أسطوانة داخل كرة: هل ارتفاعها الأمثل يساوي قطرها؟

نقارن أكبر أسطوانة داخل كرة بأسطوانة ارتفاعها يساوي قطر قاعدتها. [4]

الخلاصة السريعة

لا؛ عند أكبر حجم h/(2r)=1/√2. [2][4]

كرة مصمتة ثابتة بنصف قطر R>0؛ أسطوانة دائرية قائمة مصمتة بنصف قطر r>0 وارتفاع h>0. أطوال منتهية بالسنتيمتر؛ التماس وجميع المراكز والاتجاهات مسموحة. [1][2]
إذا كان d≥0 بُعد المحور عن مركز الكرة، وt إزاحة منتصف الأسطوانة على المحور، فالاحتواء يكافئ (d+r)²+(|t|+h/2)²≤R². ينتج r²+h²/4≤R². [1][3]
الحجم V=πr²h≤πh(R²−h²/4). بوضع u=h/(2R)∈(0,1)، نحصل على V/(2πR³)≤u(1−u²). [2][4]
الأمثل مركزي: h=2R/√3,r=R√(2/3)؛ الحجم V_max=4πR³/(3√3) سم³، والنسبة h/(2r)=1/√2. [2][4]
بمثالنا R=11 سم: h≈12.701706,r≈8.981462 سم، V_max≈3218.889272 سم³؛ نسبته لحجم الكرة 1/√3. [1][2]
عند h=2r، أكبر حجم V_equal=πR³/√2 سم³؛ مثالنا ≈2956.738595 سم³. النسبة V_max/V_equal=√(32/27)>1. [2][4]

حدد الجسم المحتوي

كرة مصمتة ثابتة بنصف قطر R>0؛ أسطوانة دائرية قائمة مصمتة بنصف قطر r>0 وارتفاع h>0. أطوال منتهية بالسنتيمتر؛ التماس وجميع المراكز والاتجاهات مسموحة. [1][2]

حجوم هندسية دون سماكة؛ دوران المحور مسموح. [1][2]

لماذا لا تفيد الإزاحة؟

إذا كان d≥0 بُعد المحور عن مركز الكرة، وt إزاحة منتصف الأسطوانة على المحور، فالاحتواء يكافئ (d+r)²+(|t|+h/2)²≤R². ينتج r²+h²/4≤R². [1][3]

اختر محورًا موازيًا لمحور الأسطوانة. أبعد نقطة تقع على حافة إحدى القاعدتين، في اتجاه الإزاحة العرضية. المسافتان المتعامدتان d+r و|t|+h/2 تعطيان مربع بعدها. جعل d=t=0 يحافظ على الأبعاد والحجم ويحقق الاحتواء؛ لا نخسر مرشحًا بتوسيطه. [1][3]

اربط الارتفاع بالحجم

الحجم V=πr²h≤πh(R²−h²/4). بوضع u=h/(2R)∈(0,1)، نحصل على V/(2πR³)≤u(1−u²). [2][4]

للارتفاع الثابت يتحقق حد الحجم عند r²=R²−h²/4؛ زيادة الارتفاع تقلل نصف القطر المتاح. [2][4]

برهان الحد الأعلى

الأمثل مركزي: h=2R/√3,r=R√(2/3)؛ الحجم V_max=4πR³/(3√3) سم³، والنسبة h/(2r)=1/√2. [2][4]

الهوية 4/27−u²(1−u²)²=(u²−1/3)²(4/3−u²)≥0 تثبت الحد لكل 0<u<1. الطرف u(1−u²) موجب، فتجوز مقارنة مربعيه. المساواة فقط عند u=1/√3؛ الأبعاد المركزية المذكورة تلامس الكرة وتبلغ الحد. [2][4]

احسب مثالًا مؤلفًا

بمثالنا R=11 سم: h≈12.701706,r≈8.981462 سم، V_max≈3218.889272 سم³؛ نسبته لحجم الكرة 1/√3. [1][2]

القيم الدقيقة: h=22/√3,r=11√(2/3) سم، V=5324π/(3√3) سم³؛ التقريب بعد الحساب. [1][2]

الحجم بدلالة الارتفاع النسبي — منحنى محسوب؛ كميات بلا وحدة. [4]

اختبر شرط الارتفاع والقطر

عند h=2r، أكبر حجم V_equal=πR³/√2 سم³؛ مثالنا ≈2956.738595 سم³. النسبة V_max/V_equal=√(32/27)>1. [2][4]

عند h=2r: 2r²≤R²، والمساواة تعطي r=R/√2,h=√2R. الزيادة نحو 8.866% من V_equal؛ حجم المثال 1331π/√2 سم³. [2][4]

المراجع

راجع حجم الأسطوانة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.