كيف تتكون الظلال؟ المصدر النقطي والممتد والظل وشبه الظل

المصدر والحاجز والشاشة: ابدأ بالعلاقة بينهم

كيف تتكون الظلال، ولماذا تكون حافتها واضحة في موقف ومتدرجة في موقف آخر؟ تبدأ الإجابة بترتيب مصدر الضوء والجسم والسطح الذي نرى عليه الظل، ثم بالسؤال عن حجم الجزء المضيء كما يظهر من وراء الجسم. سنقرأ رسمًا أصليًا ونميز ثلاث حالات لوصول الضوء، ثم نحسب أطوالًا في نموذج بسيط. الأرقام والرسوم افتراضية للتعليم، وليست صورًا لتجربة أجريناها. نستخدم البصريات الهندسية مع أشعة مستقيمة في وسط متجانس، ونهمل الانعكاسات والإضاءة الأخرى والآثار الموجية في الحسابات المحددة.

ضع في تصورك مصدرًا على أحد جانبي الرسم، وحاجزًا معتمًا في الوسط، وشاشة خلفه. نعني بالمعتم هنا أنه لا يمرر الضوء المباشر عبره في نموذجنا. قد تصل بعض مسارات الضوء إلى الشاشة حول الحاجز، بينما يقطع الحاجز مسارات أخرى. لذلك لا نبحث عن مادة سوداء خرجت من الجسم لتشكل الظل؛ نبحث عن اختلاف في وصول الضوء بين المواضع التي نقارنها على الشاشة.

والمنطقة المحجوبة ليست مقصورة على البقعة التي تظهر على جدار بعينه. في الرسم الجانبي نتابع الحيز خلف الحاجز، ثم نرى أين يقطعه سطح الشاشة. إذا نقلت الشاشة تغير المقطع الذي تعرضه، حتى لو بقي المصدر والحاجز في موضعيهما. هذه القراءة تفصل الجسم الذي يحجب الضوء عن السطح الذي يستقبل نمط الإضاءة؛ الخلط بينهما قد يجعلك تنسب تغير طول الظل إلى تغير الجسم نفسه دون دليل.

كما نفصل الظل الساقط على الشاشة عن جهة من الجسم لا تصل إليها إضاءة المصدر مباشرة. قد ترى الجهتين معًا في مشهد، لكن السؤال عن طول بقعة على الجدار ليس السؤال عن إضاءة وجه الجسم. في درسنا الحاجز مستوى بسيط والشاشة موازية له، وكل القياسات اللاحقة عرض في مقطع جانبي. لا ندعي بهذا النموذج حساب شكل الظل الكامل لجسم ثلاثي الأبعاد في غرفة متعددة المصابيح.

المصدر النقطي تقريب هندسي مفيد

تعرض جامعة كولورادو مقارنة لظل حاد من مصدر يقارب النقطي، وظل له شبه ظل من مصدر ممتد. هيئة الجزء المضيء واتجاه امتداده تؤثران في حدة الحافة، لا قوة المصباح وحدها. [2]

في النموذج النقطي نجعل الضوء آتيًا من موضع واحد، فترسم من ذلك الموضع خطين يلامسان حافتي الحاجز في المقطع الذي اخترناه. امتداد الخطين يحد المنطقة التي لا يصل إليها ضوء المصدر مباشرة. في الحساب المثالي تكون الحدود واضحة، لأن نقطة واحدة لا تتيح أن يصل بعض أجزائها ويُحجب بعضها الآخر؛ ليس لها امتداد نعالجه بهذه الطريقة. هذا وصف لتقريب، لا إثبات بأن مصباحًا حقيقيًا له حجم صفري.

وقد يكون الجزء المضيء في مصباح صغير مناسبًا لتقريب نقطي في ترتيب معين، لكنه ليس كذلك تلقائيًا في كل مسافة. اسأل عن امتداده المؤثر في المشهد بدل الاعتماد على حجم علبة المصباح الخارجية. مصدر داخل علبة كبيرة قد يكون الجزء المضيء فيه صغيرًا، وغطاء مضيء واسع قد يعمل كمصدر ممتد. التمييز الذي نحتاجه في الرسم هو أين تصدر المسارات التي تؤثر في الحافة، لا أي جهاز يبدو أصغر عند حمله.

