مجسم الموشور وأنواعه: القواعد والأوجه والأحرف

الخلاصة السريعة

الموشور، أو المنشور الهندسي، مجسم له قاعدتان مضلعتان متوازيتان ومتطابقتان، تصل بينهما أوجه جانبية على هيئة متوازيات أضلاع. ^[1]

• يسمى المنشور بحسب شكل القاعدة: مثلثي أو رباعي أو خماسي مثلًا. ^[1]
• إذا كان للقاعدة n أضلاع، فالرؤوس 2n، والأحرف الكلية 3n، والأوجه n+2؛ كما يبين العد أدناه.
• القائم أحرفه الجانبية عمودية على القاعدتين، وأوجهه الجانبية مستطيلات. ^[1]
• في المائل، الحرف الجانبي ليس هو الارتفاع العمودي بين مستويي القاعدتين. ^[1]
• المنشور الرباعي لا يكون متوازي مستطيلات في كل حالة. ^[1]

أجزاء المنشور وتسميته

القاعدتان تحددان اسم المنشور، ولا يتغير الاسم بمجرد تدوير الرسم. والمقاطع الموازية للقاعدتين تطابقهما في القائم والمائل. ^[1]

نسمي سطحًا مضلعًا في المجسم وجهًا، والتقاء وجهين على قطعة مستقيمة حرفًا، ونقطة التقاء الأحرف رأسًا. عند العد، نميز حروف القاعدتين عن الحروف التي تصل الرؤوس المتناظرة.

اختر في نموذجنا قاعدة خماسية محدبة، ثم انقل كل رأس منها بالمقدار نفسه إلى مستوى موازٍ. وصل كل رأس بصورته. نحصل على خماسيين متطابقين، وخمسة أوجه جانبية، من دون إضافة رأس جديد عند وسط وجه.

لا نحكم على نوع القاعدة من عدد الأوجه الظاهرة في الصورة. الرسم المنظوري قد يخفي وجهًا أو حرفًا، بينما يحتفظ المجسم في نموذج العد بكل عناصره.

عد الرؤوس والأحرف والأوجه دون خلط

للخماسي الأول خمسة رؤوس وللثاني خمسة؛ إذن المجموع 10. ولهما معًا عشرة أحرف، وتضيف الوصلات بين الرؤوس خمسة أخرى، فيصبح مجموع الأحرف 15.

عدد الأوجه هو خمسة جانبية زائد قاعدتين، أي 7. إذن عبارة «خمسة أحرف» تصف الوصلات الجانبية وحدها في نموذجنا، ولا تصف جميع أحرف المنشور الخماسي.

نكرر العد لقاعدة ذات n أضلاع: مجموع الرؤوس n+n=2n، والأحرف n+n+n=3n، والأوجه n+2. هذه نتائج لعد القاعدتين والوصلات، لا لعد الخطوط المرئية وحدها.

عند n=3 تكون النتائج 6 رؤوس و 9 أحرف و 5 أوجه؛ وعند n=4 تصبح 8 و 12 و 6. أما الخماسي فنتائجه 10 و 15 و 7. لا يتغير هذا العد إذا أزحنا القاعدة العليا جانبيًا مع بقاء البناء نفسه.

المنشور القائم والمائل ومتوازي المستطيلات

الارتفاع هو المسافة العمودية بين مستويي القاعدتين. يساوي الحرف الجانبي في القائم، بينما تختلف عنه الوصلة المائلة في المائل. ومتوازي المستطيلات حالة خاصة بأوجه مستطيلة. ^[1]

في الرسم الداخلي نختار ارتفاعًا 6 وحدات وإزاحة أفقية 8 وحدات. تمثل الوصلة المائلة وتر مثلث قائم، وطولها √(6²+8²)=10 وحدات؛ لذلك لا يصح استعمال 10 على أنها المسافة العمودية.

ولرؤية سبب اتساع اسم «رباعي»، اختر قاعدة لها ضلعان متوازيان بطولين 8 و 5 وحدات، وضلعان آخران يصلان بينهما. حتى إذا جعلنا الوصلات الجانبية عمودية، تبقى القاعدة غير مستطيلة في هذا النموذج.

عند سؤال «ما نوع المنشور؟» اذكر شكل القاعدة أولًا، ثم القائم أو المائل إذا كانت المعلومات تسمح بذلك. وعند سؤال «كم حرفًا؟» تأكد من كون المقصود الأحرف الكلية أو الجانبية.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: حجم المنشور الثلاثي القائم ومساحة سطحه: ارتفاعان يجب التمييز بينهما.