أسطوانة داخل مخروط: هل الأطول أكبر حجمًا؟

المقطع يضيق. [2]

الخلاصة السريعة

الأمثل h=H/3. [1][2][3]

مخروط دائري قائم ثابت، نصف قطر قاعدته R>0 وارتفاعه العمودي H>0؛ منتهيان بالسنتيمتر. أسطوانة قائمة تشاركه المحور؛ قاعدتها السفلى في مستوى قاعدة المخروط. r,h نصف قطرها وارتفاعها العمودي؛ السماكة مهملة. [1][2]
ارتفاع المقطع 0≤z≤h من القاعدة؛ ρ(z)=R(1−z/H)؛ شرط الملاءمة 0<h<H و0<r≤ρ(h)؛ المقاطع تضيق. [2]
حجم الأسطوانة V=πr²h سم³. ضع C=πR²H سم³ وu=h/H∈(0,1) بلا وحدة؛ V/C≤f(u)=u(1−u)²، والمساواة عند r=ρ(h). [1][2]
الفرق 4/27−f(u)=(3u−1)²(4−3u)/27≥0؛ المساواة فقط عند u=1/3. لذلك الأمثل h=H/3,r=2R/3 وV_max=4πR²H/27 سم³. [1][2][3]
بمثالنا R=5,H=15 سم، h=5,r=10/3 سم؛ V=500π/9≈174.532925 سم³، وهو 4/9 حجم المخروط. [1][2]
بالمخروط نفسه، أسطوانة أطول h=9,r=2 سم حجمها الأصغر 36π≈113.097336 سم³. المائلة خارج النموذج. [1][2]

النموذج

مخروط دائري قائم ثابت، نصف قطر قاعدته R>0 وارتفاعه العمودي H>0؛ منتهيان بالسنتيمتر. أسطوانة قائمة تشاركه المحور؛ قاعدتها السفلى في مستوى قاعدة المخروط. r,h نصف قطرها وارتفاعها العمودي؛ السماكة مهملة. [1][2]

شرط الملاءمة

ارتفاع المقطع 0≤z≤h من القاعدة؛ ρ(z)=R(1−z/H)؛ شرط الملاءمة 0<h<H و0<r≤ρ(h)؛ المقاطع تضيق. [2]

حد الحجم

حجم الأسطوانة V=πr²h سم³. ضع C=πR²H سم³ وu=h/H∈(0,1) بلا وحدة؛ V/C≤f(u)=u(1−u)²، والمساواة عند r=ρ(h). [1][2]

برهان الحد الأعلى

الفرق 4/27−f(u)=(3u−1)²(4−3u)/27≥0؛ المساواة فقط عند u=1/3. لذلك الأمثل h=H/3,r=2R/3 وV_max=4πR²H/27 سم³. [1][2][3]

المثال الأمثل

بمثالنا R=5,H=15 سم، h=5,r=10/3 سم؛ V=500π/9≈174.532925 سم³، وهو 4/9 حجم المخروط. [1][2]

الحجم والارتفاع — الحد الأعلى. [1][2][3]

أسطوانة أطول

بالمخروط نفسه، أسطوانة أطول h=9,r=2 سم حجمها الأصغر 36π≈113.097336 سم³. المائلة خارج النموذج. [1][2]

المراجع

حجم الأسطوانة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.