المصدر الممتد يتيح وصولًا جزئيًا

في الظل الكامل يكون المصدر محجوبًا كله عن الموضع؛ وفي شبه الظل يحجب جزء منه؛ وخارج هاتين المنطقتين لا يحجب الجسم المصدر في النموذج. هذا وصف لوصول الضوء المباشر من المصدر المحدد. [1]

تخيل الجزء المضيء الممتد مجموعة مواضع تصدر الضوء، لا نقطة واحدة فقط. من موضع معين على الشاشة قد يحجب الحاجز المسارات القادمة من بعض هذه المواضع، بينما تصل المسارات من البقية حوله. لهذا يمكن أن توجد منطقة انتقال إلى جانب المنطقة التي يحجب عنها المصدر كله. لم نفترض أن الحاجز صار شفافًا أو أن الضوء اخترق وسطه؛ وصول الجزء غير المحجوب يأتي من ترتيب المواضع والمسارات.

ولا تعرّف الظل الكامل بعبارة «المصباح أكبر من الجسم» وحدها. ما يصل إلى نقطة خلف الجسم يتوقف على الامتدادات والمسافات وترتيبها. وقد تتغير إمكانية وجود منطقة حجب كامل عندما تنتقل إلى ترتيب آخر. سنختار أمثلة يبقى فيها ظل كامل واضح، ونصرح بالمعطيات بدل تعميم صورتها على كل مصدر ممتد. أسماء المناطق تصف مقدار حجب المصدر عن الموضع، وليست قائمة تصنف الأجهزة بحسب أسمائها التجارية.

اقرأ خطوط الحدود دون جعل الحاجز شفافًا

في رسم المصدر الممتد نتتبع نهايته العليا والسفلى وحافتي الحاجز في مقطع واحد. يصل كل طرف إلى كل حافة بخط هندسي، فنحصل على أربعة خطوط حدية. يفيد تتبعها في تحديد أين ينتقل الوصف من حجب كامل إلى جزئي ثم إلى عدم حجب. لا تكفي وصلة واحدة لتشرح الحالات كلها، كما أن لون الخط في رسمنا ليس لون الضوء الحقيقي ولا دليلًا على نوع مختلف من الإشعاع.

وقد نمد خطًا متقطعًا خلف الحافة لتوضيح الحد الهندسي. هذا أسلوب رسم يساعد على تتبع الاستقامة، ولا يقرر أن الضوء مر عبر حاجز معتم. المسار الذي يدخل في داخل الحاجز محجوب في النموذج، بينما يمثل الخط الملامس حافة الفصل التي نستخدمها في البناء. راجع مفتاح الخطوط قبل القراءة، وميز بين حد مرسوم وبين قياس فعلي لحزمة ضوء؛ خطوط الورقة تحدد علاقات حتى عندما لا نرسم كل الأشعة الممكنة.

وللتدريب ضع إصبعك على موضع على الشاشة، ثم اسأل: أي أجزاء المصدر يمكن أن تتصل به بخط لا يقطع داخل الحاجز؟ ابدأ بما داخل المصدر وحدوده، ولا تحكم من لون موضع الشاشة وحده. في الرسم المرتب بوضوح تستطيع فحص ثلاث حالات مختلفة. أما إذا كانت مواضع العناصر أو نسب الرسم مجهولة، فلا تكملها من خيالك ثم تزعم أنك حللت لقطة واقعية؛ ارجع إلى المعطيات التي يحددها التمرين.

ثلاثة مواضع في رسمنا: أ وب وج

الموضع أ في وسط منطقة الظل الكامل على الشاشة. في النموذج الذي رسمناه يحجب الحاجز المصدر الممتد كله عن هذا الموضع؛ لذلك لا يصل منه ضوء مباشر إلى أ. نقول «من هذا المصدر» لأننا استبعدنا الإضاءة الأخرى والانعكاسات من نموذج القراءة. العبارة لا تدعي أن كل نقطة نسمّيها ظلًا في غرفة حقيقية لا تستقبل أي فوتون من أي جهة، ولا تتطلب قياس لون أسود مطلق.

