نصف القطر من وترين متوازيين يُستخرج من طوليهما والمسافة العمودية بينهما. نشتق موضع المركز بإشارة؛ فلا نفترض أنه بين الوترين. [1][2]
الخلاصة السريعة
نطرح مربعي المثلثين لاستعادة المركز، ثم نحسب نصف القطر الموجب. [2]
- وتران مختلفان في دائرة واحدة، طولهما 2a و2b، مع a>b>0. فصلهما العمودي s>0؛ وحدة طول واحدة. عمود المركز ينصف الوتر غير القطري، وللقطر منتصفه المركز. نضع المنتصفين (0,0) و(0,s)، والمركز (0,k)؛ k إحداثي موقّع. [1]
- بفيثاغورس، لنصف القطر R: R²=a²+k²=b²+(s−k)². المسافتان غير السالبتين |k| و|s−k|؛ تربيعهما يسمح باستعمال الإحداثي الموقّع. [2]
- الطرح يعطي 2sk=s²−a²+b²؛ إذن k=(s²−a²+b²)/(2s)، ثم R=√(a²+k²). بما أن s>0، تحدد المعطيات k وحيدًا؛ الجذر الموجب يحدد R. [2]
- من a>b نجد k<s. إذا k<0 فالمركز خارج الشريط من جهة الأطول؛ إذا k=0 فالأطول قطر؛ وإذا 0<k<s فبينهما. عند s²=a²−b² يقع الحد القطري. [2]
- مثال مؤلف: الطولان 16cm و12cm؛ a=8cm وb=6cm. مع s=2cm نجد k=−6cm وR=10cm؛ ومع s=14cm نجد k=6cm وR=10cm. مع s=2√7cm يصبح k=0 وR=8cm. cm سنتيمتر. [2]
- للتحقق، النقاط (±a,0) و(±b,s) تبعد R نفسه عن (0,k)، فتثبت الوجود أيضًا لكل a>b>0 وs>0. المسافة المائلة بين طرفين ليست s؛ لا تسقط شرط التوازي. [2]
حدد المنتصفين والإحداثي الموقّع
وتران مختلفان في دائرة واحدة، طولهما 2a و2b، مع a>b>0. فصلهما العمودي s>0؛ وحدة طول واحدة. عمود المركز ينصف الوتر غير القطري، وللقطر منتصفه المركز. نضع المنتصفين (0,0) و(0,s)، والمركز (0,k)؛ k إحداثي موقّع. [1]
اكتب معادلتي نصف القطر
بفيثاغورس، لنصف القطر R: R²=a²+k²=b²+(s−k)². المسافتان غير السالبتين |k| و|s−k|؛ تربيعهما يسمح باستعمال الإحداثي الموقّع. [2]
اطرح واستخرج المركز
الطرح يعطي 2sk=s²−a²+b²؛ إذن k=(s²−a²+b²)/(2s)، ثم R=√(a²+k²). بما أن s>0، تحدد المعطيات k وحيدًا؛ الجذر الموجب يحدد R. [2]
صنف موضع المركز
من a>b نجد k<s. إذا k<0 فالمركز خارج الشريط من جهة الأطول؛ إذا k=0 فالأطول قطر؛ وإذا 0<k<s فبينهما. عند s²=a²−b² يقع الحد القطري. [2]
قارن ثلاث مسافات فاصلة
مثال مؤلف: الطولان 16cm و12cm؛ a=8cm وb=6cm. مع s=2cm نجد k=−6cm وR=10cm؛ ومع s=14cm نجد k=6cm وR=10cm. مع s=2√7cm يصبح k=0 وR=8cm. cm سنتيمتر. [2]
أثبت الوجود وراجع نوع المسافة
للتحقق، النقاط (±a,0) و(±b,s) تبعد R نفسه عن (0,k)، فتثبت الوجود أيضًا لكل a>b>0 وs>0. المسافة المائلة بين طرفين ليست s؛ لا تسقط شرط التوازي. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.