نختار في كل محاولة رمزًا من A و B و C و D، ولكل رمز فرصة 1/4. نفترض استقلال المحاولات وثبات الفرص، ونبقي الرموز الأربعة متاحة في كل مرة. نتوقف عندما يظهر كل رمز مرة واحدة على الأقل. قد نكمل في 4 محاولات، لكن التكرار قد يؤخرنا. متوسط عدد المحاولات حتى الاكتمال هو 25/3، أي نحو 8.33، ولا يحدد موعد نهاية مجموعة بعينها.
الخلاصة السريعة
في نموذج أربع نتائج مستقلة ومتساوية الإمكانية، متوسط عدد المحاولات لرؤية النتائج الأربع كلها هو 25/3 محاولة، لأن متوسطات الانتظار المتتابعة هي 1 و 4/3 و 2 و 4.
- نسأل عن المحاولة التي نرى فيها آخر نوع لم يظهر من قبل. نفترض أربع نتائج ثابتة متساوية الإمكانية ومحاولات مستقلة؛ التكرار مسموح، والأنواع التي ظهرت تبقى مسجلة. هذه صورة من مسألة جامع القسائم. [1]
- نقسم الجمع إلى أربع مراحل: حتى أول رمز، ثم رمز جديد ثانٍ، ثم ثالث، ثم رابع. إذا عرفنا صفرًا أو 1 أو 2 أو 3 أنواع، ففرصة الجديد في المحاولة التالية هي 1 أو 3/4 أو 1/2 أو 1/4.
- متوسط عدد المحاولات حتى أول نجاح في محاولات مستقلة بفرصة نجاح ثابتة هو مقلوب تلك الفرصة. [1] فتكون متوسطات المراحل هنا 1 و 4/3 و 2 و 4، ومجموعها 25/3، نحو 8.33 محاولة. المرحلة الأخيرة وحدها تحتاج 4 في المتوسط.
- في المثال المؤلف AABACBCD، تظهر الأنواع الجديدة في المحاولات 1 و 3 و 5 و 8. أطوال المراحل الفعلية 1 و 2 و 2 و 3، واكتملت المجموعة عند 8. هذا مسار ممكن للشرح، وليس تجربة أجريناها أو تصويرًا للمسار المتوسط.
- الحد الأدنى 4 محاولات؛ الإكمال عند الرابعة يتطلب ظهور الرموز الأربعة بلا تكرار. توجد 24 متتابعة تحقق ذلك من 256، فتكون الفرصة 3/32. المتوسط 25/3 ليس حدًا أدنى ولا عددًا صحيحًا مطلوبًا لكل مجموعة.
- لا يوجد عدد محدود يضمن الاكتمال: تكرار A طوال ذلك العدد من المحاولات يظل ممكنًا. إذا بقي رمز واحد، ففرصته التالية 1/4 حتى بعد إخفاقات متتالية. منع التكرار أو تغيير الفرص أو الاستقلال يغير النموذج، فلا ننقل إليه 25/3.
نسجل الأنواع التي ظهرت، ونسمح بظهورها مرة أخرى
المجموعة المستهدفة هي A و B و C و D. في كل محاولة نختار رمزًا واحدًا بفرصة 1/4 لكل رمز. الاختيارات مستقلة: النتائج السابقة لا تغير فرص الاختيار التالي. هذه فروض للمثال، وليست نتيجة اختبار آلة سحب أو مولد عشوائي.
نبدأ بمجموعة فارغة، ونضيف إليها الرمز إذا لم يكن فيها. إذا ظهر A مرة أخرى، تزيد المحاولات بواحدة ولا يزيد عدد الأنواع المجموعة. لا نزيل الرمز من الخيارات بعد ظهوره، ولا نمسح ما جمعناه عند حدوث تكرار.
مسألة جامع القسائم تبحث عن زمن رؤية جميع الأنواع، ويمكن تحليلها بجمع أزمنة الانتظار من نوع جديد إلى النوع الجديد التالي. [1]
نتوقف في المحاولة التي تكمل المجموعة لأول مرة. لا ننتظر أن يتساوى عدد مرات ظهور الأنواع، ولا نسأل عن أول تكرار. المتغير المطلوب عدد المحاولات الكلي حتى الاكتمال، وهو عدد صحيح في كل مسار مكتمل.
كلما قلت الأنواع الناقصة، قلت فرصة الجديد
قبل البدء لا يوجد نوع قديم؛ أول محاولة تضيف نوعًا بالتأكيد، فتستغرق المرحلة الأولى محاولة واحدة. بعد ذلك يبقى ثلاثة أنواع لم تظهر، من أربعة متاحة؛ فرصة الحصول على النوع الجديد التالي 3/4.
بعد رؤية نوعين مختلفين، يبقى نوعان جديدان، فتكون الفرصة 2/4 = 1/2. وبعد ثلاثة، يبقى واحد فقط، وفرصته 1/4. تكرار نوع قديم لا ينهي المرحلة، فنظل ننتظر نوعًا جديدًا.
