل ضعف الزاوية

الصيغة المكتوبة بدلالة tanθ تتطلب cosθ≠0 و 1−tan²θ≠0. فالظل sinθ/cosθ، ولا تجوز القسمة على صفر. ^[1][3]

نختبر حالتين: عند θ=45° يصبح المقام 0 و tan90° غير معرف. أما عند θ=90°، فلا نستطيع إدخال tanθ في الصيغة، مع أن المطلوب tan180°=0 معرف. في الحالة الثانية نحسب المطلوب مباشرة أو باستعمال sin(2θ)/cos(2θ).

قبل التعويض، اكتب ما تحتاجه الصيغة: قيمة معروفة، وإشارة عند الحاجة، ومقام مسموح. إذا تعطل مسار حسابي، افحص المطلوب نفسه؛ تعطل المسار لا يثبت دائمًا أن المطلوب غير معرف.