متباينة يونغ: كيف نحد حاصل ضرب بقوتين مختلفتين؟

الخلاصة السريعة

في المثال a=3 و b=4 والأسين p=3 و q=3/2، الحد 43/3 يعلو حاصل الضرب 12 بمقدار 7/3. عند a=2 و b=4 ينعدم الفارق ويصبح الطرفان 8. إذن بقاء b ثابتًا لا يحفظ الفجوة، والمساواة هنا لا تتطلب a=b.

• متباينة يونغ للقوى: ab ≤ a^p/p+b^q/q، مع a,b ≥ 0 و p > 1 و 1/p+1/q=1. [1] الأس الثاني مرتبط بالأول، وليس اختيارًا مستقلًا.
• عند p=3 نحتاج q=3/2. في a=3 و b=4 نحسب a³/3=9 و 2b^(3/2)/3=16/3، فيكون الحد 43/3، وحاصل الضرب 12، والفارق 7/3.
• لـ p=3 و q=3/2، اكتب b=t² مع t ≥ 0. فجوة الحد عن حاصل الضرب هي (a−t)²(a+2t)/3؛ نراجعها بالتوزيع، وتكشف عدم السلبية والمساواة.
• في هذه الحالة، المساواة عند a=t، أي b=a². أمثلة 2 مع 4 ونصف مع ربع والصفر مع الصفر تحققها؛ تساوي a و b ليس القاعدة العامة.
• اختيار p=q=3 يخالف شرط المقلوبين: للنصف مع النصف الحد 1/12 أصغر من حاصل الضرب 1/4. والسماح بـ a=−5 و b=4 في نسخة المكعب يعطي حدًا −109/3 أصغر من −20.
• عند p=q=2، فرق الحد وحاصل الضرب (a−b)²/2. في 3 مع 4 الحد 25/2 والفارق 1/2؛ هذه حالة أخرى، فلا ننقل شرط a=b منها إلى نسخة المكعب.

احسب القوتين والمعاملين قبل المقارنة

نثبت a=3 و b=4، ونختار p=3 و q=3/2. الطرف الأول في الحد a³/3 هو 27/3=9. أما 4^(3/2) فنأخذ جذر 4 الرئيسي 2 ثم نكعبه، فنحصل على 8. القسمة على 3/2 تعني الضرب في 2/3، ولذلك الطرف الثاني 16/3.

إذن U = 9+16/3 = 43/3، وحاصل الضرب ab=12 يساوي 36/3. الفجوة U−ab تساوي 7/3. لا نكتب 9+8 ولا 9+64/3؛ الأول أسقط معامل القسمة، والثاني استبدل الأس 3/2 بالأس 3.

الصورة الرئيسية تتبع حساب كل طرف ثم جمعهما. القيم مجردة بلا وحدات، وليست نتائج تجربة. إن أردت حاصل الضرب نفسه فهو 12؛ الحد 43/3 يصلح للمقارنة ولا يحل محله بوصفه قيمة دقيقة.

الأس الثاني تحدده معادلة المقلوبين

تربط صيغة يونغ الأسين بشرط 1/p+1/q=1، مع p > 1 وعدم سلبية a و b. [1] ينتج q=p/(p−1)، ويكون q > 1. نستعمل أسين محدودين في هذه المقالة.

عند p=3، المقلوب 1/3؛ لذا 1/q=2/3 و q=3/2. وعند p=2 نجد q=2. فعبارة «كلا الأسين أكبر من 1» وحدها لا تكفي، بل يجب فحص مجموع مقلوبيهما.

جرب الأسين 3 و 3 على a=b=1/2. مجموع المقلوبين 2/3، لا 1. مجموع القوتين المقسومتين هو 1/24+1/24=1/12، وحاصل الضرب 1/4. هنا الحد أصغر؛ المثال يكشف أن إسقاط شرط المقلوبين قد يفسد اتجاه المتباينة.

