قطع خيط البندول: هل تسقط الكرة عموديًا عند أسفل التأرجح؟

قطع خيط البندول عند الأسفل يبقي سرعته الأفقية لحظة القطع. [3]

الخلاصة السريعة

لا؛ بعد قطع بلا دفع، يبدأ قذفًا أفقيًا ثم تحني الجاذبية مساره. [2][3]

كتلة نقطية m>0، خيط خفيف لا يتمدد بطول L>0 م، وتعليق ثابت (0,Y) حيث Y>L م. جاذبية ثابتة g>0 م/ث²، بلا هواء أو احتكاك. تبدأ ساكنة يسارًا بزاوية 0<θ0<π/2 من الرأسي للأسفل. [1]
عند أول مرور بالأسفل يمينًا: v²=2gL(1−cosθ0)>0. هبوط الارتفاع L(1−cosθ0) يحول طاقة الوضع إلى الحركة؛ الشد لا يبذل شغلًا. لا تقريب زاوية صغيرة. [4]
نفترض قطعًا لحظيًا بلا دفع؛ السرعة مستمرة. عند الأسفل هي مماسية أفقية: vx=v,vy=0. يزول الشد؛ لا نضيف قوة مركزية مستقلة إلى الجاذبية. [3]
t≥0 بالثانية منذ القطع: x=vt,y=Y−L−gt²/2. أول وصول إلى الأرض y=0 عند tb=√[2(Y−L)/g]. المسار قطع مكافئ، لا سقوط عمودي. [2]
مثال مؤلف: L=2m,Y=5m,g=10m/s²,θ0=60°. البداية عند الأسفل (0,3)m؛ v=2√5m/s,tb=√(3/5)s، والهبوط عند x=2√3m. [2][4]
أما القطع فور التحرير الساكن: البداية (-Lsinθ0,Y−Lcosθ0)، وx ثابت. tt=√[2(Y−Lcosθ0)/g]. في المثال: (-√3,4)m,tt=2/√5s؛ سقوط عمودي من موضع مختلف. [2]

حدد النموذج ونقطتي القطع

كتلة نقطية m>0، خيط خفيف لا يتمدد بطول L>0 م، وتعليق ثابت (0,Y) حيث Y>L م. جاذبية ثابتة g>0 م/ث²، بلا هواء أو احتكاك. تبدأ ساكنة يسارًا بزاوية 0<θ0<π/2 من الرأسي للأسفل. [1]

θ الزاوية الحالية من الرأسي للأسفل. أثناء التأرجح v²=2gL(cosθ−cosθ0)، وT/m=g(3cosθ−2cosθ0)≥gcosθ0>0؛ يبقى الخيط مشدودًا حتى الأسفل. T شد بالنيوتن. [1]

احسب سرعة الأسفل بالطاقة

عند أول مرور بالأسفل يمينًا: v²=2gL(1−cosθ0)>0. هبوط الارتفاع L(1−cosθ0) يحول طاقة الوضع إلى الحركة؛ الشد لا يبذل شغلًا. لا تقريب زاوية صغيرة. [4]

بالقسمة على m: gL(1−cosθ0)=v²/2. الكتلة تلغى، والطاقة لا تعين اتجاه السرعة وحدها. [4]

افصل السرعة عن التسارع

نفترض قطعًا لحظيًا بلا دفع؛ السرعة مستمرة. عند الأسفل هي مماسية أفقية: vx=v,vy=0. يزول الشد؛ لا نضيف قوة مركزية مستقلة إلى الجاذبية. [3]

قبل القطع عند الأسفل ay=v²/L لأعلى؛ بعده ay=−g لأسفل وax=0. تغير التسارع لا يقتضي قفزة في السرعة. [3]

اكتب الحركة بعد القطع

t≥0 بالثانية منذ القطع: x=vt,y=Y−L−gt²/2. أول وصول إلى الأرض y=0 عند tb=√[2(Y−L)/g]. المسار قطع مكافئ، لا سقوط عمودي. [2]

الإزاحة الأفقية إلى الأرض xb=vtb=2√[L(Y−L)(1−cosθ0)] م. [2]

تحقق بمثال أصلي

مثال مؤلف: L=2m,Y=5m,g=10m/s²,θ0=60°. البداية عند الأسفل (0,3)m؛ v=2√5m/s,tb=√(3/5)s، والهبوط عند x=2√3m. [2][4]

هنا x=2√5t,y=3−5t²؛ الأعداد حساب افتراضي، لا قياسات. [2][4]

السرعة والتسارع قبل القطع وبعده — السرعة مستمرة والتسارع يتغير. [1][3]

قارن بالقطع من السكون

أما القطع فور التحرير الساكن: البداية (-Lsinθ0,Y−Lcosθ0)، وx ثابت. tt=√[2(Y−Lcosθ0)/g]. في المثال: (-√3,4)m,tt=2/√5s؛ سقوط عمودي من موضع مختلف. [2]

tt²−tb²=2L(1−cosθ0)/g>0. الزمنان بعد القطع، لا منذ التحرير الأول؛ حالة الأسفل سبقتها فترة التأرجح. [2]

المراجع

راجع شروط الزمن الدوري للبندول

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.