الموضع ب أقرب إلى الحافة، داخل شبه الظل. بعض مواضع المصدر تستطيع إرسال ضوء مباشر إليه، وبعضها يحجبه الحاجز. هذه حالة وصول جزئي مع جسم معتم كما كان في المثال الأول. إذا وصفتها بأن الحاجز مرر نصف الضوء فقد أضفت معلومتين غير معطاتين: النفاذ عبر الحاجز، ونسبة النصف. التعريف الجزئي لا يحدد نسبة ثابتة، والرسم الحالي لا يقدم قياسًا لشدة الضوء عند ب.

والموضع ج خارج المنطقة التي يحجبها الحاجز عن المصدر في هذا المقطع؛ تصل إليه المسارات من امتداد المصدر الممثل. هذه حالة مختلفة عن شبه الظل، حتى لو اختلف سطوع سطح الشاشة في صورة فعلية لسبب آخر. اقرأ الأسماء في رسمنا بوصفها نتائج لفحص الحجب، لا أحكامًا على قيم الرمادي التي اختارها مصمم الشكل. التظليل يميز المناطق لسهولة التعليم، ولا يحاكي كاميرا أو توزيع سطوع مقيسًا.

حجم الظل مع مصدر نقطي: مثال مثلثات متشابهة

نعرف نموذجًا عدديًا مستقلًا: مصدر نقطي، وحاجز مستو عرضه أربعة سنتيمترات، وشاشة موازية له. المسافة من المصدر إلى الحاجز ثلاثون سنتيمترًا، والمسافة من المصدر إلى الشاشة تسعون، ومراكزها على محور واحد. من تشابه المثلثات تكون نسبة عرض الظل إلى عرض الحاجز هي 90/30 = 3، فيكون عرض الظل 4×3 = 12 cm. لا نستعمل مسافة الحاجز إلى الشاشة وحدها مكان مسافة المصدر إلى الشاشة في هذه النسبة.

انقل الحاجز إلى موضع يبعد ستين سنتيمترًا عن المصدر، مع بقاء الشاشة عند التسعين وبقاء عرضه أربعة. يصبح العامل 90/60 = 1.5، وعرض الظل ستة سنتيمترات. ولو قربنا الحاجز إلى خمسة عشر من المصدر، صار العامل ستة وعرض الظل أربعة وعشرين. هكذا يوضح النموذج كيف يمكن أن يكبر الظل أو يصغر مع بقاء الجسم نفسه، بشرط حفظ موضع المصدر والشاشة وشكل الحاجز واتجاهه كما افترضنا.

وإذا رمزنا لعرض الحاجز بالرمز h، ولمسافة المصدر إلى الحاجز A، ولمسافة الحاجز إلى الشاشة B، فالعرض في هذا المثال النقطي H = h(A+B)/A. نأخذ المسافات موجبة والحاجز قبل الشاشة، ونستعمل المقطع المتناظر ذا السطحين المتوازيين. لا ننقل الصيغة نفسها إلى سطح مائل أو حاجز متغير الاتجاه بلا إعادة بناء هندسي. قيمة محسوبة ضمن نموذج واضح أصدق من قاعدة قصيرة تقول إن كل ظل أطول كلما تغيرت مسافة ما.

تغيير امتداد المصدر مع ثبات الحاجز والمسافات

نثبت الآن عرض الحاجز عند أربعة سنتيمترات، والمسافة إليه عند ثلاثين، وإلى الشاشة عند تسعين، ونستبدل النقطة بمصدر خطي رأسي متمركز على المحور. إذا كان امتداد الجزء المضيء سنتيمترًا واحدًا، يعطي تتبع الحدود ظلًا كاملًا عرضه عشرة سنتيمترات، وانتقالًا بعرض اثنين على كل جانب. مجموع عرض المنطقة التي يحجب فيها شيء من المصدر أربعة عشر سنتيمترًا. هذه أطوال مقطع، لا مساحات ولا نسب حجب للضوء.

وعند امتداد مصدر مقداره ثلاثة سنتيمترات في الترتيب نفسه، يصبح عرض الظل الكامل ستة، ويصبح عرض شبه الظل ستة على كل جانب، فيكون مجموع الامتداد ثمانية عشر. لم نزد قوة المصدر في الحساب؛ غيرنا امتداده الهندسي وحده. المقارنة بين الحالين تجعل منطقة الحجب الكامل أضيق ومنطقة الانتقال أعرض في هذا المثال. لا تقل إن منطقة الانتقال الستة أكثر إضاءة بثلاثة أمثال منطقة الانتقال الاثنين؛ رقم العرض لا يقيس مقدار الطاقة الضوئية.