نحصل على الفجوة من مربع وعامل آخر

في نسخة p=3، ضع t=√b وهو الجذر الرئيسي غير السالب؛ عندئذ b=t² و b^(3/2)=t³. نكتب U = a³/3+2t³/3، ثم نطرح ab=at². حاصل ضرب الفجوة في 3 هو a³−3at²+2t³.

بتوزيع (a−t)²(a+2t) نحصل على a³−3at²+2t³. الحدود من نوع a²t تتعادل، وتبقى الحدود الثلاثة. لذلك U−ab = (a−t)²(a+2t)/3. هذه هوية جبرية؛ لكي نستنتج إشارة الفجوة نفحص إشارات العوامل.

مع a,t ≥ 0، المربع غير سالب والعامل a+2t غير سالب والمقام 3 موجب. هذا يثبت المقارنة لهذه النسخة دون برهان تكامل أو تعميم إلى جميع الأسس. في a=3 و t=2، المربع 1 والعامل 7، فتكون الفجوة 7/3، كما في الحساب المباشر.

إذا بقي b=4، بقي t=2. عند a=1 يصبح المربع 1 والعامل 5، فتكون الفجوة 5/3. وعند a=2 يصير المربع صفرًا. إذن تقليل a من 3 إلى 1 لا يحفظ الفجوة رغم تساوي مربع البعد عن 2؛ العامل الآخر تغير.

المساواة والصفر لا يحتاجان قسمة على المتغير

لـ a,t غير السالبين، الفجوة صفر إذا a=t. وإن كان a+2t=0 فلا بد أن a=t=0، وهي داخلة في الحالة نفسها. إذن شرط المساواة في هذه النسخة b=a². [1] لا نقسم على a أو t لنصل إليه، فنحافظ على حالة الصفر.

في a=2 و b=4، الحد 8/3+16/3=8 يساوي حاصل الضرب 8. وفي a=1/2 و b=1/4، الجذر t=1/2؛ الحد 1/24+1/12=1/8 يساوي حاصل الضرب 1/8. اختلاف العاملين لا يمنع المساواة.

عند a=0 و b=4، حاصل الضرب 0، لكن الحد 16/3 موجب. وعند a=3 و b=0، الحد 9 وحاصل الضرب 0. الصفر في عامل واحد لا يضمن المساواة؛ أما a=b=0 فكل الأطراف صفر. الجدول يعرض نسخة المكعب وحدها.

الحالة التربيعية لا تلغي شروط نسخة المكعب

عند p=q=2 يصبح الحد (a²+b²)/2. طرح ab يعطي (a−b)²/2، لذلك المساواة هنا a=b. في a=3 و b=4، الحد 25/2 يعلو 12 بنصف. هذا حد مختلف عن 43/3؛ تغيير الأسين يغير التعبير الذي نحسبه.

هوية المربع في الحالة التربيعية تثبت المقارنة حتى للعاملين الحقيقيين السالبين. لكنها لا تمنح المجال نفسه لكل أسين. في نسخة p=3 و q=3/2، ضع a=−5 و b=4: الحد −125/3+16/3=−109/3، بينما ab=−20=−60/3. الفجوة −49/3 سالبة، فتفشل المقارنة المنقولة خارج مجالها.

الهوية المفككة نفسها تفسر هذا المثال: t=2، والمربع 49، لكن a+2t=−1. وجود مربع لا يكفي إذا صار العامل الآخر سالبًا. كذلك b سالب لا يعطي جذرًا تربيعيًا حقيقيًا في نسخة الأس 3/2؛ نفحص التعريف قبل التعويض.

ابدأ بمجال العاملين، ثم معادلة الأسين، ثم حساب القوتين ومعاملي القسمة. بعد ذلك افحص الفجوة والمساواة. لا نثبت الصيغة لكل p بالهوية التكعيبية وحدها؛ إنها برهان مستقل للحالة المختارة، والصيغة العامة وشروطها موثقتان في المرجع. [1]