محيط المعين: من طول الضلع أو من القطرين

عندما يكون طول الضلع معلومًا

المحيط طول الحدود الخارجية. أضلاع المعين الأربعة متساوية؛ إذا كان طول الضلع s فالعلاقة P=4s. ^[1] القطر يصل رأسين غير متجاورين داخل الشكل، فلا نجمعه مع الأضلاع في المحيط.

في تمرين مباشر، إذا كان s=13cm فإن P=4×13=52cm. وللمراجعة، جمع 13+13+13+13 يعطي الناتج نفسه؛ الوحدة طول، وليست وحدة مساحة.

كيف نستخرج الضلع من القطرين؟

كل قطر في المعين ينصف الآخر بزاوية قائمة. ^[2] لذا تتكون أربعة مثلثات قائمة، ضلعا أحدها القائمان d₁/2 و d₂/2، ووتره هو ضلع المعين.

من فيثاغورس s²=(d₁/2)²+(d₂/2)²؛ نأخذ الجذر الموجب لطول الضلع. ^[3] ثم نضرب الناتج في أربعة. ويمكن جمع الخطوتين في P=2√(d₁²+d₂²)، لكن رسم نصفي القطرين يوضح سببها. ^[2][3]

مثال محلول: قطران 14 و 48 سم

نعطي d₁=14cm و d₂=48cm. نصفاهما 7cm و 24cm. إذن s²=7²+24²=49+576=625cm²، ومنها s=25cm.

بعد معرفة الضلع نحسب P=4×25=100cm. وللتحقق بالصيغة المختصرة: 2√(14²+48²)=2√2500=100cm. الرسم الداخلي يكبر مثلثًا واحدًا من الأربعة؛ الرقم 25 يخص الوتر لا أحد القطرين.

لو أدخلنا القطرين كاملين في حساب الضلع، لخرج √(14²+48²)=50cm ثم محيط 200cm. هذا الخطأ يضاعف الجواب الصحيح، لأن أطوال المثلث المستخدم ليست تلك الأطوال الكاملة.

من المحيط إلى الضلع

في تمرين عكسي، المحيط 80cm. إذن الضلع 80/4=20cm. هذا يكفي لإيجاد الضلع، لكنه لا يحدد قطرين فريدين؛ نحتاج إلى معطى إضافي عن شكل المعين.

مثلًا، قطران 24cm و 32cm يعطيان نصفين 12 و 16 ووترًا 20. وزوج آخر 20cm و 20√3cm يعطي نصفين 10 و 10√3، ووترًا 20 أيضًا. في الحالتين المحيط 80cm، مع قطرين مختلفين.

هل يجب أن يكون المعين مربعًا؟

قانون المحيط لا يشترط أربع زوايا قائمة؛ يكفي تساوي الأضلاع في المعين. ^[1] مثال القطرين 14 و 48 له أضلاع متساوية مع قطرين غير متساويين؛ ميل الرسم لا يغير حساب 4s.

راجع المعطيات بالترتيب: هل العدد ضلع أم قطر؟ هل وحدتا القطرين متفقتان؟ هل قسمت كليهما على اثنين؟ ثم افحص مربع الضلع والمحيط. لا تستعمل رقم المساحة مكان طول الضلع في هذه العلاقة.