ولرؤية الحساب، إذا رمزنا لامتداد المصدر في المقطع بالرمز s، فكل عرض انتقال في أمثلتنا هو p = sB/A. ويكون عرض الحجب الكامل u = h(A+B)/A − sB/A عندما تكون هذه الكمية موجبة في الترتيب المتناظر المذكور. والامتداد الخارجي w = h(A+B)/A + sB/A. عند s = 3 نجد p = 6, u = 6, w = 18 cm. إذا لم يبق الحجب الكامل موجب العرض فلا تكتب عرضًا سالبًا لظل؛ راجع ترتيب الحدود والنموذج بدل استعمال أمثلتنا خارج شروطها.

المسافة إلى الشاشة جزء من نعومة الحافة

في العلاقة السابقة يوجد عامل B/A. إذا بقي المصدر والحاجز في موضعيهما وقربنا الشاشة من الحاجز، صغرت B وانكمش عرض الانتقال في هذا المقطع. وعندما تقترب الشاشة جدًا من الحاجز يقترب مقطع الحجب من مقطع الحاجز نفسه في النموذج. هذا يفسر لماذا لا يكفي أن نسأل هل المصباح واسع أم صغير؛ ينبغي أن نعرف أيضًا أين نعرض الظل بالنسبة إلى الجسم والمصدر.

وفي مثال عددي نحتفظ بامتداد مصدر ثلاثة سنتيمترات وبعد حاجز ثلاثين، لكن نجعل بعد الشاشة عن الحاجز خمسة عشر بدل ستين. يصبح عرض الانتقال على كل جانب 3×15/30 = 1.5 cm، وعرض الظل الكامل 4×45/30 − 1.5 = 4.5 cm. أصغرنا الانتقال مع إبقاء الحاجز والمصدر نفسيهما، لكن العرض الكامل تغير أيضًا. لذلك حدد هل تقارن حجم المنطقة المركزية أم عرض حافتها الجزئية؛ ليستا الكمية نفسها.

وإذا نقلت المصدر والحاجز والشاشة في الوقت نفسه، فقد تغير أكثر من عامل فلا تعزل أثر أحدها من صورة النتيجة فقط. اكتب في سجل التدريب أي مسافة ثبتت وأيها تغيرت. يمكن بعد ذلك مقارنة الحالة الجديدة بالحالة القديمة بأرقام واضحة. أما عبارة «المصدر صار أقرب» من دون تحديد إلى ماذا وبقاء بقية المواضع، فلا تكفي وحدها لاختيار عرض جديد أو إعلان أن كل حافة أصبحت أنعم في المشهد.

السواد والشدة واللون ليست أسماء مناطق الحجب

درجات الرمادي في رسومنا وسيلة لتمييز الحجب الكامل والجزئي، وليست جهازًا لقياس الضوء. حتى في مقطع يعتمد مصدرًا واحدًا، لا يعطي كون جزء من المصدر محجوبًا رقمًا ثابتًا مثل خمسين بالمئة؛ توزيع السطوع على المصدر وموضع النقطة ومسارات الوصول ليست أرقامًا قدمها هذا التمرين. لذلك نفرق بين جواب هندسي عن الجزء المحجوب وجواب ضوئي كمي يحتاج معطيات أخرى عن الإضاءة.

ومن الممكن في قراءة غرفة حقيقية أن يصل إلى مكان محجوب عن المصباح الرئيس ضوء من مصدر آخر أو من سطح عاكس. إذا عرفنا ذلك فلا نتمسك بعبارة «المصدر الرئيس محجوب» كي ننفي كل الإضاءة في المكان. في المقابل، لا نخترع مصباحًا أو انعكاسًا مجهولًا لتبرير كل صورة داكنة أو فاتحة. نحدد ما نعرفه عن المصدر الذي نسأل عنه، وما لا نعرفه عن بقية المشهد، ثم نختار مقدار الحكم الذي تسمح به المعلومات.

