أنواع المعادلات الرياضية: الشكل والدرجة وعدد المتغيرات

تصنيف بحسب الشكل، وتصنيف بحسب الدرجة

المعادلة مساواة نبحث في قيم تجعلها صحيحة، أو ندرس شروطها. وعندما يكون التعبير بعد ترتيب المعادلة كثير حدود في متغير واحد، ننظر إلى أكبر أس ذي معامل غير صفري لتحديد الدرجة. أسس كثير الحدود أعداد صحيحة غير سالبة؛ يشمل ذلك الصفر في الحد الثابت. ^[1][2]

تكون المعادلة خطية في الصورة ax+b=0 مع a≠0، وتربيعية إذا كان أعلى أس باقٍ 2، وتكعيبية إذا كان 3. هذه أسماء ضمن عائلة كثيرات الحدود، فلا يصح عرض «كثيرة الحدود» و«تربيعية» على أنهما وصفان متعارضان. ^[1][2]

أما وجود المتغير تحت جذر، أو في أس، أو داخل لوغاريتم، فيعطي طريقة أخرى لوصف شكل المعادلة. قد يحتاج الشكل إلى معالجة مختلفة، ولا تكفي أسماء الأنواع وحدها لإيجاد الحل. ^[3][4][5]

أمثلة على أنواع شائعة

يحتوي المثال الكسري مقامًا يجب ألا يساوي صفرًا. ولا نجعل وجود كسر عددي مثل 1/2 وحده سببًا لتغيير معادلة خطية إلى درس مختلف. وفي المثال الجذري نتحقق من إمكان تعريف الجذر الحقيقي، ثم نفحص أي قيمة مرشحة في المعادلة الأصلية. ^[3]

أما اللوغاريتم الحقيقي هنا فيحتاج x>0، وله أسس موجبة لا تساوي 1 في التعريف المعتاد. وفي المثلثيات، يختلف طلب جميع الحلول عن طلب الحلول في مجال زاوي محدد؛ علينا أيضًا التمييز بين الراديان والدرجات. الجدول لا يزعم أن لكل صف حلًا واحدًا. ^[5][6]

تبسيط المعادلة قد يغير الانطباع الأول

انظر إلى x²+3=x²+7x−4. قد توحي رؤية x² على الجانبين بأن المعادلة تربيعية. لكن طرح x² من الطرفين يعطي 3=7x−4، ثم ترتيب الحدود يعطي 7x−7=0. أعلى أس باقٍ 1، فهذه معادلة خطية وليست تربيعية.

ومنها 7x=7 فيكون x=1. التعويض في الأصل يعطي 4 في كل طرف: 1²+3=4 و 1²+7×1−4=4. الرسم الداخلي يعرض التبسيط، لا قاعدة بأن كل ظهور لمربع يمكن إزالته.

كذلك لا نفترض معاملًا رئيسًا غير صفري دون فحصه. فالصورة ax²+bx+c=0 تكون تربيعية إذا كان a غير صفر. عند a=0 يتغير الوصف بحسب الحدود الباقية. وقد تنتهي عملية الترتيب إلى مساواة صحيحة دائمًا أو إلى تناقض، بدل معادلة ذات حل واحد. ^[1][2]

قوة ثابتة للمتغير ليست متغيرًا في الأس

في x² يتغير الأساس x ويبقى الأس 2 ثابتًا. وفي 2^x يبقى الأساس 2 ثابتًا ويتغير الأس x. لذلك لا نخلط معادلة كثير حدود بمعادلة أسية لمجرد وجود رمز رفع في كليهما. ^[2][4]

يوضح الرسم المثالين x²=4 و 2^x=4. في الأول يعطي x=−2 و x=2 القيمة 4؛ في الثاني يعطي x=2 القيمة 4، ولا تعطي x=−2 القيمة نفسها، بل 2^(−2)=1/4. اختلاف الموضع الذي يشغله المتغير يغير السلوك.

ولا يعني تساوي التعبيرين عند x=2 أنهما الدالة نفسها. فالهوية تعني صحة المساواة على المجال كله المقصود، أما التساوي في نقطة فلا يجعل المنحنيين متطابقين. ^[6]

عدد المتغيرات سؤال مستقل

تحتوي 3x+2y=8 متغيرين، وهي خطية فيهما. أما 7x−7=0 فخطية في متغير واحد. عدد المتغيرات لا يحول الخطية وحده إلى تربيعية؛ نقرأ شكل الاعتماد على المتغيرات إلى جانب عددها.

وللتدريب، صنف 4x²+1=9 قبل محاولة حلها: معادلة في متغير واحد ومن كثيرات الحدود، وتربيعية بعد ترتيبها إلى 4x²−8=0. لكن 4x+1=9 خطية، و 4^x=9 أسية. الأعداد المتشابهة لا تجعل أنواعها واحدة.

ابدأ بالمجال المطلوب، ثم بسط ضمن عمليات صحيحة، وافحص الشكل والدرجة وعدد المتغيرات. بعد ذلك اختر طريقة الحل المناسبة، وارجع إلى الأصل لفحص ما حصلت عليه؛ اسم النوع نقطة بداية للفهم، لا بديل عن التحقق.