في انتظار أول نجاح عبر محاولات مستقلة لها فرصة نجاح ثابتة، متوسط عدد المحاولات، مع احتساب محاولة النجاح، يساوي مقلوب فرصة النجاح. وجمع متوسطات المراحل يعطي متوسط الانتظار الكلي. [1]
مثلًا عند بقاء نوع واحد تكون الفرصة 1/4، فيكون متوسط الانتظار 4 محاولات إضافية. لا يعني هذا أن النوع يظهر في الرابعة تحديدًا. وعند بقاء ثلاثة تكون الفرصة 3/4، ومقلوبها 4/3. الكسر متوسط، وليس محاولة جزئية نقوم بها.
| أنواع ظهرت | أنواع ناقصة | فرصة الجديد | متوسط المرحلة بالمحاولات |
|---|---|---|---|
| 0 | 4 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 3/4 | 4/3 |
| 2 | 2 | 1/2 | 2 |
| 3 | 1 | 1/4 | 4 |
نجمع متوسطات المراحل، لا أرقامها في مسار واحد
المراحل الأربع متتابعة وتغطي المحاولات منذ البداية حتى الاكتمال دون تداخل. لذلك نجمع متوسطاتها: 1 + 4/3 + 2 + 4 = 25/3. القيمة العشرية المقربة 8.33 محاولة؛ أما 25/3 فهو الجواب الدقيق.
المرحلة الأخيرة لها أكبر متوسط بين المراحل الأربع، رغم أنها تضيف نوعًا واحدًا فقط. سبب ذلك أن ثلاثة من الرموز الأربعة لا تفيد في إنهاء هذه المرحلة. لا تزيد فرصة الرمز الناقص لمجرد أننا سحبنا كثيرًا.
ليس مطلوبًا أن يحتوي مسار واحد على مراحل أطوالها 1 و 4/3 و 2 و 4. أطوال المسار الواحد أعداد صحيحة، بينما المتوسط الحسابي عبر قيم ممكنة وأوزانها قد يكون كسرًا. ولا نحول 8.33 إلى وعد بالانتهاء في 8 أو 9 محاولات.
مسار مؤلف يكتمل في المحاولة الثامنة
خذ AABACBCD، واقرأه من اليسار إلى اليمين. المحاولة 1 تعطي A جديدًا، والثانية تكرره. المحاولة 3 تضيف B، والرابعة تكرر A. المحاولة 5 تضيف C، والسادسة تكرر B، والسابعة تكرر C، والثامنة تضيف D وتكمل المجموعة.
إذن أعداد الأنواع بعد المحاولات هي 1 ثم 1 ثم 2 ثم 2 ثم 3 ثم 3 ثم 3 ثم 4. مواضع اكتشاف الأنواع الجديدة 1 و 3 و 5 و 8، ومنها أطوال المراحل 1 و 2 و 2 و 3؛ مجموعها 8.
الصورة الرئيسية تميز الظهور الجديد عن التكرار، وتكتب عدد الأنواع المختلفة أسفل كل محاولة. هذا تسلسل اخترناه للشرح، ولم نجمع بيانات سحب فعلية. اكتماله عند 8 لا يثبت أن المتوسط 8، ولا يغير 25/3 المحسوب للنموذج.
أربع محاولات حد أدنى، ولا يوجد سقف مضمون
لا نستطيع رؤية أربعة أنواع في أقل من 4 محاولات، إذ لا تضيف المحاولة أكثر من نوع واحد. لكن ABCD يكمل في 4، فتكون هذه أقل قيمة ممكنة. لكي نكمل في الرابعة يجب أن تختلف الرموز الأربعة كلها.
عدد المتتابعات بطول 4 هو 4 × 4 × 4 × 4 = 256، وكلها متساوية الإمكانية وفق الفروض. المتتابعات المختلفة كلها عددها 4 × 3 × 2 × 1 = 24. إذن احتمال الاكتمال عند 4 هو 24/256 = 3/32، وليس اليقين.
ولأي عدد محدود موجب من المحاولات، يمكن أن تظهر A في كل مرة. احتمال هذه المتتابعة حاصل ضرب أرباع بعدد المحاولات، وهو موجب؛ لن تحتوي B أو C أو D. لذلك لا يضمن عدد محدود الاكتمال لجميع المسارات الممكنة.
إذا جمعنا A و B و C وبقي D، ففرصة D التالية 1/4، حتى إذا مرت 10 محاولات أخرى دون ظهوره. الاستقلال وثبات الفرص هما سبب ذلك؛ الرموز لا تعوض تأخر نوع. متوسط الانتظار الإضافي من هذه الحالة يظل 4، مع احتساب محاولة ظهوره.
إذا منعنا تكرار الرموز الأربعة بإزالتها من الخيارات بعد كل اختيار، اكتملت المجموعة في 4 محاولات بالضبط؛ هذه آلية أخرى. وإذا اختلفت فرص الأنواع أو اعتمد الاختيار على السابق، فلا نستخدم فرص الجديد في الجدول أو المتوسط 25/3 تلقائيًا. راجع الآلية قبل نقل الجواب.
اقرأ أيضًا: مفهوم الاحتمالات
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.