وبقعة غامقة على الجدار قد تكون جزءًا من لون الجدار نفسه، وليست بالضرورة ظل الجسم الذي أمامه. في نشاط تعليمي مقترح تستطيع مقارنة الموضع قبل وضع الحاجز وبعده مع إبقاء العناصر الأخرى ثابتة قدر الإمكان؛ لكن هذه المقارنة لم ننفذها هنا. إذا كنت تصف نتيجة فعلية لاحقًا، فسم الملاحظة التي شاهدتها بدل تحويلها إلى نسبة نفاذ أو شدة محسوبة من درجة لون في صورة غير معايرة.

نشاط ورقي مقترح قبل أي مقارنة عملية

ارسم على الورقة مصدرًا نقطيًا وحاجزًا وشاشة، واختر مسافات من عندك توافق ترتيبنا. صل المصدر بحافتي الحاجز، ثم مد الحدين إلى الشاشة وحدد مقطع الحجب. بعد ذلك ارسم مصدرًا ممتدًا في ورقة أخرى، وصل نهايتيه بالحافتين لتتبع الحدود الأربع. الهدف أن تبرر أين يصل الضوء المباشر وأين يحجب، لا أن تنسخ شكلًا رماديًا وتحفظ اسمه من غير علاقة بالمصدر.

وإذا أردت لاحقًا مقارنة بسيطة باستخدام مصدر ضوء عادي وشاشة وجسم معتم، فاجعل سؤالك واحدًا في كل مقارنة: تغيير موضع الحاجز، أو تغيير بعده عن الشاشة، أو مقارنة مصدرين مختلفي الامتداد. سجل قبلها ما تتوقعه وما أبقيته ثابتًا، ثم سجل ما لاحظته بالفعل. النشاط هنا اقتراح للتعلم وليس تقرير تجربة، ولا نزعم أنك ستقيس الأطوال النظرية نفسها بمجرد استعمال أي مصباح وجسم غير موافقين لفروض المقطع الهندسي.

في ورقة المراجعة افصل خانة «حسبنا» عن خانة «لاحظنا». اكتب مثلًا أن عرض الانتقال المحسوب في نموذجنا ستة سنتيمترات، ولا تكتب أننا شاهدنا ستة على حائط. وبين قيمة يقترحها الرسم وقياس فعلي فرق يحتاج أدوات ومعرفة بالشروط. كما لا نستخدم تكبير الصورة على الشاشة لقياس تجربة مفترضة؛ نسب الرسوم في هذه الصفحة توضح البناء، وأرقامها بيانات تعليمية لمواد وأضواء لم نجمعها في مختبر.

أسئلة ختامية تختبر الفهم

السؤال الأول: إذا بقي الحاجز معتمًا ووصل بعض ضوء المصدر إلى ب، هل هذا يعني أن الضوء نفذ عبر الحاجز؟ لا في نموذجنا؛ الجزء الذي وصل جاء من مواضع في المصدر لم يحجبها ترتيب الحاجز عن ب. والسؤال الثاني: هل كل مصدر ممتد يضمن ظلًا كاملًا على أي شاشة؟ لا؛ راجع امتداد المصدر والحاجز والمسافات ومنطقة وجود الحجب الكامل بدل تعميم حالة رسم محددة.

السؤال الثالث: لماذا نحصل على اثني عشر سنتيمترًا لظل الحاجز الأربعة مع بعدي ثلاثين وتسعين في النموذج النقطي؟ لأن نسبة المسافتين من المصدر هي ثلاثة، فنضرب عرض الحاجز فيها. والسؤال الرابع: لماذا لا نستعمل العدد ستة في مثال المصدر الممتد بوصفه قياس شدة؟ لأنه عرض منطقة انتقال على الشاشة في المثال، وليس نسبة ضوء أو مقدار قدرة. يجب أن يبقى اسم الكمية ووحدتها بجانب الرقم عند تفسيره.

وفي آخر المراجعة اقرأ ثلاثة أسطر عن أي رسم: المصدر الذي نحسب وصوله، والهندسة التي افترضناها، وما استبعدناه من المشهد. بعدها سم المنطقة بناءً على الحجب الكامل أو الجزئي أو غيابه بالنسبة إلى ذلك المصدر. بهذه الطريقة تصبح إجابة «كيف تتكون الظلال» تفسيرًا لترتيب ومسارات، وتعرف لماذا يغير مصدر ممتد أو شاشة منقولة مظهر الحافة دون أن يكون الجسم قد تغير أو أصبح نافذًا للضوء.