مفهوم مماسات الدائرة: طول المماس ونقطتا التماس

الخلاصة السريعة

مماس الدائرة مستقيم يلتقي بها في نقطة واحدة، ويكون عموديًا على نصف القطر عندها. من نقطة خارج الدائرة يمكن رسم مماسين. ^[1][2]

• المماس يلتقي الدائرة في نقطة واحدة؛ القاطع في نقطتين. نصف القطر عمودي عند التماس. ^[1]
• إذا كانت المسافة إلى المركز d أكبر من نصف القطر r، يوجد مماسان؛ عند d = r مماس واحد؛ وداخلها لا يوجد. ^[2][3]
• في المثال O(1,−2), r = 6 و P(11,−2): OP = 10، وطول كل قطعة مماس √(100−36) = 8.
• نقطتا التماس المحسوبتان T₁(4.6,2.8) و T₂(4.6,−6.8)؛ كل منهما على الدائرة ونصف قطرها عمودي على قطعتها إلى P.
• للمماس العلوي 3x + 4y = 25، وللسفلي 3x − 4y = 41؛ التعويض يثبت مرور كل خط بنقطته وبـ P.

نصف القطر يحدد المماس

المماس عمودي على نصف القطر الواصل إلى نقطة التماس. ^[1] عند نقطة على الدائرة نبني العمود على نصف القطر، فتحدد هذه النقطة المماس. ^[3]

لنرمز لمسافة النقطة الخارجية إلى المركز بـ d. مثلث المركز ونقطة التماس والنقطة الخارجية قائم؛ لذلك طول قطعة المماس ℓ = √(d²−r²)، مع d > r.

عند d = r تكون النقطة على الدائرة؛ المماس موجود لكن القطعة من النقطة إلى نفسها طولها صفر. وعند d < r لا يعطي هذا الحساب طولًا حقيقيًا؛ لا يوجد مثلث قائم وتره d وأحد ضلعيه r الأكبر منه.

مثال أصلي لطول القطعتين ونقطتي التماس

نختار دائرة (x−1)² + (y+2)² = 36 ومركزها O(1,−2)، والنقطة P(11,−2). المسافة OP = 10، والنتيجة ℓ = √(100−36) = 8 وحدات.

لنقطة تماس T، نفرض u = x−1 و v = y+2. شرط الدائرة u²+v² = 36. والتعامد بين OT و TP يعطي u(10−u)−v² = 0.

بجمع الشرطين نحصل على 10u = 36، أي u = 3.6. ثم v² = 36−12.96 = 23.04؛ v = ±4.8. لذلك T₁(4.6,2.8) و T₂(4.6,−6.8).

في الحالتين مقدار الإزاحة من T إلى P هو (6.4,∓4.8). مربعا المركبتين مجموعهما 40.96+23.04 = 64؛ طول كل قطعة 8. هذه مراجعة مستقلة للنتيجة الأولى.

معادلتان والتحقق دون مشكلة الميل

في الأعلى نصف القطر اتجاهه (3.6,4.8)، فيكون هذا متجهًا عموديًا على المماس. معادلة الخط 3.6(x−4.6)+4.8(y−2.8) = 0؛ بالتبسيط 3x + 4y = 25.

نراجع T₁: 3×4.6 + 4×2.8 = 25، ونراجع P: 3×11 + 4×(−2) = 25. ونراجع العمودية: (3.6,4.8)·(6.4,−4.8) = 23.04−23.04 = 0.

للسفلي نأخذ المتجه (3.6,−4.8)، فنحصل على 3x − 4y = 41. تحقق T₂ لأن 13.8+27.2 = 41، و P لأن 33+8 = 41.

لم نقسم على ميل نصف القطر في هذه الطريقة. في نقطة مختارة أخرى على يمين الدائرة T(7,−2)، يكون المماس x = 7 رأسيًا؛ التعامد بالمتجهات يصفه أيضًا.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: الدائرة ومحيطها: الأجزاء والقوانين وأمثلة على القوس والقطاع.